淺談反證法在高等代數(shù)中的應(yīng)用

杜玉坤

【摘要】反證法作為一種數(shù)學(xué)的間接證明方法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中必須要掌握的.本文主要闡述了反證法的概念及證題的一般步驟，并根據(jù)反證法的適用范圍列舉了一些實(shí)例探索其在高等代數(shù)中的應(yīng)用，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，同時(shí)提高學(xué)生的解題能力及學(xué)習(xí)的積極性.

【關(guān)鍵詞】反證法;高等代數(shù);應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】廣東茂名幼兒師范專科學(xué)校2020年度教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題：反證法在《高等代數(shù)》課程上的應(yīng)用研究（2020GMYSKT03）

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，它為學(xué)生深入學(xué)習(xí)其他相關(guān)專業(yè)課程奠定了基礎(chǔ)，能夠幫助數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生順利完成由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡.高等代數(shù)通過解決“多項(xiàng)式理論”“矩陣”等基本問題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及創(chuàng)造力.進(jìn)入師范?？茖W(xué)校學(xué)習(xí)的學(xué)生文化知識(shí)水平參差不齊，但普遍存在的一個(gè)現(xiàn)象是這些學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，而高等代數(shù)比較抽象，使得他們?cè)趯W(xué)習(xí)上必然會(huì)遇到阻礙.如何幫助學(xué)生走出學(xué)習(xí)高等代數(shù)的困境呢？反證法的教學(xué)不失為一種行之有效的方法.反證法也被稱為“逆證”，它是一種解決數(shù)學(xué)問題的間接論證的方法.牛頓曾說(shuō)，反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?數(shù)學(xué)家在很多數(shù)學(xué)命題中都使用到了反證法.比如，著名的古希臘數(shù)學(xué)家歐道克斯就通過運(yùn)用反證法發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，還證明了“兩個(gè)正多邊形的面積之比等于其對(duì)應(yīng)線段之比的平方”的結(jié)論.又如，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得運(yùn)用反證法證明了“素?cái)?shù)有無(wú)窮多”的結(jié)論.

在常規(guī)的思維中，我們習(xí)慣用正面的思維去論證一個(gè)問題.實(shí)際上，并不是所有的數(shù)學(xué)問題都能用正向思維來(lái)解決.反證法反其道而行之，另辟蹊徑，先假設(shè)結(jié)論的相對(duì)面成立，通過此條件推導(dǎo)得出與既定的定義、定理等存在矛盾的結(jié)論，則可證明之前的假設(shè)不成立，原結(jié)論便是成立的.

對(duì)于反證法，雖然有“歸謬法”“窮舉法”等多種不同說(shuō)法，但它們最基本的核心是一樣的，那就是“否定之否定”.正如法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在《初等數(shù)學(xué)教程》一文中指出，反證法的核心是若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，則可以導(dǎo)致矛盾產(chǎn)生.

使用反證法時(shí)，具體的證明命題的步驟如下：

首先，否定命題的結(jié)論，做出相反的假設(shè);

其次，歸謬，將反設(shè)結(jié)論作為已知條件，以此推導(dǎo)出其與既定的定理、公式或者題設(shè)里邊的已知條件相矛盾;

最后，反設(shè)為假，肯定原結(jié)論為真.

反證法一般應(yīng)用在正面直接論證或者反駁比較困難的命題中，如對(duì)于否定性命題、限制性命題、基本命題及無(wú)窮性命題，反證法就是一種行之有效的方法.

在課堂教學(xué)實(shí)踐中，我們選取高等教育出版社《高等代數(shù)（第五版）》作為教材例子，書里的很多定理和習(xí)題的證明涉及反證法.比如，多項(xiàng)式理論、矩陣、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型等，幾乎每一章的教學(xué)內(nèi)容都會(huì)運(yùn)用到反證法.

反證法的有效使用，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向邏輯思維，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性認(rèn)識(shí);另一方面可以提高學(xué)生的解題能力以及學(xué)習(xí)的積極性.

下面筆者結(jié)合高等教育出版社《高等代數(shù)（第五版）》中的一些具體實(shí)例，對(duì)反證法在解決高等代數(shù)問題時(shí)的應(yīng)用進(jìn)行初步探討.

一、反證法在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用

“多項(xiàng)式”是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一，此章節(jié)主要研究了多項(xiàng)式的一般理論和因式分解理論.對(duì)于一些基本命題或限制性命題，正面無(wú)法直接證明，此時(shí)可以運(yùn)用反證法，能起到意想不到的效果.

例1 求證：若f（x）g（x）=0，則f（x）和g（x）中至少有一個(gè)為零多項(xiàng)式.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)f（x）和g（x）都不是零多項(xiàng)式，則f（x）的次數(shù)大于零，g（x）的次數(shù)也大于零，則f（x）g（x）的次數(shù)大于零，故f（x）g（x）不為零多項(xiàng)式，與f（x）g（x）=0矛盾，故f（x）和g（x）中至少有一個(gè)為零多項(xiàng)式.

分析 結(jié)論中含有“至少”“至多”等詞語(yǔ)的命題為限制性命題.例1中含有“至少”，屬于限制性命題，無(wú)法從正面直接證明，運(yùn)用反證法可將復(fù)雜的情況變得易于理解.其中，“至少有一個(gè)為零多項(xiàng)式”的否定形式為“都不是零多項(xiàng)式”.

例2 求證：若多項(xiàng)式f（x）和g（x）都與多項(xiàng)式h（x）互素，則這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積f（x）g（x）也與多項(xiàng)式h（x）互素.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積f（x）g（x）與多項(xiàng)式h（x）不是互素的，則由互素的定義可以知道存在不可約多項(xiàng)式p（x），使得p（x）整除f（x）g（x），且p（x）整除h（x）.

由于多項(xiàng)式f（x）與多項(xiàng)式h（x）互素，故存在多項(xiàng)式u（x）與v（x），使得f（x）u（x）+h（x）v（x）=1，在等式的兩邊同乘多項(xiàng)式g（x），得到g（x）f（x）u（x）+g（x）h（x）v（x）=g（x）.

由于p（x）整除f（x）g（x），且p（x）整除h（x），故根據(jù)多項(xiàng)式整除的性質(zhì)可以得到p（x）整除g（x），即p（x）為多項(xiàng)式g（x）與h（x）的公因式，故多項(xiàng)式g（x）與h（x）不是互素的，與已知條件多項(xiàng)式g（x）與h（x）互素相矛盾，故這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積f（x）g（x）也與多項(xiàng)式h（x）互素.

分析 該命題屬于基本命題，其能借助的條件只有多項(xiàng)式互素，從正面思考無(wú)從下手，那么可以從反面思考問題.由于無(wú)法直接證明多項(xiàng)式的乘積f（x）g（x）與多項(xiàng)式h（x）互素，不妨假設(shè)f（x）g（x）與h（x）不是互素的，得到g（x）與h（x）不是互素的，這與已知條件相矛盾，故假設(shè)不成立.

例3 設(shè)f（x）是實(shí)數(shù)域R上的多項(xiàng)式，p（x）是R上的不可約多項(xiàng)式，并且f（x）與p（x）在復(fù)數(shù)域C上有公共根α.求證：p（x）整除f（x）.

證明 （運(yùn)用反證法）設(shè)p（x）不能整除f（x），則由p（x）的不可約性可知，在實(shí)數(shù)域R上p（x）與f（x）互素，從而在復(fù)數(shù)域C上p（x）與f（x）也是互素的.

另一方面，因?yàn)閒（x）與p（x）在復(fù)數(shù)域C上有公共根α，所以（x-α）是p（x）與f（x）的公因式，因此p（x）與f（x）不是互素的，由于p（x）與f（x）互素，矛盾，故p（x）整除f（x）.

分析 該命題屬于基本命題.由于無(wú)法直接證明p（x）整除f（x），不妨假設(shè)p（x）不能整除f（x），進(jìn)而得到兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論，故假設(shè)不成立.

二、反證法在矩陣中的應(yīng)用

矩陣是高等代數(shù)的基本內(nèi)容和重要工具.在證明矩陣不可逆時(shí)，一般可以運(yùn)用反證法，并利用矩陣可逆的性質(zhì)，達(dá)到事半功倍的效果.

例4 求證：若方陣A不是單位矩陣，并且A2=A，則矩陣A不可逆.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)矩陣A可逆，則A-1A2=A-1A=I，即A為單位矩陣，與A不是單位矩陣相矛盾，故矩陣A不可逆.

分析 該命題為否定性命題.直接證明矩陣A不可逆比較困難，而假設(shè)矩陣A可逆，則比較容易得出與已知條件相矛盾的結(jié)論.

三、反證法在向量空間中的應(yīng)用

向量空間作為高等代數(shù)的基本概念之一，是后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).本章有一些否定性命題、無(wú)窮性命題，常會(huì)用到反證法，推出相矛盾的結(jié)論.

例5 設(shè)向量β可以由α1，α2，…，αs，γ線性表示，但不能由α1，α2，…，αs線性表示.

求證：

（1）向量γ可由向量組α1，α2，…，αs，β線性表示;

（2）向量γ不能由向量組α1，α2，…，αs 線性表示.

證明 （1）由于向量β可以由α1，α2，…，αs，γ線性表示，所以在數(shù)域中存在k1，k2，…，ks，k，使得β=k1α1+k2α2+…+ksαs+kγ成立，k≠0.

事實(shí)上，假設(shè)k=0，則β可以由α1，α2，…，αs線性表示，這與β不能由向量組α1，α2，…，αs線性表示相矛盾，所以γ=1kβ-k1kα1-k2kα2-…-kskαs，

即向量γ可由向量組α1，α2，…，αs，β線性表示.

（2）（運(yùn)用反證法）假設(shè)向量γ可以由向量組α1，α2，…，αs線性表示，由于向量β可以由向量組α1，α2，…，αs，γ線性表示，進(jìn)而可以推得向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表示，這與β不能由向量組α1，α2，…，αs線性表示相矛盾，故向量γ不能由向量組α1，α2，…，αs 線性表示.

分析 反證法可以在解題的過程中應(yīng)用.要證k≠0，只需要假設(shè)k=0，得出與已知條件相矛盾的結(jié)論.第二問中是否定性命題，可假設(shè)向量γ能由向量組α1，α2，…，αs線性表示，得出與已知條件相矛盾的結(jié)論.

例6 求證：F（x）作為F上的向量空間由無(wú)限個(gè)多項(xiàng)式生成，因而是無(wú)限維向量空間.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)F（x）是由有限個(gè)非零多項(xiàng)式 f1（x）， f2（x），…， fs（x）生成的，令T是這s個(gè)多項(xiàng)式中最大的次數(shù)，那么F（x）中次數(shù)大于T的任意多項(xiàng)式都不能由這s個(gè)多項(xiàng)式線性表示，這與假設(shè)相矛盾，故F（x）作為F上的向量空間由無(wú)限個(gè)多項(xiàng)式生成，因而是無(wú)限維向量空間.

分析 結(jié)論含有“無(wú)窮”“無(wú)限”等詞語(yǔ)的命題為無(wú)窮性命題.運(yùn)用反證法，將無(wú)窮轉(zhuǎn)化為有限，進(jìn)而推出與已知條件相矛盾的結(jié)論.

例7 設(shè)V是一個(gè)向量空間，且V不是零空間.求證：V不可能表示成它的兩個(gè)真子空間的并集.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)V可以表示成它的兩個(gè)真子空間的并集，即存在V的兩個(gè)真子空間W1，W2使得V=W1∪W2.

若W1W2，則W1∪W2=W2，與V=W1∪W2矛盾.

若W2W1，則W1∪W2=W1，與V=W1∪W2矛盾.

若W1，W2互不包含，則分別存在向量α，β使得α屬于W1，但α不屬于W2，β屬于W2，但β不屬于W1，則α+β不屬于W1.事實(shí)上，假設(shè)α+β屬于W1，由于α屬于W1，進(jìn)而由W1為子空間可以得到β=（α+β）-α也屬于W1，與β不屬于W1相矛盾.同理可證α+β不屬于W2，故α+β不屬于W1∪W2，即α+β不屬于V.又由于α屬于W1，β屬于W2，故向量α，β都屬于向量空間V，進(jìn)而可以得到α+β屬于V，這與之前得出的結(jié)論α+β不屬于V相矛盾.

綜上所述，可知V不可能表示成它的兩個(gè)真子空間的并集.

分析 該命題為否定性命題.假設(shè)V能表示成它的兩個(gè)真子空間的并集，并對(duì)兩個(gè)真子空間是否有包含關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，分別得出矛盾.

四、反證法在線性變換中的應(yīng)用

線性變換是高等代數(shù)的基本內(nèi)容之一.在證明某一向量不是線性變換的本征向量時(shí)運(yùn)用反證法，并利用本征值和本征向量的定義及線性變換的性質(zhì)，可以得出與條件相矛盾的結(jié)論.

例8 設(shè)向量α，β分別是線性變換σ屬于不同本征值k，l的本征向量，則向量α+β不是線性變換σ的本征向量.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)向量α+β是線性變換σ屬于本征值λ的一個(gè)本征向量，則由本征值的定義可以得到σ（α+β）=λ（α+β）=λα+λβ.

又由于α，β分別是線性變換σ屬于不同本征值k，l的本征向量，故σ（α）=kα，σ（β）=lβ，進(jìn)而由線性變換可以得到σ（α+β）=σ（α）+σ（β）=kα+lβ.因此，有λα+λβ=kα+lβ，即（λ-k）α+（λ-l）β=0，但線性變換屬于不同本征值的本征向量是線性無(wú)關(guān)的，得到λ-k=λ-l=0，即k=l，矛盾，故向量α+β不是線性變換σ的本征向量.

分析 該命題為否定性命題.假設(shè)向量α+β是線性變換σ的本征向量，得到k，l是相等的，這與k，l是兩個(gè)不同的數(shù)相矛盾，故假設(shè)不成立.

五、反證法在歐式空間中的應(yīng)用

歐式空間由實(shí)數(shù)域上的向量空間引入內(nèi)積得到，在數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用.然而對(duì)于一些否定性命題，直接證明比較困難，運(yùn)用反證法，從命題的反面出發(fā)，會(huì)較輕松地解決問題.

例9 設(shè)α，β是n維歐式空間V的兩個(gè)不相等的單位向量，則（α，β）≠1.

證明 （運(yùn)用反證法）假設(shè)（α，β）=1.由于α為單位向量，故可以把α擴(kuò)充為n維歐式空間V的一組規(guī)范正交基：α，ε2，…，εn.進(jìn)而存在實(shí)數(shù)域上的一組數(shù)k1，k2，…，kn使得β=k1α+k2ε2+…+knεn，所以（α，β）=k1，即k1=1.又由于β為單位向量，所以（β，β）=1+k22+…+k2n=1，進(jìn)而推出k2=…=kn=0.則可得到α與β是相等的，這與α，β是不相等的向量相矛盾，故（α，β）≠1.

六、反證法在二次型中的應(yīng)用

二次型理論在數(shù)學(xué)的許多分支中有著重要的應(yīng)用.對(duì)于一些基本命題，運(yùn)用反證法，從相反的角度去思考問題，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

例10 如果實(shí)二次型q（x1，…，xn）是半正定的，則實(shí)二次型的秩與其正慣性指數(shù)相等.

證明 （運(yùn)用反證法）設(shè)q是半正定的，要使實(shí)二次型的秩與其正慣性指數(shù)相等，則q的負(fù)慣性指數(shù)必須等于零，否則q可以通過實(shí)非奇異線性變換X=PY化為

q（x1，…，xn）=y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r，

其中p

于是，當(dāng)取yr=1，而其余的yi=0時(shí)，將由非奇異線性變換X=PY所得相應(yīng)的不全為零的實(shí)數(shù)x1，…，xn代入上式，可以得到q（x1，…，xn）=-1<0.這與實(shí)二次型q是半正定的相矛盾，故q的負(fù)慣性指數(shù)必須等于零，即實(shí)二次型的秩與其正慣性指數(shù)相等.

結(jié) 語(yǔ)

反證法作為一種間接證明方法，是解決問題、發(fā)現(xiàn)問題的有力工具.我們?cè)谶\(yùn)用反證法時(shí)，需要對(duì)命題做出正確的反設(shè)，并且推導(dǎo)過程要準(zhǔn)確合理.高等代數(shù)中的很多數(shù)學(xué)問題可以運(yùn)用反證法來(lái)解決，但反證法并不是對(duì)所有的數(shù)學(xué)問題都適用，所以同學(xué)們要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)解題能力.

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