脈沖式冷原子干涉儀敏感慣性參量物理機(jī)制的新理解

黃 晨，樂旭廣，程 俊，姚輝彬，毛海岑

（華中光電技術(shù)研究所武漢光電國(guó)家研究中心，武漢 430223）

0 引言

Mach?Zehnder構(gòu)型的冷原子干涉儀自20世紀(jì)90年代起已發(fā)展了數(shù)十年，并大量應(yīng)用在大地測(cè)量、 等效性原理驗(yàn)證以及慣性測(cè)量等領(lǐng)域［1?6］。 一般來(lái)說(shuō)，干涉是指兩列波在空間中產(chǎn)生疊加合成從而引起強(qiáng)度重新分布的一種物理現(xiàn)象。隨著激光冷卻技術(shù)的快速發(fā)展和普及，人們利用諸如磁光阱、亞Doppler冷卻等方法將原子冷卻至百微開以及更低的溫度，使得原子的波動(dòng)性可以被觀測(cè)到，這使得利用原子波包進(jìn)行干涉實(shí)驗(yàn)變得可能。由于冷原子的de Broglie波長(zhǎng)比光的波長(zhǎng)要短很多，其理論精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)干涉儀，冷原子干涉儀在精密測(cè)量領(lǐng)域有著巨大的潛力，尤其是在高精度慣性導(dǎo)航領(lǐng)域。根據(jù)傳統(tǒng)干涉儀的定義，兩個(gè)波包由于在空間中的路徑不同，會(huì)積累不同的相位，這會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)波包在重合時(shí)會(huì)根據(jù)其積累的相位差形成穩(wěn)定的干涉條紋。因此，利用冷原子進(jìn)行干涉時(shí)，也需要根據(jù)原子在空間中經(jīng)歷分束、反射、合束過(guò)程中所走過(guò)的經(jīng)典路徑以及激光相位的不同，來(lái)計(jì)算其產(chǎn)生的相位差，最終對(duì)慣性參量進(jìn)行解算，這種計(jì)算方式在靜態(tài)條件下十分方便。然而，當(dāng)冷原子干涉儀系統(tǒng)在測(cè)量過(guò)程中存在運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于光反沖動(dòng)量不再固定，因此計(jì)算原子軌跡就變得十分復(fù)雜，難以得到解析表達(dá)式，這給冷原子干涉儀在動(dòng)態(tài)下的信號(hào)解算帶來(lái)了極大的不便。

本文給出了一種脈沖式冷原子干涉儀敏感慣性參量物理機(jī)制的新理解，該解釋方式基于Hei?senberg表象下的原子?光子相互作用理論，利用雙光子Raman躍遷機(jī)制詳細(xì)描述了在靜止及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下冷原子團(tuán)與Raman光的相互作用，并同時(shí)將外界載體的運(yùn)動(dòng)等效為原子與Raman光作用的等效失諧量。由于原子?光子的相互作用效果會(huì)隨著失諧量的改變而改變，可通過(guò)該方法給出原子的輸出相位。更重要的是，由于該模型僅需要考慮Raman脈沖時(shí)刻原子與光的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、位置的狀態(tài)，而不必考慮在自由演化期間的原子運(yùn)動(dòng)軌跡，因此大大簡(jiǎn)化了得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)與輸出相位之間關(guān)系的計(jì)算量，這使得實(shí)時(shí)得到不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下輸出相位的解析表達(dá)式變得可能，該理論的提出能夠大幅度提升脈沖式冷原子干涉儀在動(dòng)平臺(tái)中的性能，拓寬了其應(yīng)用場(chǎng)景。

本文首先描述了原子?光子Raman相互作用模型，以三脈沖冷原子干涉儀為例，得到在三束脈沖作用下原子布居數(shù)的演化，并以此為依據(jù)給出了冷原子干涉儀敏感外界運(yùn)動(dòng)信息新的解釋方式。接著，利用上述新的物理機(jī)制得到在四脈沖冷原子干涉儀中外界運(yùn)動(dòng)信息與系統(tǒng)輸出相位的關(guān)系，并利用該機(jī)制給出了四脈沖冷原子干涉儀對(duì)初始速度不敏感的一種新的解釋。再次，依據(jù)該機(jī)制提出了一種在敏感軸改變情況下陀螺儀輸出的相應(yīng)變化。最后，給出了總結(jié)與討論。

1 三脈沖冷原子干涉儀中原子敏感慣性參量物理機(jī)制

這里，考慮一個(gè)Λ型三能級(jí)原子，其具有兩個(gè)基態(tài)以及一個(gè)激發(fā)態(tài)其本征頻率分別為ωa、ωb和ωi。 使用一束 Raman光照射該原子，Raman光由兩種頻率構(gòu)成，可以將兩束激光表示為［7?8］

式（1）中，ωL1、ωL2為兩束激光的頻率，E10、E20為兩束激光的電場(chǎng)強(qiáng)度，φ10、φ20為兩束激光的初始相位。此時(shí)，可以寫出兩束激光與原子兩能級(jí)作用的Rabi頻率為為原子電偶極矩。據(jù)此，該光與原子相互作用的Hamiltonian量有如下形式

將式（2）化簡(jiǎn)為矩陣形式

式（4）中，假設(shè)Ωai，Ωbi∈R， 則在相互作用繪景下的Schrodinger方程為

由于通常情況下有Δ?Ω及Δ?δ，因此這里可以對(duì)ci項(xiàng)直接積分，帶入式（6）并使用旋波近似，可得

這里利用了關(guān)系Δ≈Δ+δ。 對(duì)式（7）進(jìn)行同樣的化簡(jiǎn)及第二次旋轉(zhuǎn)變換，可得

實(shí)際情況中，由于原子與Raman光的作用角度和原子運(yùn)動(dòng)速度的改變，原子感受到的Raman光頻率不一定為ωeff。 這里的Doppler頻率會(huì)由許多因素引入，如重力、轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)等，該Doppler失諧大小設(shè)為這里定義γ（t）為 Doppler失諧量隨時(shí)間的變化率。顯然，由于外界運(yùn)動(dòng)的不確定性，γ（t）為隨時(shí)間變化的函數(shù)。為了便于表達(dá)其中的物理機(jī)制，這里考慮特殊情況，即γ（t）＝γ。 在這種情況下，可以根據(jù)前文中的定義寫出原子感受到的Raman光的總失諧量為δ＝δ0+γt。根據(jù)主方程可以寫出原子內(nèi)態(tài)算符的Bloch方程

而原子在自由演化過(guò)程中的內(nèi)態(tài)為

通過(guò)式（11）、 式（13），可以得到在三束 Raman光完成π/2→π→π/2過(guò)程之后原子處在態(tài)上的概率為

顯然，通過(guò)式（14）可發(fā)現(xiàn)，失諧變化率γ與系統(tǒng)輸出相位直接相關(guān)。實(shí)際上，正是由于γ的存在，才能利用這種原子干涉現(xiàn)象來(lái)測(cè)量對(duì)應(yīng)的物理量。換言之，若某個(gè)物理量對(duì)原子失諧沒有任何貢獻(xiàn)或者為恒定值，則可以看到γ≡0時(shí)式（14）中的γT2≡0。 即使該物理量可能本身在隨時(shí)間變化，但是由于它對(duì)失諧量的貢獻(xiàn)不隨時(shí)間變化，原子干涉儀并不能對(duì)這類物理量進(jìn)行測(cè)量。

2 失諧變化率產(chǎn)生的物理機(jī)制

根據(jù)上述分析，接下來(lái)需要搞清楚各慣性參量是如何引起原子?光子相互作用中失諧變化率的變化。為了能夠更清晰地揭示其中的物理機(jī)制，這里首先考慮原子僅在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，然后再研究在轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的失諧變化率。

若考慮重力場(chǎng)的影響，原子在豎直方向上的速度表達(dá)式為v＝gt，t為原子離開磁光阱所經(jīng)歷的時(shí)間。因此，若Raman光與重力方向的夾角為θ，如圖1所示，可以寫出原子感受到的Raman光的失諧隨時(shí)間的變化為

圖1 在重力場(chǎng)作用下原子感受到Raman光的Doppler頻移示意圖Fig.1 Doppler frequency shift of Raman laser felt by atoms under the gravity field

如圖2所示，若考慮轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，由于原子從拋射出去之后為自由飛行狀態(tài)，轉(zhuǎn)動(dòng)僅僅影響Raman光的角度?；蛘叩刃У貋?lái)講，假設(shè)Raman光靜止，原子與Raman光的相對(duì)速度就是由于轉(zhuǎn)動(dòng)引起的。這里等效地認(rèn)為第一束Raman光與原子相互作用的位置為圓心，即在該點(diǎn)原子與Raman光保持相對(duì)靜止，且Raman光與轉(zhuǎn)動(dòng)方向垂直。由于原子經(jīng)過(guò)三束Raman光的時(shí)間非常短，因此可以認(rèn)為在小角度轉(zhuǎn)動(dòng)下原子由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)線速度Δv＝ΩLi就是沿著Raman光方向的（這里L(fēng)i為第i束Raman光與第一束Raman光的距離）。那么，此時(shí)由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的線速度所引起的Doppler頻移隨時(shí)間變化的函數(shù)可以表示為

式（16）中，r為原子位置矢量。

圖2 存在轉(zhuǎn)動(dòng)情況下原子感受到Raman光的Doppler頻移示意圖Fig.2 Doppler frequency shift of Raman laser felt by atoms in rotation situation

若原子速度與轉(zhuǎn)動(dòng)不垂直，假定現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與垂直轉(zhuǎn)動(dòng)方向的夾角為θ，由圖2可知，可以造成Doppler頻移的轉(zhuǎn)動(dòng)其大小為Ωcosθ。 由于Raman光與原子速度垂直，則cosθ＝sinφ，那么可以將式（16）改寫為

顯然，式（18）中的第二項(xiàng)與Raman光方向垂直，不會(huì)產(chǎn)生Doppler頻移，并假設(shè)轉(zhuǎn)速Ω為常數(shù)，故此時(shí)γ＝2Ω×v。 通過(guò)觀察式（18）還可以發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上γ是由兩項(xiàng)組成的，只不過(guò)在這種情況下兩項(xiàng)的大小相等，因此合并成為一項(xiàng)。

由這種方式雖然能夠推導(dǎo)出γ的表達(dá)式，但只是從數(shù)學(xué)上給出了一個(gè)表達(dá)式，并不能直接對(duì)應(yīng)于物理現(xiàn)象與物理機(jī)制。那么，接下來(lái)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的Doppler頻移給出一個(gè)更清晰的物理上的闡述。忽略地球自轉(zhuǎn)，從實(shí)驗(yàn)室這個(gè)固定參考系來(lái)觀察整個(gè)系統(tǒng)。不失一般性，假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)以第一束Raman光與原子相互作用的那個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并且以相遇的時(shí)刻為零時(shí)刻開始以角速度Ω進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。那么，可以觀察到原子是沿x方向水平向右移動(dòng)，當(dāng)原子團(tuán)飛行至第二束Raman光的位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)對(duì)π脈沖有兩方面的作用：

1）如圖3所示，Raman光與原子的作用角度變化了ΩT（該項(xiàng)在原子速度為零時(shí)消失），此時(shí)可得到在Raman光方向上原子的分速度為vsinΩT，即其Doppler頻移為keffvsinΩT。由于ΩT?1，有頻移近似為keffvΩT，可以認(rèn)為該項(xiàng)對(duì)應(yīng)于式（18）中的一項(xiàng)，即此時(shí)為定值，失諧產(chǎn)生于轉(zhuǎn)速Ω對(duì)時(shí)間的積分，則實(shí)際該項(xiàng)引起的失諧可以改寫為

圖3 三脈沖構(gòu)型干涉儀Raman光與原子作用角度變化示意圖Fig.3 Schematic diagram of interaction angle between Raman laser and atom ensemble in three?pulse atomic interferometer

2）如圖4所示，原子由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的位移可等效為在Raman光方向的線速度引起Doppler失諧。當(dāng)外界存在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，原子與Raman光作用的位置相比沒有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)改變，這是由于非軸心處Raman光光源在移動(dòng)，而原子在慣性系中自由飛行。在三脈沖陀螺中可以等效為原子在Raman光方向由于轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生線速度，其大小為ΩT，這里L(fēng)＝vT為兩束Raman光之間的距離。由于該速度的方向在T極小的時(shí)候可以近似認(rèn)為是切向，即速度方向與Raman光方向一致，則該相對(duì)速度所引起的失諧可以表示為keffΩL， 可以認(rèn)為該項(xiàng)對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)，即此時(shí)失諧產(chǎn)生于轉(zhuǎn)速與位置的乘積

綜合上面兩部分，可以得到總的失諧為

至此，給出了一種脈沖式冷原子干涉儀敏感慣性參量物理機(jī)制的新理解，該解釋方式給出了更清晰的物理圖像。該解釋首次清晰地分離了由轉(zhuǎn)動(dòng)引起Doppler頻移的兩個(gè)組成部分，其中一種依賴于原子拋射速度，而另一種與拋射速度無(wú)關(guān)。雖然在三脈沖構(gòu)型的原子干涉儀中這兩部分相等，但該現(xiàn)象僅僅是巧合，在四脈沖構(gòu)型的干涉儀中，這兩項(xiàng)就有了完全不同的貢獻(xiàn)，該部分內(nèi)容將在下一章中介紹。更重要的是，該機(jī)制的解釋更便于給出動(dòng)態(tài)情形下的輸出相位表達(dá)式。

3 四脈沖冷原子干涉儀中原子敏感慣性參量物理機(jī)制與相關(guān)特性

這里考慮四脈沖冷原子干涉儀，參照本文的推導(dǎo)過(guò)程，四脈沖冷原子干涉儀的輸出相位與失諧變化量的關(guān)系為

那么，按照新的物理機(jī)制來(lái)計(jì)算在四脈沖情形中具體的表達(dá)式形式。顯然，原子干涉儀測(cè)量的是測(cè)量過(guò)程中的平均轉(zhuǎn)速，因此這里考慮第一束Raman光與最后一束Raman光的變化，并將其取平均。這里假定原子初始拋射速度為v0，自由三段演化時(shí)間長(zhǎng)度分別為T、2T和T，重力加速度恒為g。

1）如圖5所示，Raman光與原子的作用角度變化了4ΩT，則由于該項(xiàng)產(chǎn)生的Doppler頻移為

顯然，由圖5可知，該項(xiàng)使得原子感受到的Raman光頻率增加。

圖5 四脈沖構(gòu)型干涉儀Raman光與原子作用角度變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of interaction angle between Raman laser and atom ensemble in four?pulse atomic interferometer

2）如圖6所示，原子由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的位移可等效為其在Raman光方向的線速度的變化，其大小為

同樣由圖6可知，由于等效位移方向?yàn)檫h(yuǎn)離光源，因此該項(xiàng)會(huì)使原子感受到的Raman光頻率變低。

圖6 四脈沖構(gòu)型干涉儀原子由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)位移示意圖Fig.6 Relative displacement of atom ensemble due to uniform rotation in four?pulse atomic interferometer

綜上所述，在四脈沖構(gòu)型的冷原子干涉儀中，由于轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的失諧變化總量為

由式（25）可知，雖然在四脈沖構(gòu)型中引起失諧量變化的兩項(xiàng)都與初始拋射速度v0相關(guān)，但最終相互抵消，使得四脈沖構(gòu)型最終輸出相位與初始拋射速度的大小無(wú)關(guān)。

4 動(dòng)態(tài)情況下三脈沖冷原子干涉儀輸出響應(yīng)

本節(jié)中，考慮在動(dòng)態(tài)情形時(shí)存在三軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下三脈沖冷原子干涉儀的輸出響應(yīng)，首先建立實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系：以原子拋射方向?yàn)閤軸，以初始Raman光方向的反方向?yàn)閥軸，以為z軸。假設(shè)有三軸轉(zhuǎn)動(dòng)Ω，可將其分解為三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)并分別進(jìn)行討論，即Ω＝Ωx+Ωy+Ωz。 顯然，由于采用的是實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系，而原子在拋出之后是在慣性空間中自由飛行，即可以將系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)等價(jià)地理解為Raman光方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。這里為了討論的簡(jiǎn)便，假定轉(zhuǎn)動(dòng)均為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并不考慮重力加速度。

下面利用前文給出的物理機(jī)制對(duì)該情形下干涉儀的響應(yīng)進(jìn)行分析。

（1）x軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)Ωx

如圖7所示，不失一般性，假設(shè)此時(shí)系統(tǒng)感受到的轉(zhuǎn)動(dòng)為Ω＝Ωx+Ωz，則根據(jù)前文的分析，在初始狀態(tài)下進(jìn)行Ωx的旋轉(zhuǎn)并不會(huì)影響初始狀態(tài)下原子的失諧。因此，不妨假定在初始狀態(tài)后一瞬間，系統(tǒng)沿x軸旋轉(zhuǎn)了ΩxT角度，接下來(lái)，系統(tǒng)只感受到Ωz的旋轉(zhuǎn)，并持續(xù)了T時(shí)間。這種情況下，原子等效于在Raman光方向?yàn)閥′軸時(shí)進(jìn)行了的旋轉(zhuǎn)，即圖7中的顯然有

圖7 沿x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的分解示意圖Fig.7 Exploded diagram of rotation along x?axis

可以簡(jiǎn)單理解為系統(tǒng)感受到的是原轉(zhuǎn)動(dòng)的投影。由于待測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸不變，則式（26）中轉(zhuǎn)動(dòng)Ω的方向?yàn)閦軸方向。這里以第一束Raman光為基準(zhǔn)，令第二束以及第三束Raman光在yoz平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的角度分別為θ1和θ2， 則可以求得原子在第一束Raman光與第二束Raman光之間失諧的變化率，相當(dāng)于原失諧變化率的一個(gè)投影，即

這里，假定通過(guò)事先調(diào)節(jié)使得第一束Raman光與原子的失諧為零，即δ0＝0。 通過(guò)類似的計(jì)算，可以得到原子在第二束Raman光與第三束Ra?man光之間失諧的變化率為

結(jié)合式（27）、 式（28），如圖8所示，可以得到原子干涉儀的最終輸出相位為

圖8 三脈沖構(gòu)型干涉儀中Raman光沿x軸轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.8 Diagram of Raman laser rotation along x?axis in three?pulse atomic interferometer

（2）y軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)Ωy

如圖9所示，顯然沿y軸轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)影響keff的方向，即在Ωy的轉(zhuǎn)動(dòng)下keff×v的大小和方向均不會(huì)改變。因此，Ω·（keff×v）保持不變，這一項(xiàng)不會(huì)引起輸出值的變化。但需要注意的是，Ωy轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)引起原子與Raman光的相對(duì)位置發(fā)生改變，通常在Raman光光斑足夠大的情況下該項(xiàng)可以忽略。

圖9 三脈沖構(gòu)型干涉儀中Raman光沿y軸轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.9 Diagram of Raman laser rotation along y?axis in three?pulse atomic interferometer

（3）z軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)Ωz

如圖10所示，顯然，沿原敏感軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以直接等效地加入待測(cè)轉(zhuǎn)速中。

圖10 三脈沖構(gòu)型干涉儀中Raman光沿z軸轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.10 Diagram of Raman laser rotation along z?axis in three?pulse atomic interferometer

綜合以上三種情形，在實(shí)際情況下外界載體的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)Ω會(huì)引起的輸出量偏差為

至此，新的物理機(jī)制揭示了在三軸轉(zhuǎn)動(dòng)下原子干涉儀的相位輸出，該方式比原有計(jì)算原子空間軌跡的方式可以更直接、更清晰地給出干涉儀的輸出相位表達(dá)式，更有利于將原子干涉儀運(yùn)用在動(dòng)態(tài)場(chǎng)景當(dāng)中。

5 結(jié)論

綜上所述，本文首次給出了在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中原子與光相互作用失諧的兩種不同變化來(lái)源是導(dǎo)致原子干涉儀能夠敏感到慣性參量的物理本質(zhì)。該新機(jī)制的提出大大簡(jiǎn)化了原有利用原子軌跡的路徑積分來(lái)計(jì)算干涉儀輸出相位的方法，并更進(jìn)一步給出了脈沖式原子干涉儀在三軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形下的輸出表達(dá)式。這種對(duì)原子干涉儀輸出響應(yīng)的新理解顯著提升了該類系統(tǒng)在復(fù)雜情形下的解算可行性，并為未來(lái)可能的動(dòng)平臺(tái)應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。