三浮陀螺加速度計(jì)浮子六自由度運(yùn)動(dòng)分析

賀 宇，孫文利，馮毅博

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

0 引言

三浮陀螺加速度計(jì)屬于擺式積分陀螺加速度計(jì) （Pendulous Integrating Gyroscope Accelerometer，PIGA），是一種利用陀螺力矩進(jìn)行反饋的擺式加速度計(jì)［1］，具有陀螺儀和擺的雙重特性。為了消去干擾力矩的影響，需要利用伺服、磁懸浮、溫控等控制回路對(duì)浮子、框架的轉(zhuǎn)動(dòng)等進(jìn)行控制，保證儀表的正常工作狀態(tài)與輸出精度。對(duì)浮子的六自由度建模分析可更好地描述其在浮液內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。穩(wěn)定浮子質(zhì)心位置，實(shí)現(xiàn)對(duì)浮子的六自由度控制，可提升儀表結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，減小安裝誤差帶來的影響，對(duì)提升、發(fā)揮三浮儀表的精度優(yōu)勢(shì)具有重要意義［2?3］。 在有橫向加速度時(shí)，浮子的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)也對(duì)分析儀表輸出方程中的各非線性項(xiàng)具有重要意義。

王雪等［4?5］對(duì)三浮陀螺的浮子進(jìn)行了磁懸浮控制系統(tǒng)建模，并對(duì)其磁懸浮與溫控回路進(jìn)行了一體化設(shè)計(jì)，其模型涉及到陀螺儀浮子的五個(gè)自由度。唐哲［6］對(duì)三浮陀螺的浮子運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了建模與仿真分析，其分析主要涉及陀螺儀磁懸浮控制系統(tǒng)的五個(gè)自由度。吳遼等［7］在對(duì)三浮陀螺的磁懸浮結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)陀螺的浮子進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

轉(zhuǎn)子陀螺儀的浮子具有對(duì)稱性，無偏心質(zhì)量，在上述提到的已有工作中，對(duì)其建模分析僅包含磁懸浮系統(tǒng)所能控制的五個(gè)自由度。而三浮陀螺加速度計(jì)的浮子具有偏心質(zhì)量，目前并未有此類對(duì)其浮子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的理論建模。對(duì)三浮陀螺加速度計(jì)工作原理的動(dòng)力學(xué)分析往往將其簡(jiǎn)化為帶偏心質(zhì)量的雙框架二自由度陀螺儀，內(nèi)外框架間只存在內(nèi)環(huán)軸的旋轉(zhuǎn)角度一個(gè)自由度，并主要分析雙框架繞各自旋轉(zhuǎn)軸的角運(yùn)動(dòng)。針對(duì)上述分析中陀螺儀的浮子動(dòng)力學(xué)模型僅有五個(gè)自由度的不足以及未有對(duì)三浮陀螺加速度計(jì)帶有偏心質(zhì)量的浮子模型進(jìn)行建模的不足，本文考慮了三浮陀螺加速度計(jì)的浮子在浮液內(nèi)有平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)共六個(gè)自由度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而可建立更為完整的三浮陀螺加速度計(jì)工作原理模型，以更好地描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并可據(jù)此實(shí)現(xiàn)對(duì)浮子的六自由度調(diào)整，從而穩(wěn)定了浮子位置，確保了模型的準(zhǔn)確性，提升了整表精度。因此，本文以可六自由度運(yùn)動(dòng)的浮子以及包含浮子組件在內(nèi)的外框架為研究對(duì)象，建立了完整的動(dòng)力學(xué)模型。在無橫向加速度時(shí)，對(duì)模型進(jìn)行線性化，根據(jù)線性化模型，通過互相解耦的控制回路與一體化的控制系統(tǒng)對(duì)浮子進(jìn)行了六自由度調(diào)整試驗(yàn)；在有橫向加速度時(shí)，對(duì)浮子的非線性耦合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析，并通過試驗(yàn)獲取了相關(guān)數(shù)據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)分析

如圖1所示，分別建立固連在浮子的坐標(biāo)系O2X2Y2Z2（內(nèi)框系）、固連在外框架上的坐標(biāo)系O1X1Y1Z1（外框系）、固連在加速度計(jì)外殼體的坐標(biāo)系O0X0Y0Z0（基座系）。陀螺角動(dòng)量為H，浮子組件質(zhì)量為m，在浮液內(nèi)可自由運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心位于O2X2Y2Z2坐標(biāo)系的l＝［0 0l］T處，將其在浮液內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為以O(shè)2為基點(diǎn)的平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，浮子組件長(zhǎng)度為L(zhǎng)（沿O2Y2軸），浮液浮力Ff等效作用于O2處。

圖1 三浮陀螺加速度計(jì)原理圖Fig.1 Principle diagram of PIGA

根據(jù)三浮陀螺加速度計(jì)的工作環(huán)境，設(shè)外殼體相對(duì)慣性空間保持固定姿態(tài)即無相對(duì)角速度［8］。設(shè)外框架繞外框軸的進(jìn)動(dòng)角速度為，浮子在浮液中相對(duì)外框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角度分別為θx、β、θz，轉(zhuǎn)動(dòng)角度角秒量級(jí)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)順序無要求，在O2X2Y2Z2與O1X1Y1Z1的投影相同。從O1X1Y1Z1坐標(biāo)系到O2X2Y2Z2坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣為Cnw， 同理由于3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度均較小，對(duì)正余弦做近似處理可以得到，無論在何種轉(zhuǎn)動(dòng)順序下均有

理想狀況下，浮子組件在O2X2Y2Z2坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J2＝diag（J2x，J2y，J2z）； 外框架在O1X1Y1Z1坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J1＝diag（J1x，J1y，J1z）。浮子組件整體的角動(dòng)量投影在O2X2Y2Z2上為：為浮子組件相對(duì)慣性空間的角速度；外框架的角動(dòng)量Hw投影到外框系O1X1Y1Z1時(shí)：為外框架相對(duì)慣性空間的角速度，

首先以浮子為研究對(duì)象，將浮子運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)外框架坐標(biāo)系O1X1Y1Z1的平動(dòng)與繞自身固連系O2X2Y2Z2原點(diǎn)O2的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒定理，列出的矢量表達(dá)式為

式（2）中的第一個(gè)矢量方程為平動(dòng)方程，投影在外框系O1X1Y1Z1上，x為浮子相對(duì)外框架的位移矢量。F為浮子的外力矢量和，浮子組件受到浮液的浮力Ff、磁懸浮磁拉力（左端徑向磁力Fxl、Fzl，軸向磁力Fy，右端徑向磁力Fxr、Fzr）、 慣性加速度a0產(chǎn)生的力（a0為外殼體的視加速度在O0X0Y0Z0坐標(biāo)系的投影）、浮液阻尼的作用力。還應(yīng)考慮外框架轉(zhuǎn)動(dòng)帶來的牽連加速度以及科氏加速度產(chǎn)生的慣性力-MA1，其加速度

式（2）中的第二個(gè)矢量方程為以基點(diǎn)O2為中心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方程，投影在內(nèi)框系O2X2Y2Z2上，Mn為磁懸浮拉力產(chǎn)生的力矩、相對(duì)角運(yùn)動(dòng)浮液阻尼力矩、各慣性力矩（基座加速度a0引起的慣性力矩Mn1，外框架轉(zhuǎn)動(dòng)、浮子與外框架的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力矩Mn2）的矢量和，由于浮心位于原點(diǎn)O2處，因此浮力不產(chǎn)生力矩。其中，磁懸浮拉力產(chǎn)生的力矩在O1X1Y1Z1上的投影Mcxf＝可轉(zhuǎn)換到O2X2Y2Z2坐標(biāo)系，外框架轉(zhuǎn)動(dòng)、浮子與外框架間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)帶來的慣性力矩Mn2可展開寫為

同理，以外框架（包含內(nèi)部浮子組件）為研究對(duì)象可得轉(zhuǎn)動(dòng)矢量方程

式（4）中，Mw應(yīng)包含基座的加速度帶來的慣性力矩Mw1、沿O1X1軸的干擾力矩MX1以及電機(jī)力矩-MD。此處使用自由剛體的運(yùn)動(dòng)模型，不考慮內(nèi)部浮液流動(dòng)的干擾，則將上述浮子的2個(gè)矢量方程展開，并求出外框矢量方程沿OX1的分量，可得

ABS樹脂的增韌機(jī)理為多重銀紋及剪切帶，橡膠粒子誘發(fā)銀紋并阻止銀紋的發(fā)展，多個(gè)橡膠粒子互相作用形成多重銀紋，吸收能量，材料表現(xiàn)出韌性。當(dāng)溫度提高到一定程度，高分子之間自由空間加大，分子鏈段運(yùn)到能力提高，分子鏈更加容易取向，在外力作用下更多的分子參與形變，形成剪切帶，提高材料抵抗外力的能力。

式（5）中，c為浮液對(duì)浮子做相對(duì)線運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)，cθ為浮液、 浮子做相對(duì)角運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)，a1＝［a1xa1ya1z］T為基座加速度a0在O1X1Y1Z1的投影。

2 基座加速度對(duì)模型的影響分析

2.1 非線性耦合運(yùn)動(dòng)分析

在基座加速度a0＝［a0xa0ya0z］T即有橫向加速度a0y、a0z時(shí)，內(nèi)框架慣性力矩Mn1為

外框架慣性力矩Mw1為

由于浮子與外框架間的位移為微米量級(jí)，浮子在浮液內(nèi)的角運(yùn)動(dòng)為角秒量級(jí)，與其他量相比相對(duì)微小，且采用了阻尼系數(shù)c與cθ較大黏稠浮液，故舍去式（5）中等式右側(cè)含有與x或［θxβθz］T乘積的力與力矩，且可忽略式（5）中等式左側(cè)的角度變量二階及高階乘積小量，則可得內(nèi)框架慣性力矩為

外框架慣性力矩沿O1X1的分量為

可得方程組

由于外框架的進(jìn)動(dòng)，式（10）中的輸入力矩為式（7）、式（9）中的周期性力矩，無法線性化。由于平動(dòng)方程與轉(zhuǎn)動(dòng)方程右側(cè)受力、力矩項(xiàng)與外框架進(jìn)動(dòng)項(xiàng)有關(guān)，同時(shí)各自由度間有較強(qiáng)的相互耦合［9］，因此在輸入加速度固定時(shí)，浮子最終將呈現(xiàn)出周期性的運(yùn)動(dòng)，各自由度運(yùn)動(dòng)周期與進(jìn)動(dòng)周期一致。

2.2 模型線性化與靜態(tài)解耦分析

考慮到浮液可在溫控回路的控制下保持溫度穩(wěn)定［10］，則在浮子的平動(dòng)方程中，浮力將與各慣性力達(dá)到平衡，于是浮子的外力矢量和F可簡(jiǎn)化為磁懸浮拉力與相對(duì)線運(yùn)動(dòng)引起的浮液阻尼力的矢量和。在基座無橫向加速度即慣性力只有沿O0X0的分量時(shí)有由上述分析可得內(nèi)框架慣性力矩因此，可實(shí)現(xiàn)對(duì)方程組的線性化

據(jù)此建立整個(gè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程

選取13維狀態(tài)變量和7維輸入量

可得系統(tǒng)矩陣A13×13和矩陣B13×7

選取7個(gè)方便觀測(cè)的輸出量

各變量分別為：浮子左右端沿X1軸的位移xl和xr、沿Y1軸的位移y、左右端沿Z1軸的位移zl和zr、內(nèi)環(huán)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角β、外環(huán)軸進(jìn)動(dòng)角速度?α，可得輸出方程

則有

對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行分析，可求得

因此對(duì)應(yīng)矩陣滿秩，則式表明上述系統(tǒng)滿足靜態(tài)解耦條件，7個(gè)輸出量在一定條件下，穩(wěn)態(tài)時(shí)由對(duì)應(yīng)的輸入量所控制。輸入輸出量中的前5個(gè)與磁懸浮回路相關(guān)，其余2個(gè)輸入輸出量與伺服回路相關(guān)，此外為保證浮液提供的浮力以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)角運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)穩(wěn)定，需要溫控回路控制浮液溫度。因此，通過三浮陀螺加速度計(jì)的溫控、磁懸浮與伺服三條回路相互配合控制，可實(shí)現(xiàn)對(duì)上述7個(gè)變量的調(diào)整。浮子的六自由度通常為3個(gè)平動(dòng)自由度與3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，即狀態(tài)變量中的以下六維

通過可逆轉(zhuǎn)化矩陣

可將其轉(zhuǎn)換為輸出量中的前六個(gè)變量

即Y6＝C6X6， 由于轉(zhuǎn)化矩陣可逆-L2/2），因此上述兩種六自由度完全等價(jià)。而Y6中的前5個(gè)變量即磁懸浮回路所控制的浮子徑向、軸向的位移，第6個(gè)變量對(duì)應(yīng)伺服回路中的內(nèi)環(huán)角度。因此在溫度穩(wěn)定的條件下，通過發(fā)送通信指令可對(duì)上述6個(gè)自由度進(jìn)行調(diào)整。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 斜置試驗(yàn)

圖2 橫向加速度造成的浮子周期性運(yùn)動(dòng)Fig.2 Periodic motion of floater caused by lateral acceleration

由該浮子位置可得表1。

表1 浮子斜置試驗(yàn)狀態(tài)分析Table 1 State analysis of floater inclined experiment

根據(jù)式（10），由于其非線性耦合性較強(qiáng)，此處僅分析由于外框架進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的周期力矩、周期力而導(dǎo)致浮子各自由度呈現(xiàn)的周期運(yùn)動(dòng)是否一致的問題。進(jìn)動(dòng)周期的設(shè)計(jì)值為6.60s，顯然各自由度運(yùn)動(dòng)周期基本與外框架進(jìn)動(dòng)周期一致，測(cè)試結(jié)果與該方程組特性一致。

3.2 六自由度調(diào)整試驗(yàn)

為驗(yàn)證在無橫向加速度時(shí)的線性化模型以及靜態(tài)解耦特性，對(duì)浮子進(jìn)行六自由度調(diào)整試驗(yàn)，試驗(yàn)使用上述進(jìn)行了小型一體化控制回路設(shè)計(jì)的某型號(hào)三浮陀螺加速度計(jì)以及程控多齒分度臺(tái)ZDFT?720。為驗(yàn)證靜態(tài)解耦與六自由度調(diào)整，利用分度臺(tái)使得儀表輸入軸O1X1與當(dāng)?shù)厮矫鎶A角為180°，此時(shí)加速度輸入a0＝［-g0 0］T， 通過上位機(jī)對(duì)一體化控制系統(tǒng)發(fā)送指令，對(duì)浮子6個(gè)自由度進(jìn)行調(diào)整，可得到如圖3所示結(jié)果。在整個(gè)測(cè)試過程中，在不同時(shí)間分別使用上位機(jī)對(duì)一體化控制系統(tǒng)發(fā)送相應(yīng)的調(diào)整指令，觀察各自由度的調(diào)整結(jié)果，判斷是否可實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦以及對(duì)六自由度的調(diào)整，調(diào)整自由度時(shí)發(fā)送的指令內(nèi)容以及調(diào)整后的狀態(tài)分析如表2所示。

圖3 浮子六自由度調(diào)整試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Results of floater 6?DOF adjustment experiment

表2 浮子六自由度調(diào)整試驗(yàn)指令、狀態(tài)分析Table 2 Command and status analysis of floater 6?DOF adjustment experiment

分析浮子六自由度位置狀態(tài)的圖表可知：在過渡過程中，浮子各徑向位移之間有耦合作用；各平動(dòng)位置變量在過渡時(shí)間后與其穩(wěn)態(tài)誤差大部分均小于0.06μm，該值小于磁懸浮控制回路的死區(qū)范圍，轉(zhuǎn)動(dòng)位置的誤差小于5″，該值接近內(nèi)環(huán)角度傳感器的死區(qū)范圍。因此，在穩(wěn)態(tài)時(shí)浮子徑向軸向位移、內(nèi)環(huán)角度共6個(gè)自由度均能達(dá)到設(shè)定值，可實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦對(duì)浮子的六自由度調(diào)整。

4 結(jié)論

本文以可六自由度運(yùn)動(dòng)的浮子與外框架為分析對(duì)象，建立了三浮陀螺加速度計(jì)的工作原理動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)有無橫向加速度輸入，對(duì)浮子的六自由度運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析。在有橫向加速度輸入時(shí)，可得由于進(jìn)動(dòng)導(dǎo)致的周期性力矩、周期力，浮子各自由度均將做周期運(yùn)動(dòng)，通過斜置試驗(yàn)得到了浮子的周期性運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了浮子各自由度均呈現(xiàn)出與陀螺擺進(jìn)動(dòng)周期一致的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的結(jié)論。在無橫向加速度輸入時(shí)，可對(duì)動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行線性化，分析可知模型具有靜態(tài)解耦特性，據(jù)此通過小型一體化控制系統(tǒng)對(duì)儀表進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)浮子的六自由度調(diào)整，驗(yàn)證了浮子六自由度運(yùn)動(dòng)的可靜態(tài)解耦特性。