一類指數(shù)型非線性隨機(jī)差分方程組解的穩(wěn)定性分析

佘智鳳, 廖新元, 陳沙沙, 金 薇

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 湖南 衡陽 421001)

0 引 言

眾所周知，大自然中事物的發(fā)展都有其客觀規(guī)律，最開始，人們用確定性模型來刻畫系統(tǒng)。實際上，世界的本質(zhì)是隨機(jī)的，這些系統(tǒng)受到自然界多種因素的影響，有些影響比較大，不可忽略，1953年，杜布出版了名著《隨機(jī)過程論》，系統(tǒng)地敘述了隨機(jī)過程基本理論。

隨機(jī)差分方程由于考慮了現(xiàn)實世界多種因素對系統(tǒng)的影響，較之確定性方程，能更準(zhǔn)確地描述實際生活中的現(xiàn)象和實物發(fā)展的客觀規(guī)律，這促使國內(nèi)外學(xué)者紛紛投入研究，并取得了豐富的研究成果，此后隨機(jī)差分方程的研究工作迅速發(fā)展。隨機(jī)差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)和物理學(xué)等各個領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用[1-9]。

對有些問題的研究，線性隨機(jī)差分方程不能準(zhǔn)確地描述實際動力學(xué)性態(tài)，具有一定的局限性，為了便于研究，許多學(xué)者建立了指數(shù)型差分方程[10-16]。但忽略了自然界中各種隨機(jī)擾動的存在，相較而言，指數(shù)型非線性隨機(jī)差分方程更貼切于現(xiàn)實情況。例如，文獻(xiàn)[17]中，L.Shaikhet在指數(shù)型離散時滯蚊子種群方程的基礎(chǔ)上，考慮了隨機(jī)擾動對系統(tǒng)的影響，研究了指數(shù)型隨機(jī)蚊子種群方程在平衡點(diǎn)處依概率穩(wěn)定的充分條件。本文在其基礎(chǔ)上，考慮了雙隨機(jī)擾動，研究其類似的方程組系統(tǒng)平衡解穩(wěn)定的充分條件。

1 正平衡點(diǎn)

本文考慮下列指數(shù)型非線性隨機(jī)差分方程組系統(tǒng)平衡解穩(wěn)定的充分條件

n=0,1,2，……,x1(j)=φ1(j),

x2(j)=φ2(j),j=-1,0。

(1)

Eξk(n)=0,E2ξk(n)=0,Eξi(n)Eξj(n)=0,

i,j=1,2,3,4,i≠j。

首先求解模型正平衡點(diǎn)存在的參數(shù)條件及正平衡點(diǎn)滿足的條件。

(2)

顯然，對任意的正參數(shù)，即a,b,c,μ,v>0，方程(1)都有零解E0=(0,0)。

(3)

(4)

(5)

(6)

證明 1) 由方程組(2)可得

則

即η>1。

2)顯而易見，條件(4)直接由方程組(2)得到。

3)將式(4)中第2個式子代入方程組(2)第2個式子得到(5)第1個式子,將(4)中第1個式子代入(2)第1個式子得到(5)第2個式子。

4)由式(4)2個式子分別可得

即

條件(6)得證。

2 線性化和一些引理

(7)

(8)

對于零平衡點(diǎn)E0,方程(7),(8)分別可寫成

(9)

(10)

為了研究方程在零平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，先給出下列引理。

記σ-代數(shù)Fi的條件期望為Ei=E{./φi}，令Uε=x:|x|≤ε,ΔVi=Vi+1-Vi。

引理2[21]對方程(7)(或(9))，假設(shè)存在一個非負(fù)函數(shù)Vi=V(i,z(-1),……,z(i))滿足下列條件

V(i,y(-1),……,y(i))≥c0|y(i)|2,

(11)

V(0,φ(-1),……,φ(0))≤c1‖φ‖2,

(12)

EiΔVi≤0,xj∈Uε,-h≤j≤i,i∈Z。

(13)

其中ε>0,c0>0,c1>0，則方程(7)(或(9))的平凡解是依概率穩(wěn)定的。

引理3[21]對方程(8)(或(10))，假設(shè)存在一個非負(fù)函數(shù)Vi=V(i,z(-1),……,z(i))滿足條件(12)且

EiΔVi≤-c2E|z(i)|2,i∈Z。

(14)

其中c2>0，那么方程(8)(或(10))的零解是漸近均方穩(wěn)定的。

備注1：對于一個高階非線性差分方程組，若其線性化方程存在一個泛函Vi滿足條件(11)、(12)和(14)，那么其初始非線性方程組也存在一個泛函Vi滿足條件(11)、(12)和(13)。為了得到非線性方程(7)(或(9))零解依概率穩(wěn)定的充分條件，只需要通過構(gòu)造滿足條件(11)、(12)和(14)的泛函Vi以得到其線性化方程(8)(或(10))零解漸近均方穩(wěn)定的充分條件。

3 穩(wěn)定性條件

下面引進(jìn)一個二維線性隨機(jī)差分方程組

(15)

顯然，方程(15)是方程(7)和(9)的更一般化的形式，則方程(15)零解漸近均方穩(wěn)定的的充分條件也適用于方程(7)和(9)，為了得到方程(15)零解漸近均方穩(wěn)定的充分條件，令

Q,D,U是對稱矩陣，若對于兩個對稱矩陣Q,D，Q-D是一個正定矩陣，則記Q>D。

定理1設(shè)對于某些正定矩陣Q,矩陣方程A′DA-D=-U有半正定解D，使得

那么方程(15)的零解是漸近均方穩(wěn)定的。

證明 記

那么式(15)可以寫成

w(n+1)=[A+B(ξ(n+1))]w(n)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(n)=w′(n)Dw(n),則

EΔV(n)=E(w′(n+1)Dw(n+1)-

w′(n)Dw(n))=Ew′(n)([A+

B′(ξ(n+1))]D[A+B(ξ(n+1))]-

D)w(n)=Ew′(n)[A′DA-D+

B′(ξ(n+1))DB(ξ(n+1))]w(n)=

Ew′(n)[-U+B′(ξ(n+1))DB(ξ(n+

1))]w(n)=ETr(w(n)w′(n))[-U+

B′(ξ(n+1))DB(ξ(n+1))]=

TrE(w(n)w′(n))[-U+B′(ξ(n+

1))DB(ξ(n+1))]=Tr(E(z(n)×

z′(n))[-Q+Eθ′(ξ(n+1))×

D22θ(ξ(n+1))])=Tr(E(z(n)×

z′(n))[-Q+Eθ′(ξ(n+1))×

D22θ(ξ(n+1))])=Tr(E(z(n)×

z′(n))[-Q+Eθ′(ξ(n+1))×

D22θ(ξ(n+1))])=Tr(E(z(n)×

綜上，EΔV(n)≤-cE|z(n)|2,由引理3可得，方程(15)的零解是漸近均方穩(wěn)定的。

備注2：對方程(10)(或(8))，如果定理1的條件成立，則方程(10)(或(8))的零解是漸近均方穩(wěn)定的，由備注1,可以得到，方程(9)(或(7)的零解是依概率穩(wěn)定的，因此方程(1)的平衡點(diǎn)依概率穩(wěn)定的充分條件得證。

4 數(shù)值模擬

1)令a=0.6,b=0.15,c=0.45,d=0.2,μ=ν=0.25,此時η<1，則方程(1)只有零解E0，當(dāng)

由矩陣方程A′DA-D=-U，得

由引理2,引理3和定理1可得：

1)方程(10)的零解是漸近均方穩(wěn)定的；

2)方程(9)的零解是依概率穩(wěn)定的。

考慮方程(9),即考慮方程(1)解的軌跡。令σ11=0.11,σ12=0.25,σ21=0.31,σ22=0.11,y1(-1)=0.5,y1(0)=0.4,y2(-1)=0.6,y2(0)=0.8。如圖1所示，根據(jù)方程(9)的零平衡點(diǎn)的依概率穩(wěn)定性，其100個解的軌跡都趨向于零。

圖1 方程(9)解的100個軌跡Fig.1 100 trajectories of the solution of the system(9)

2)令a=0.9,b=0.15,c=0.7,d=0.45,μ=ν=0.25,則η=2.25>1，方程(1)不僅有零平衡點(diǎn)E0還有正平衡點(diǎn)E+=(0.287,0.334)，考慮方程(1)的正解，當(dāng)

由矩陣方程A′DA-D=-U，得

由引理2,引理3和定理1可得：

1)方程(8)的零解是漸近均方穩(wěn)定的；

2)方程(7)的零解(方程(1)正平衡點(diǎn))是依概率穩(wěn)定的。

考慮方程(9)也就是考慮方程(1)解的軌跡。令σ11=0.15,σ12=0.21,σ21=0.11,σ22=0.25,y1(-1)=0.5,y1(0)=0.4,y2(-1)=0.6,y2(0)=0.8根據(jù)方程(9)的零平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性，其解的軌跡如圖2所示。

圖2 方程(9)解的100個軌跡Fig.2 100 trajectories of the solution of the system(9)

考慮方程(1)的零解，當(dāng)

由矩陣方程A′DA-D=-U，可得d11=0.097,d22=-0.127,d33=-5.645,d44=0.481,則矩陣D不是一個正定矩陣，方程(1)的零解是不穩(wěn)定的。

考慮方程(1)解的軌跡，設(shè)方程(1)的初值函數(shù)為x1(-1)=0.5,x1(0)=0.6,x2(-1)=0.4,x2(0)=0.8,σ11=0.11,σ12=0.15,σ21=0.13,σ22=0.11,方程(1)的正平衡點(diǎn)是依概率穩(wěn)定的，如圖3所示，方程(1)的解的軌跡都收斂于正平衡點(diǎn)E+=(0.287,0.334)。

圖3 方程(1)解的100個軌跡Fig.3 100 trajectories of the solution of the system(1)

5 結(jié) 論