基于α法的離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)超調(diào)優(yōu)化1

程福亨, 龍達(dá)峰

（惠州學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，廣東 惠州 516007）

調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)是控制領(lǐng)域的基本問題，經(jīng)過幾十年發(fā)展，相關(guān)理論和方法日漸完善[1-2]．隨著優(yōu)化控制的發(fā)展，線性二次調(diào)節(jié)器（Linear quadratic regulator, LQR）設(shè)計(jì)理論為調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)提供了一種很好的方案．最近十幾年，不少研究圍繞改進(jìn)現(xiàn)有的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)方法或者把這些方法應(yīng)用于某些特殊系統(tǒng)[3-5]．在離散時(shí)間線性系統(tǒng)的LQR設(shè)計(jì)理論中，優(yōu)化目標(biāo)是各時(shí)刻狀態(tài)、輸入的二次函數(shù)之和，因此不能用于優(yōu)化諸如最大狀態(tài)范數(shù)等單個(gè)值的情況．

超調(diào)量最早見于經(jīng)典控制理論，并被用于度量階躍跟蹤時(shí)最大輸出與最終輸出的差相對(duì)最終輸出的大小，人們?cè)?jīng)對(duì)線性系統(tǒng)階躍跟蹤時(shí)的超調(diào)優(yōu)化問題進(jìn)行了大量研究[6-11]．在調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)中，對(duì)于任意非零初態(tài)，要求設(shè)計(jì)合適的控制輸入，使得系統(tǒng)狀態(tài)逐漸趨近于原點(diǎn)．顯然，從0時(shí)刻開始趨于原點(diǎn)的過程中，系統(tǒng)狀態(tài)的范數(shù)一般呈現(xiàn)非單調(diào)變化．若把此過程中狀態(tài)最大范數(shù)與初始狀態(tài)范數(shù)之比稱為系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)過程中的超調(diào)量，并作為優(yōu)化目標(biāo)，這是完全不同于LQR設(shè)計(jì)方案和跟蹤控制的超調(diào)優(yōu)化問題，并且具有理論和實(shí)際意義．

近年來，復(fù)雜非線性系統(tǒng)的優(yōu)化問題是一個(gè)研究熱點(diǎn)[12-14]．但是，線性系統(tǒng)的優(yōu)化問題仍是基本問題，并在一定意義上有助于非線性系統(tǒng)優(yōu)化研究．本文在研究固定α法特性的基礎(chǔ)上，把該方法應(yīng)用于離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)過程中的超調(diào)優(yōu)化，并給出了相應(yīng)的設(shè)計(jì)過程．隨著狀態(tài)的演變，對(duì)于不同的當(dāng)前狀態(tài)，若α取使得下個(gè)時(shí)刻狀態(tài)范數(shù)最小的值，或許可以進(jìn)一步優(yōu)化狀態(tài)超調(diào)量，從而提出了動(dòng)態(tài)α法，并且，以一類4階系統(tǒng)為例，研究了采用動(dòng)態(tài)α法必然比采用固定α法可以獲得更小超調(diào)的數(shù)學(xué)條件．

1 問題描述及預(yù)備知識(shí)

文中用到的符號(hào)說明如下：

?：實(shí)數(shù)集；

?n：n維實(shí)向量集或n×1實(shí)矩陣集；

?n×n：n×n實(shí)矩陣集；

PT:矩陣P的轉(zhuǎn)置矩陣；

P-1:可逆矩陣P的逆陣；

xT：向量x∈?n的轉(zhuǎn)置向量；

xi: 向量x∈?n的第i個(gè)分量；

‖x‖：向量x的2-范數(shù)；

0:合適維數(shù)各元素都為0的列向量；

E:合適階數(shù)的單位矩陣.

考慮下式描述的n-階單輸入可控離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：

其中，x k ∈?n是系統(tǒng)狀態(tài)，u k ∈?是系統(tǒng)輸入，A∈?n×n和B∈?n×1分別是系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣.

我們用狀態(tài)2-范數(shù)度量系統(tǒng)（1）狀態(tài)調(diào)節(jié)期間的超調(diào)量.由于2-范數(shù)的齊次性，只需要考慮n維單位球面上初態(tài)的超調(diào)量，則系統(tǒng)（1）在狀態(tài)調(diào)節(jié)期間的狀態(tài)超調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題描述如下：

對(duì)于n維單位球面上的給定初態(tài)x 0 ，設(shè)計(jì)一個(gè)控制輸入u k ，使得系統(tǒng)狀態(tài)向原點(diǎn)趨近過程中的最大狀態(tài)2-范數(shù)最小化，即

定義1 對(duì)于某個(gè)給定的初態(tài)x 0 ，如果有一個(gè)控制輸入u kx0,使得

則稱系統(tǒng)（1）在初態(tài)x 0 可以無狀態(tài)超調(diào)；否則，稱 η-1 ×100%為系統(tǒng)在初態(tài)x 0 的狀態(tài)超調(diào)量，所有的無超調(diào)初態(tài)形成系統(tǒng)的無超調(diào)區(qū)域，如果系統(tǒng)的無超調(diào)區(qū)域覆蓋整個(gè)狀態(tài)空間，則系統(tǒng)是狀態(tài)無超調(diào)的，否則稱

為系統(tǒng)的狀態(tài)超調(diào)量.

2 基于α法的離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 固定α法的基本原理

對(duì)于系統(tǒng)（1），令

其中，μ1、μ2、…，μn-1是如下特征多項(xiàng)式的系數(shù)，

其中

直接計(jì)算可知：

進(jìn)一步，如果

因此，控制輸入（8）使得系統(tǒng)狀態(tài)2-范數(shù)隨著時(shí)間廣義單調(diào)遞減. 隨后，把這個(gè)方法稱為固定α法.

2.2 固定α法的特性

為了設(shè)計(jì)一個(gè)控制輸入使得狀態(tài)調(diào)節(jié)過程中的超調(diào)量盡可能小，下面研究固定α法的一些特性.

定理1對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)（1），自0時(shí)刻起，如果每n個(gè)連續(xù)時(shí)刻視為一個(gè)周期，那么2個(gè)相鄰周期相應(yīng)時(shí)刻的狀態(tài)2-范數(shù)具有如下關(guān)系

證明：顯然，

同時(shí)，把控制輸入（8）式代入系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型（5）式，可得，

把式（11）代入式（10）并簡化即得結(jié)論. 證畢.

根據(jù)定理1，當(dāng)k→+∞時(shí)，‖x k ‖的最大值必然出現(xiàn)在k∈ 0，1，…，n-1 . 因此，為了使得系統(tǒng)（1）在狀態(tài)調(diào)節(jié)期間的狀態(tài)超調(diào)最小，只需

定理2對(duì)于一個(gè)給定初態(tài)x 0 ,如果系統(tǒng)（1）的控制輸入如式（8）所示，那么當(dāng)k=1，2，…，n-1時(shí)，‖x k ‖2是常數(shù)，或者是關(guān)于α的開口向上的二次函數(shù).

證明：根據(jù)向量的加法特性，有

因此，

對(duì)于給定系統(tǒng)及初態(tài)，akTPTPak、akTPTPbk和bkTPTPbk都是常數(shù)，因此，從數(shù)學(xué)形式上看，‖x k ‖2是關(guān)于α的開口向上的二次函數(shù).

同時(shí)，對(duì)于給定的非零初態(tài)x 0 ，xˉ 0 =P-1x 0 也是非零向量.

此外，由于矩陣PTP正定，則這些二次函數(shù)的圖像開口都向上. 證畢.

2.3 基于固定α法的狀態(tài)超調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)

結(jié)合固定α法及其性質(zhì)，可以構(gòu)造出系統(tǒng)（1）的一種狀態(tài)超調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案.

對(duì)于給定的系統(tǒng)（1）及初態(tài)x 0 , ‖x 0 ‖2隨之確定，但是，當(dāng)k∈ 1，2，…，n-1 時(shí)，‖x k ‖2是一個(gè)常數(shù)或者關(guān)于α的二次函數(shù). 如果存在某個(gè)α，使得

則根據(jù)定義1和定理1，系統(tǒng)在狀態(tài)調(diào)節(jié)期間一直無超調(diào).

如果

那么系統(tǒng)對(duì)于初態(tài)x 0 必然存在調(diào)節(jié)超調(diào)量. 在這種情況下，為了實(shí)現(xiàn)最小超調(diào)，α應(yīng)該取使得

綜合上述分析，可以給出基于固定α法的狀態(tài)超調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟如下：

步驟1：對(duì)于給定初態(tài)x 0 ，依次算出‖x k ‖的表達(dá)式，其中k∈ 1，2，…，n-1 .

步驟2：根據(jù)定理2，有如下2種情況:

情況（i）：當(dāng)α∈Θ1? -1,1 時(shí)，‖x k ‖2≤‖x 0 ‖2成立，則系統(tǒng)（1）在初態(tài)x 0 下采用式（8）所示的控制輸入時(shí)無超調(diào). 此時(shí)，為了使得狀態(tài)盡快收斂，取|α|盡量小的α值.

情況（ii）：

成立，則該初態(tài)時(shí)系統(tǒng)（1）采用式（8）所示的控制輸入時(shí)存在超調(diào). 此時(shí)，為使得狀態(tài)盡快收斂，也取|α|盡量小的α值.

步驟3：把步驟2中得到的α代入式（8），即得到實(shí)現(xiàn)超調(diào)優(yōu)化的控制輸入.

在步驟2中，直接人工確定Θ1、Θ2和找到最優(yōu)的α頗有難度，Matlab軟件提供的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)fminimax可以方便的用于解決這個(gè)問題. 但是在使用fminimax時(shí)必須特別注意，該函數(shù)是在閉區(qū)間[-1,1]上搜索最優(yōu)的α，如果找到的最優(yōu)α為1或者-1，此時(shí)盡管采用式（8）所示的控制輸入使得超調(diào)最小，但是狀態(tài)2-范數(shù)呈現(xiàn)等幅振蕩，這顯然是不合期望的，因此，式（8）中的α應(yīng)該取接近于所搜索到的1或者-1，但是絕對(duì)值稍微小于1的數(shù)，這將使得系統(tǒng)超調(diào)稍微增加一些，但是能保證狀態(tài)最終向原點(diǎn)收斂.

2.4 動(dòng)態(tài)α法及其在一類四階系統(tǒng)中的應(yīng)用

在固定α法中，參數(shù)α的值與初態(tài)密切相關(guān)，并且在整個(gè)狀態(tài)調(diào)節(jié)期間是常數(shù). 通常，狀態(tài)隨著時(shí)間演變，在不同的當(dāng)前狀態(tài)，如果式（8）所示的控制輸入中的α取使得下一時(shí)間狀態(tài)2-范數(shù)最小的值，系統(tǒng)狀態(tài)超調(diào)可能進(jìn)一步下降，而且系統(tǒng)狀態(tài)可能更快收斂，這個(gè)方法稱為動(dòng)態(tài)α法. 顯然，該法屬于“貪婪算法”. 下面以四階可控系統(tǒng)為例來討論在什么情況下，動(dòng)態(tài)α法可以比固定α法獲得更小的狀態(tài)超調(diào)量.

對(duì)于一個(gè)給定的四階可控系統(tǒng)及初態(tài)x 0 ，令αc表示采用固定α法時(shí)參數(shù)α的值，‖x k ‖2表示固定α法中k時(shí)刻狀態(tài)2-范數(shù)的平方，而αk和則依次表示采用動(dòng)態(tài)α法時(shí)k時(shí)刻參數(shù)α的值和該時(shí)刻狀態(tài)2-范數(shù)的平方. 則有

根據(jù)αc和α1的定義，可得，

對(duì)于四階可控系統(tǒng)，有如下計(jì)算結(jié)果，

在固定α法中，‖x k ‖2是常數(shù)或者關(guān)于α0的二次函數(shù).根據(jù)定理2的證明過程可知，‖x k ‖2是常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)0 =0 =…=0 =0，并且，如果‖x k ‖2是常數(shù)，則當(dāng)i=1，2，…，k-1時(shí)，‖x i ‖2都是常數(shù).

假設(shè)1：p14=p34=0，|p24|＜|p44|.

根據(jù)實(shí)對(duì)稱正定矩陣的性質(zhì)，p44＞0. 當(dāng)k=1，2，…，6時(shí)，的對(duì)稱軸依次為，

據(jù)以上規(guī)律，當(dāng)k≥7時(shí)，可以猜想出αk的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，在此省略.

命題1在假設(shè)1的條件下，

證明：對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)x 0 ， 根據(jù)式（21）可以得到α1和α2. 令，根據(jù)假設(shè)1，|β|＜1. 當(dāng)k=1，2，…時(shí)，令αk與αk+2相乘，可得αk+2=-β2∈ -1,0 . 證畢.

在固定α法中，為了使得狀態(tài)2-范數(shù)收斂到原點(diǎn)，αc∈ -1,1 是個(gè)常數(shù). 然而在動(dòng)態(tài)α法中，參數(shù)αk隨著當(dāng)前狀態(tài)發(fā)生變化, 其中一些|αk|可能大于或者等于1，但是不可能所有的|αk|都大于或者等于1，正如上面推導(dǎo)所示，|α1|和|α2|可能大于或等于1，而當(dāng)k≥3時(shí)，|αk|∈ -1,1 , 這是隨后命題3證明中用到的一個(gè)關(guān)鍵條件.

假設(shè)2:p13==p23=p24=p33=0,-2p24α02β2-p22α02+p22β4≤2p24α0β2.

命題2在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，

證明：根據(jù)式（16）和假設(shè)1，可得

并且，此時(shí)假設(shè)2中的不等式變?yōu)?/p>

假設(shè)3:p12=0, p44β2-2p24β+p11＞0.

命題3在假設(shè)2和假設(shè)3的條件下，當(dāng)k≥3時(shí)，

證明：首先，當(dāng)k≥3時(shí)，一方面，在命題1中，已經(jīng)證明，αk=-β2∈ -1,1 是常數(shù)，另一方面，根據(jù)定理1，此時(shí). 因此，只需要證明當(dāng)k=3，4，5，6時(shí)命題中的不等式成立. 令ρ=p44β2-2p24β+p11, 可依次算得如下結(jié)果，

式（28）～（29）子等號(hào)右側(cè)部分都大于或者等于0，因此，當(dāng)k≥3時(shí)，. 證畢.

綜合命題2和命題3，可得

可見，對(duì)于滿足以上3個(gè)假設(shè)的四階可控系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)α法比固定α法可以獲得更小的調(diào)節(jié)超調(diào)量．

3 驗(yàn)證算例

考慮具有如下系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣的系統(tǒng)（1），對(duì)于本系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的PTP為

不難驗(yàn)證，3個(gè)假設(shè)都成立，對(duì)于如下2個(gè)給定初態(tài)，

依次采用固定α法和動(dòng)態(tài)α法時(shí)的控制輸入和狀態(tài)-2范數(shù)分別如圖1、圖2所示，可見，對(duì)于這2個(gè)初態(tài)，動(dòng)態(tài)α法都比固定α法可以獲得更小的調(diào)節(jié)超調(diào)量．并且，對(duì)于初態(tài)x 02，為了獲得小的調(diào)節(jié)超調(diào)量，固定α法使得狀態(tài)2-范數(shù)呈現(xiàn)等幅振蕩，而動(dòng)態(tài)α法不僅獲得更小的超調(diào)量，還能使得狀態(tài)快速收斂．

圖1 初態(tài)為x 0 1時(shí)的控制輸入及狀態(tài)2-范數(shù)演變過程

圖2 初態(tài)為x 0 2時(shí)的控制輸入及狀態(tài)2-范數(shù)演變過程

4 結(jié)論

對(duì)于離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的調(diào)節(jié)超調(diào)量優(yōu)化問題，固定α法具有一些非常漂亮的特性，基于這些特性可以設(shè)計(jì)出調(diào)節(jié)超調(diào)量優(yōu)化的控制輸入．盡管動(dòng)態(tài)α法是一種“貪婪算法”，但是對(duì)于滿足一定條件的四階可控系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)α法在降低調(diào)節(jié)超調(diào)量和提高收斂的快速性方面優(yōu)于固定α法．