一類時(shí)滯SDTR戒酒模型的局部漸近穩(wěn)定性

張子振，張偉詩，宋志強(qiáng)

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.呼倫貝爾學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008)

近年來，隨著生活水平的提高，生活方式越來越多樣化，飲酒在人們的日常生活中扮演著越來越重要的角色。2018《中國飲酒人群適量飲酒狀況》白皮書數(shù)據(jù)顯示，我國飲酒人群高達(dá)6億[1]。然而，與之相應(yīng)的與飲酒相關(guān)的各種疾病也大大增加,比如，脂肪肝、冠心病、酒精依賴綜合征、酒中毒性幻覺癥等,酗酒還會(huì)引起家庭暴力、酒后駕駛等社會(huì)不良問題[2]。因此，飲酒尤其是酗酒不僅是一個(gè)嚴(yán)重的全球性公共衛(wèi)生問題，也是一個(gè)亟待解決的社會(huì)問題。為了控制酗酒行為傳播，近年來，一些研究學(xué)者開始借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型研究酗酒行為的傳播規(guī)律，以便為控制酗酒行為的傳播提供參考性建議。Xiang等[3]提出了一類考慮移民影響的戒酒模型，通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)研究了模型的全局漸近穩(wěn)定性。Ma和Huo[4]提出了一類考慮公共健康教育的戒酒模型，并研究了模型的全局漸近穩(wěn)定性，分析了公共健康教育對(duì)酗酒行為傳播控制的影響。最近，文獻(xiàn)[5]研究了一類具有時(shí)滯的戒酒模型

(1)

其中:S(t)表示偶爾飲酒人群在時(shí)刻t的數(shù)量,D(t)表示酗酒人群在時(shí)刻t的數(shù)量,T(t)表示戒酒人群在時(shí)刻t的數(shù)量,R(t)表示成功戒酒人群在t時(shí)刻的數(shù)量;A，β1，β2，μ，η，δ1，γ，δ2，σ為模型(1)的參數(shù)，其具體含義可以參看文獻(xiàn)[5];τ表示戒酒人群成功戒酒需要的時(shí)間周期時(shí)滯。文獻(xiàn)[5]研究了時(shí)滯τ對(duì)模型(1)穩(wěn)定性的影響，分析了模型(1)Hopf分岔的存在性。

受文獻(xiàn)[5]研究工作的啟發(fā)，并考慮到成功戒酒人群對(duì)酒精的臨時(shí)免疫力，本文考慮另外一種形式的時(shí)滯戒酒模型

(2)

其中，τ為成功戒酒人群對(duì)酒精的臨時(shí)免疫期時(shí)滯。

1 基本再生數(shù)

求解方程組

(3)

2 局部漸近穩(wěn)定性

根據(jù)文獻(xiàn)[5]的分析可知，當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)存在唯一飲酒平衡點(diǎn)E*(S*,D*，T*,R*),其中

其中D*是方程

(4)

的正根,式中

l1=Aβ1β2(μ+η)+β1ησγ-β1γ(μ+η)(μ+δ2+σ)-[β1(μ+δ2+σ)+β2μ](μ+η)(μ+δ1),

l2=-β1β2(μ+δ1)(μ+η),l0=μ(μ+η)(μ+δ2+σ)(μ+δ1+γ)(R0-1)。

顯然，l2<0。當(dāng)R0>1時(shí)，l0>0。因此，當(dāng)R0>1時(shí)，方程(4)存在唯一正根。進(jìn)而可以得知，R0>1時(shí)，模型(2)存在唯一飲酒平衡點(diǎn)E*(S*,D*,T*,R*)。

模型(2)在E*(S*,D*,T*,R*)處的線性化部分為

(5)

相應(yīng)的特征方程為

λ4+Γ3λ3+Γ2λ2+Γ1λ+Γ0+(Φ3λ3+Φ2λ2+Φ1λ+Φ0)e-λτ=0。

(6)

其中

μ(μ+β1D*)(β1S*+β2T*-μ-δ1-γ)(β2D*+μ+δ2+σ),

μ(μ+β1D*)(β2D*-β1S*-β2T*+2μ+δ1+δ2+σ+γ)-

(2μ+β1D*)(β1S*+β2T*-μ-δ1-γ)(β2D*+μ+δ2+σ),

μ(μ+β2D*)+(2μ+β1D*)(β2D*-β1S*-β2T*+2μ+δ1+δ2+σ+γ),

Γ3=(β1+β2)D*-β1S*-β2T*+4μ+δ1+δ2+σ+γ,

η(μ+β1D*)(β1S*+β2T*-μ-δ1-γ)(β2D*+μ+δ2+σ),

η(μ+β1D*)(β2D*-β1S*-β2T*+2μ+δ1+δ2+σ+γ),

Φ2=η(2μ+β1D*)(β1D*-β1S*+β2D*-β2T*+3μ+δ1+δ2+σ+γ),Φ3=η。

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(6)變?yōu)?/p>

λ4+(Γ3+Φ3)λ3+(Γ2+Φ2)λ2+(Τ1+Φ1)λ+Γ0+Φ0=0。

(7)

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，當(dāng)(Γ0+Φ0)>0，(Γ2+Φ2)(Γ3+Φ3)>(Γ1+Φ1)，且

(Γ1+Φ1)(Γ2+Φ2)(Γ3+Φ3)>(Γ0+Φ0)(Γ3+Φ3)2+(Γ1+Φ1)2

時(shí)，模型(2)局部漸近穩(wěn)定。

當(dāng)τ>0時(shí)，假設(shè)λ=iε(ε>0)為方程(6)的根，代入方程(6)分離實(shí)部和虛部，有

(8)

進(jìn)而可以得到下列關(guān)于ε的代數(shù)方程

(9)

令

方程(9)變?yōu)?/p>

χ4+Δ3χ3+Δ2χ2+Δ1χ+Δ0=0。

(10)

(11)

其中

對(duì)方程(6)兩邊求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，得到

因此

定理1對(duì)于模型(2)，如果R0>1，那么當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，模型(2)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時(shí)，模型(2)在飲酒平衡點(diǎn)E*(S*,D*,T*,R*)處產(chǎn)生Hopf分支。

3 數(shù)值模擬

選取A=0.7，β1=0.8，μ=0.25，η=0.45，β2=0.3，δ1=0.35，γ=0.4，δ2=0.3，σ=1.25?？梢缘玫侥Ｐ?2)的如下示例模型：

(12)

利用Matlab軟件計(jì)算得到R0=2.24>1，進(jìn)而計(jì)算得到示例模型(12)的唯一飲酒平衡點(diǎn)

E*(1.2118,0.4936,0.1014,0.1811)。

當(dāng)τ=0時(shí)，可以計(jì)算得到Γ0=0.1777，Γ1=1.1068，Γ2=1.9106，Γ3=2.8431，Φ0=0.3198，Φ1=0.7131，Φ2=1.1279，Φ3=0.45。進(jìn)而可以驗(yàn)證

(Γ0+Φ0)>0，(Γ2+Φ2)(Γ3+Φ3)>(Γ1+Φ1)，

(Γ1+Φ1)(Γ2+Φ2)(Γ3+Φ3)>(Γ0+Φ0)(Γ3+Φ3)2+(Γ1+Φ1)2。

因此，當(dāng)τ=0時(shí)，示例模型(12)局部漸近穩(wěn)定。仿真效果如圖1所示。

圖1 當(dāng)τ=0時(shí)的仿真效果

當(dāng)τ>0時(shí)，可以計(jì)算得到ε0=0.4631，τ0=8.0819，G′(χ0)=0.1068>0。因此，根據(jù)定理1可知，當(dāng)τ∈(0,τ0)時(shí)，示例模型(12)局部漸近穩(wěn)定，仿真效果如圖2所示。

圖2 當(dāng)τ=6.75∈(0,τ0)時(shí)的仿真效果

當(dāng)τ=τ0時(shí)，示例模型(12)在E*(1.2118,0.4936,0.1014,0.1811)處產(chǎn)生Hopf分支，仿真效果如圖3所示。

圖3 當(dāng)τ=9.85>τ0時(shí)的仿真效果

4 小結(jié)

適度飲酒有利于幫助飲酒者緩解壓力和緊張情緒，然而過度飲酒甚至酗酒不僅會(huì)給飲酒者的身體帶來傷害，而且還會(huì)給社會(huì)治安帶來安全隱患?；诖耍疚脑谖墨I(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，研究了一類時(shí)滯SDTR戒酒模型。

首先計(jì)算得到模型的基本再生數(shù)，并計(jì)算得到模型的飲酒平衡點(diǎn)。進(jìn)而以戒酒成功者對(duì)酒精的臨時(shí)免疫期時(shí)滯為分支參數(shù)，推導(dǎo)出模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分支的充分條件。研究表明，戒酒成功者對(duì)酒精的臨時(shí)免疫期時(shí)滯越小(低于時(shí)滯臨界點(diǎn)τ0)，越有利于控制酗酒行為的傳播;而當(dāng)戒酒成功者對(duì)酒精的臨時(shí)免疫期時(shí)滯超過臨界點(diǎn)τ0時(shí)，酗酒行為將失去控制。本文所得結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[5]研究工作的適當(dāng)補(bǔ)充。