具有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)收獲策略

馮 倩，張 睿，李沛娟

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

美國生態(tài)學(xué)家Lotka[1]和意大利數(shù)學(xué)家Volterra[2]提出了Lotka-Volterra模型，其形式為

(1)

其中，x(t)為食餌的種群密度，y(t)為捕食者的種群密度，a為食餌種群的內(nèi)稟增長率，b表示捕食者掠食食餌的能力，c表示食餌對捕食者的供養(yǎng)能力，k表示捕食者的死亡率，這里捕食者y僅以食餌x為生。作者對系統(tǒng)(1)進(jìn)行定性分析，討論了系統(tǒng)(1)平凡平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

1995年，李建華在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上考慮了兩種群的常數(shù)收獲率因素，討論了兩種群都具有常數(shù)收獲率的Volterra系統(tǒng)[3]

(2)

其中，a10表示食餌的內(nèi)稟增長率，a12表示捕食者掠食食餌的能力，a21表示食餌對捕食者的供養(yǎng)能力，a20表示捕食者的死亡率，F(xiàn)和G分別表示食餌和捕食者的常數(shù)收獲率。a10，a12，a20，a21均為正常數(shù)。在文獻(xiàn)[3]中，作者討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性質(zhì)和極限環(huán)的存在性與唯一性問題。

然而，人類對食物的捕獲率是不斷變化的，學(xué)者們開始重視線性收獲率對捕食系統(tǒng)的影響，并對此做出了進(jìn)一步的研究[4-6]。薛春艷等[6]討論了兩種群均具有線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)

(3)

由于實(shí)際的生態(tài)系統(tǒng)中，人類對食物的捕獲量不會(huì)隨著捕獲努力量和生物資源的增大而無限增大，因此，具有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)引起越來越多的學(xué)者關(guān)注[7-10]。薛龍躍[10]研究了帶有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)

(4)

本文將文獻(xiàn)[10]中的非線性收獲率

引入模型(1)中，討論捕食者及食餌種群均具有非線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)

(5)

1 平衡點(diǎn)的存在性

鑒于其生態(tài)意義，本文只在

上對系統(tǒng)(5)進(jìn)行討論。通過解方程組

可得到模型(5)的平衡點(diǎn):(1)平凡平衡點(diǎn)P1(0,0);(2)由于a>h，所以當(dāng)Nbk+Nbl+hl>al時(shí)，存在正平衡點(diǎn)P2(x2,y2)，其中

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(5)在任意平衡點(diǎn)(x,y)處的Jacobian矩陣為

定理1 平衡點(diǎn)P1(0,0)是鞍點(diǎn)。

證明將P1(0,0)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P1處的Jacobian矩陣為

其特征方程為(λ-a+h)(λ+k+l)=0,故特征根為

λ1=a-h>0，λ2=-(k+l)<0,

所以，P1(0,0)是鞍點(diǎn)。

接著考慮系統(tǒng)(5)的正平衡點(diǎn)P2(x2,y2)的穩(wěn)定性。將P2(x2,y2)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P2處的Jacobian矩陣為

其特征方程為

即

其中

令

則特征方程可表示為λ2-Tλ+D=0。令Δ=T2-4D,由文獻(xiàn)[11]可知下面的結(jié)論。

定理2 (1)若D>0且Δ<0，則當(dāng)T<0時(shí)，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)T>0時(shí)，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。(2)若D>0且Δ>0，則當(dāng)T<0時(shí)，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng)T>0時(shí)，P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。(3)若D<0，則P2(x2,y2)為系統(tǒng)(5)的鞍點(diǎn)。

定理3 若D>0，則當(dāng)T<0時(shí)，平衡點(diǎn)P2全局漸近穩(wěn)定。

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xmyn，由于

則

令

可得

根據(jù)定理2和Dulac判據(jù)[12]得平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 最優(yōu)收獲策略

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，運(yùn)用Pontryagin最大值原理，討論如何控制最優(yōu)捕獲量M和N，才能使食餌和捕食者的數(shù)量既要盡可能大的滿足人類生活需求，還要讓生物種群保持可持續(xù)發(fā)展。捕撈食餌和捕食者的經(jīng)濟(jì)收益值為

其中，b1和b2分別為食餌和捕食者種群的單價(jià)，d1和d2分別為食餌和捕食者的單位捕撈成本，ε為年折扣率。則對該系統(tǒng)最優(yōu)收獲策略的分析就轉(zhuǎn)化為下面的最優(yōu)控制問題。

目標(biāo)函數(shù):

其中,M和N為控制變量，0≤M≤(M)max,0≤N≤(N)max。

構(gòu)建如下哈密頓函數(shù):

其中，λ1和λ2為伴隨變量，伴隨方程為

根據(jù)Pontryagin最大值原理[14]，最優(yōu)控制M,N要使哈密頓函數(shù)H取得最大值，則要求

即

易得

將λ1和λ2代入伴隨方程，可得

解上面方程組可得x=x*,y=y*即找到最優(yōu)捕撈平衡點(diǎn)為(x*,y*)故最優(yōu)捕獲努力量為

4 結(jié)論

本文研究了一類兩種群均具有非線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)各平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的充分條件，又利用Pontryagin最大值原理得到了兩種群的最優(yōu)收獲策略，對生物資源的可持續(xù)利用有著重要意義。