基于頻響函數(shù)奇異值的模型修正方法

曹明明，彭珍瑞，劉滿(mǎn)東

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

有限元模型修正技術(shù)的發(fā)展，使有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的參數(shù)誤差縮小，提升有限元模型模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的能力，這對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、預(yù)測(cè)等工程應(yīng)用具有重要意義。而且有限元模型精度的提高可以減少不必要的試驗(yàn)，這可以節(jié)約成本及縮短研發(fā)周期[1]。近年來(lái)，基于模態(tài)參數(shù)和基于頻響函數(shù)(FRF)的修正方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正中較為常見(jiàn)[2]，基于模態(tài)參數(shù)的模型修正方法需要模態(tài)參數(shù)識(shí)別，所以在這個(gè)過(guò)程中不可避免地會(huì)引入識(shí)別誤差。而且，在某些情況下，在工程試驗(yàn)中模態(tài)參數(shù)的識(shí)別誤差比有限元模型建模誤差還大[3]。而基于頻響函數(shù)的模型修正方法避開(kāi)了結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，直接利用試驗(yàn)測(cè)量得到的頻響函數(shù)來(lái)進(jìn)行模型修正，從而避免了人為引入誤差導(dǎo)致最后修正效果較差，而且這種方法適合于修正模態(tài)分布相對(duì)密集的結(jié)構(gòu)[4-5]。

不管用何種方法，目前結(jié)構(gòu)有限元模型修正技術(shù)通常是經(jīng)過(guò)大量的迭代優(yōu)化搜索來(lái)實(shí)現(xiàn)的，在這個(gè)過(guò)程中需要反復(fù)的調(diào)用有限元模型進(jìn)行解析計(jì)算，但是對(duì)于一些大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，解析計(jì)算其有限元模型不僅需要花費(fèi)大量時(shí)間，而且對(duì)于計(jì)算機(jī)的性能要求比較高，甚至有些求解無(wú)法實(shí)現(xiàn)。于是，作為一種可以替代有限元模型進(jìn)行快速分析的代理模型技術(shù)，引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。代理模型通過(guò)建立一個(gè)顯式的函數(shù)來(lái)代替模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間復(fù)雜的隱式關(guān)系，也稱(chēng)為近似模型、響應(yīng)面模型或元模型，近年來(lái)逐漸被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)模型修正與確認(rèn)中[6]。常用的代理模型有響應(yīng)面法(Response Surface Methodology,RSM)、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function,RBF)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network,NN)、支持向量回歸機(jī)(Support Vector Regression,SVR)、Kriging模型等[7]。Kriging模型是基于Kriging插值技術(shù)的一種等效模型，與其他代理模型不同的是，Kriging模型除了能給出對(duì)未知函數(shù)的預(yù)估值，還能得到預(yù)估值的誤差估計(jì)[8]，只用少量的樣本就可以較準(zhǔn)確的描述結(jié)構(gòu)輸入與輸出間的關(guān)系，在航天飛行器設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛。文獻(xiàn)[9-10]將Kriging方法應(yīng)用于頻響函數(shù)模型修正中，減少了求解時(shí)間，提高了頻響函數(shù)模型修正的效率。

頻響函數(shù)包含了大量頻率點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息，所以頻率點(diǎn)的選擇對(duì)基于頻響函數(shù)的模型修正方法至關(guān)重要，但是目前對(duì)于頻率點(diǎn)數(shù)據(jù)的選擇方法仍是無(wú)法統(tǒng)一。張勇等[11]將頻響函數(shù)變換為時(shí)域內(nèi)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，通過(guò)對(duì)脈沖響應(yīng)函數(shù)的重構(gòu)相空間矩陣進(jìn)行截?cái)嗥娈愔捣纸?Singular Value Decomposition，SVD)，提取前若干較大奇異值作為原頻響函數(shù)的特征量來(lái)進(jìn)行模型修正。這種方法間接使用頻響函數(shù)來(lái)進(jìn)行模型修正，既保留了使用頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正的優(yōu)點(diǎn)，又避免了頻率點(diǎn)的選擇難題。文獻(xiàn)[12]中比較了對(duì)信號(hào)通過(guò)連續(xù)截?cái)嗪椭貥?gòu)吸引子構(gòu)造矩陣進(jìn)行奇異值分解優(yōu)劣性，發(fā)現(xiàn)第二種構(gòu)造方法，矩陣具有良好的消噪效果，能夠有效地消除信號(hào)中的隨機(jī)噪聲，并且還具有弱信號(hào)提取能力。文獻(xiàn)[13]提到使用脈沖響應(yīng)函數(shù)在判斷奇異值分解時(shí)的有效秩的閾值時(shí)具有優(yōu)越性。但是使用脈沖響應(yīng)函數(shù)首先要將頻響函數(shù)進(jìn)行正、逆傅里葉變換，這無(wú)疑加大了計(jì)算量。而且在不同噪聲水平下受噪聲影響的奇異值個(gè)數(shù)是變化的，恰當(dāng)?shù)钠娈愔祩€(gè)數(shù)不僅能保留住信號(hào)的主要特征信息，還能削弱隨機(jī)噪聲的干擾，所以需對(duì)保留的奇異值個(gè)數(shù)進(jìn)行選擇。文獻(xiàn)[14]通過(guò)直接利用頻響函數(shù)構(gòu)造吸引子矩陣進(jìn)行奇異值分解，并利用重構(gòu)信號(hào)中極值點(diǎn)數(shù)量突變點(diǎn)來(lái)選取有效秩，成功的對(duì)信號(hào)進(jìn)行了降噪。

在上述背景下，為避免正、逆傅里葉變換，提高計(jì)算效率，同時(shí)避開(kāi)頻率點(diǎn)的選擇難題，本文直接利用計(jì)算得到的頻響函數(shù)重構(gòu)吸引子矩陣，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解。根據(jù)極值點(diǎn)數(shù)量突變?cè)瓌t選擇保留主要特征信息的奇異值個(gè)數(shù)，以模型設(shè)計(jì)參數(shù)作為輸入，保留的奇異值作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)，并通過(guò)粒子群優(yōu)化算法對(duì)Kriging模型相關(guān)系數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)來(lái)構(gòu)建Kriging代理模型。以實(shí)測(cè)的頻響函數(shù)奇異值與代理模型輸出奇異值差值的平方最小作為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)布谷鳥(niǎo)算法求解模型待修正參數(shù)。數(shù)值算例表明了本文方法的有效性，特別是對(duì)于隨機(jī)噪聲的魯棒性。

1 頻響函數(shù)特征量選取

1.1 頻響函數(shù)理論

頻域內(nèi)，一個(gè)n自由度阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

(-ω2M+iωC+K)X(ω)=F(ω)

(1)

式中:M、K和C分別表示質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣；ω為激勵(lì)頻率；F(ω)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)X(ω)可表示為：

X(ω)=H(ω)F(ω)

(2)

式中，H(ω)為頻響函數(shù)。其中，頻響函數(shù)矩陣為：

H(ω)=(-ω2M+iωC+K)-1

(3)

1.2 奇異值分解理論

將一離散原始信號(hào)X=[x1,x2,…,xN]，利用相空間重構(gòu)理論重構(gòu)吸引子(Hankel)矩陣：

(4)

式中：n=N-(m-1)τ；A為m×n階的Hankel矩陣；τ為延遲步長(zhǎng)，一般取τ=1；m為嵌入維數(shù)，當(dāng)N是偶數(shù)時(shí)，m=N/2，當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，m取中值[15]。

對(duì)Hankel矩陣A進(jìn)行奇異值分解可得到：

A=UΣVT

(5)

式中:U與VT為正交矩陣；Σ=diag(σ1,σ2,…,σk)為對(duì)角陣；σi(i=1～k)為矩陣A的奇異值，σ1≥σ2≥…≥σk≥0，k=min[(m-1)τ+1,n]。

給定閾值λ，可以將式(5)寫(xiě)成如下形式：

(6)

(7)

奇異值分解技術(shù)多用于消除測(cè)試信號(hào)中隨機(jī)噪聲的干擾，后k-r個(gè)奇異值通常較小，往往是噪聲信號(hào)。由于實(shí)測(cè)頻響函數(shù)中不可避免的會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)噪聲干擾，所以對(duì)于實(shí)測(cè)頻響函數(shù)而言，選擇前r個(gè)奇異值作為頻響函數(shù)特征量可以有效消除噪聲的干擾。

1.3 極值點(diǎn)數(shù)量突變?cè)瓌t

由上可知，選擇奇異值的個(gè)數(shù)r是很重要的，恰當(dāng)?shù)钠娈愔祩€(gè)數(shù)不僅能保留住信號(hào)的主要特征信息，還能削弱隨機(jī)噪聲的干擾。本文利用文獻(xiàn)[14]所提極值點(diǎn)數(shù)量突變?cè)瓌t選擇有效奇異值個(gè)數(shù)。其基本原理為：理想信號(hào)通常是一條光滑的曲線(xiàn)，而當(dāng)信號(hào)受到噪聲干擾時(shí)，會(huì)有大量“毛刺”的出現(xiàn)。所以要使噪聲干擾最小，可以通過(guò)對(duì)重構(gòu)信號(hào)中“毛刺”的數(shù)量最少來(lái)確定，即信號(hào)中的極值點(diǎn)數(shù)量最少，而信號(hào)中“毛刺”數(shù)量隨保留奇異值數(shù)目的變化而變化，選取極值點(diǎn)數(shù)量突變點(diǎn)處奇異值數(shù)目作為有效奇異值數(shù)目。

綜上，本文考慮直接利用計(jì)算得到的頻響函數(shù)重構(gòu)吸引子矩陣，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解。根據(jù)極值點(diǎn)數(shù)量突變?cè)瓌t選擇保留主要特征信息的奇異值，用其表征原頻響函數(shù)來(lái)進(jìn)行模型修正。

2 基于Kriging模型的模型修正理論

2.1 Kriging模型的建立

Kriging模型是一個(gè)基于隨機(jī)過(guò)程的代理模型，包含線(xiàn)性回歸部分和非參數(shù)部分：

(8)

式中:β為回歸模型系數(shù)；f(x)為樣本點(diǎn)x的多項(xiàng)式函數(shù)；z(x)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機(jī)過(guò)程。任意兩樣本點(diǎn)的z(x)之間的相關(guān)性可以表示為其空間距離的函數(shù)，選計(jì)算效率較好的高斯函數(shù)為相關(guān)函數(shù)，其形式如下：

(9)

根據(jù)極大似然函數(shù)法，可以求得：

(10)

(11)

式中:F為樣本點(diǎn)的向量組成的矩陣；Y為樣本點(diǎn)響應(yīng)組成的列向量；R為空間相關(guān)矩陣，其中元素Rij=R(xi,xj)(i,j=1,2,…,n)，n為試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)；σ2和β均為θk的函數(shù)，那么Kriging模型中唯一未知數(shù)即為相關(guān)系數(shù)θk，其決定著預(yù)測(cè)響應(yīng)精度，本文采用粒子群算法對(duì)相關(guān)系數(shù)θk進(jìn)行尋優(yōu)。

(12)

式中，rT(x0)=[R(x0,x1),R(x0,x2),…,R(x0,xn)]

淺談道路橋梁施工的常見(jiàn)問(wèn)題及質(zhì)量檢測(cè)技術(shù)的應(yīng)用…………………………………………………… 田文澤（11-100）

2.2 粒子群算法優(yōu)化Kriging模型

Kriging模型中的相關(guān)系數(shù)θk決定著預(yù)測(cè)響應(yīng)值精度，只有當(dāng)所建立Kriging模型精度足夠高時(shí)，代理模型對(duì)修正結(jié)果的誤差影響才會(huì)最小。所以相關(guān)系數(shù)的確定對(duì)于構(gòu)建代理模型至關(guān)重要。游海龍等[16]討論了利用傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法確定Kriging模型相關(guān)系數(shù)存在依賴(lài)搜索起始點(diǎn)等缺點(diǎn)，并利用遺傳算法對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行了尋優(yōu)，解決了對(duì)于起始點(diǎn)的依賴(lài)問(wèn)題。粒子群算法(Partical Swarm Optimization,PSO)[17]由Kennedy和Eberhart提出,屬于進(jìn)化算法的一種,具有算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、尋找最優(yōu)解速度快的優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)以上分析，本文打算利用PSO優(yōu)化Kriging模型相關(guān)系數(shù)構(gòu)建滿(mǎn)足修正要求精度的Kriging模型。首先采用拉丁超立方抽樣方法抽取一定數(shù)量的樣本點(diǎn)，然后把抽取的樣本點(diǎn)分成訓(xùn)練集和測(cè)試集。以訓(xùn)練集作為Kriging模型的輸入變量，以所保留的r個(gè)奇異值作為響應(yīng)值來(lái)構(gòu)建Kriging模型，以測(cè)試集Kriging模型的均方誤差(Mean Squared Error,MSE)均值平均值作為粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)，尋得最優(yōu)相關(guān)系數(shù)。最后以訓(xùn)練集作為樣本點(diǎn)建立Kriging模型。

2.3 模型修正流程

當(dāng)Kriging模型構(gòu)造完成時(shí)，模型修正歸根結(jié)底是一優(yōu)化問(wèn)題，在目標(biāo)函數(shù)最小的條件下，通過(guò)求解該優(yōu)化問(wèn)題，得到設(shè)計(jì)參數(shù)的修正值。目標(biāo)函數(shù)為：

(13)

在優(yōu)化求解時(shí)，除了靈敏度方法外，智能算法也是很簡(jiǎn)便的。布谷鳥(niǎo)算法[18]由于特有的萊維性能，使其具有較強(qiáng)的全局搜索能力，而且它參數(shù)少，操作簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，尋優(yōu)性能佳。故本文選用布谷鳥(niǎo)算法進(jìn)行優(yōu)化求解。模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖

3 數(shù)值算例

3.1 算例一

通過(guò)一個(gè)車(chē)輛三自由度垂向頻率響應(yīng)模型來(lái)驗(yàn)證本文方法，該模型如圖2所示。

圖2 車(chē)輛三自由度垂向頻率響應(yīng)模型

圖中k3和c2為二系懸掛剛度和阻尼，k2和c1為一系懸掛剛度和阻尼矩陣，k1為減震器端部剛度(串聯(lián)剛度)，c1、m1和k1組成了一個(gè)完整的減震器模型，m2為轉(zhuǎn)向架質(zhì)量，m3為車(chē)體質(zhì)量。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

(14)

以上文提到的數(shù)據(jù)為理論模型參數(shù)，試驗(yàn)驗(yàn)證參數(shù)將減震器端部剛度k1減小20%，將二系懸掛剛度k3增加20%。以這兩個(gè)參數(shù)為修正設(shè)計(jì)參數(shù)，在其理論模型初始值的±40%變化區(qū)間里，采用拉丁超立方抽樣抽取80個(gè)樣本點(diǎn)。用前40個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后40個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。采用前文所述方法進(jìn)行模型修正，修正結(jié)果如表1所示，其第1個(gè)奇異值得到的擬合響應(yīng)曲面，如圖3所示。

表1 車(chē)輛三自由度系統(tǒng)的模型修正結(jié)果

圖3 車(chē)輛三自由度系統(tǒng)的Kriging響應(yīng)面

由圖3可知Kriging模型中樣本響應(yīng)和預(yù)測(cè)響應(yīng)重合度很好，由表1可知用本文方法進(jìn)行模型修正所得修正誤差很小，證明用奇異值來(lái)表征頻響函數(shù)作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行模型修正是有效的，并且也達(dá)到了很高的修正精度。

3.2 算例二

實(shí)際試驗(yàn)中，測(cè)試數(shù)據(jù)不可避免的會(huì)受到噪聲的干擾。所以為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法對(duì)噪聲的抗干擾性，選擇一三維桁架結(jié)構(gòu)來(lái)驗(yàn)證。該結(jié)構(gòu)包括28個(gè)節(jié)點(diǎn)，66個(gè)單元和48個(gè)自由度。桁架約束條件為4個(gè)支座固定(節(jié)點(diǎn)編號(hào)1,8,9,16)，節(jié)點(diǎn)鉸接，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只考慮豎向Y和橫向Z的平動(dòng)自由度。再運(yùn)用動(dòng)力學(xué)計(jì)算其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣，將其代入式(3)中計(jì)算出其頻響函數(shù)矩陣。由于本文所用方法避開(kāi)了頻率點(diǎn)選擇問(wèn)題，只需保證頻響函數(shù)在感興趣頻帶內(nèi)有足夠數(shù)量的共振峰，所選結(jié)構(gòu)的激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)如圖4所示，桁架結(jié)構(gòu)參數(shù),如表2所示。

表2 三維桁架結(jié)構(gòu)參數(shù)表

圖4 三維桁架模型結(jié)構(gòu)圖

用表2中的模型參數(shù)作為“試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀眳?shù)，以所有桿的彈性模量和密度作為修正變量，然后對(duì)“試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀眳?shù)中修正參數(shù)偏移得到“有限元模型”。彈性模量增加10%，材料密度減小10%，得到的對(duì)應(yīng)的有限元模型參數(shù)值,如表3所示。

表3 試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃陀邢拊Ｐ蛥?shù)

采用拉丁超立方抽樣在上述有限元模型兩個(gè)參數(shù)(彈性模量、材料密度)的±20%區(qū)間內(nèi)抽取80個(gè)樣本進(jìn)行模型修正。圖5為用粒子群算法進(jìn)行Kriging模型相關(guān)模型參數(shù)尋優(yōu)的適應(yīng)度曲線(xiàn)，由圖5可知當(dāng)進(jìn)化代數(shù)為31次時(shí)，適應(yīng)度曲線(xiàn)達(dá)到收斂，尋得最優(yōu)值。圖6為Kriging模型在第1個(gè)奇異值處得到的擬合響應(yīng)面和MSE曲面。

圖5 粒子群優(yōu)化適應(yīng)度曲線(xiàn)

由圖6(a)可以看出Kriging模型中樣本點(diǎn)都落在了所構(gòu)建的響應(yīng)面上，其與預(yù)測(cè)響應(yīng)重合度較高。而且MSE值最大也小于3×10-13，可見(jiàn)所構(gòu)建的代理模型精度很高。

(a)奇異值響應(yīng)面

Kriging代理模型構(gòu)造完成之后，便可以代替有限元模型進(jìn)行迭代尋優(yōu)。假定試驗(yàn)參數(shù)值在有限元參數(shù)值的±25%區(qū)間內(nèi)，使用布谷鳥(niǎo)算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)。鳥(niǎo)巢數(shù)為20，最大迭代次數(shù)為100。為了證明算法的穩(wěn)定性，算法運(yùn)行30次，取其中的誤差最優(yōu)的一次、最差的一次和將30次取平均，迭代收斂曲線(xiàn),如圖7所示。模型修正結(jié)果,如表4所示。

由圖7可以看出，布谷鳥(niǎo)算法尋優(yōu)能力穩(wěn)定，迭代次數(shù)為40之前就可以收斂，30次尋優(yōu)結(jié)果中最優(yōu)值和最差值差別也很小。由表4可以看出使用本文所提方法在沒(méi)有噪聲干擾的情況下達(dá)到了很好的修正效果。使用所得修正參數(shù)的修正值，Kriging模型、試驗(yàn)?zāi)Ｐ图坝邢拊Ｐ皖l響函數(shù)曲線(xiàn),如圖8所示。

圖7 迭代曲線(xiàn)

表4 模型修正參數(shù)及誤差

圖8 Kriging模型、試驗(yàn)?zāi)Ｐ图坝邢拊Ｐ皖l響函數(shù)曲線(xiàn)

由圖8可以看出修正過(guò)后的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)與試驗(yàn)頻響函數(shù)幾乎重合，與有限元模型頻響函數(shù)形狀相似，只是沿坐標(biāo)軸有一定的移動(dòng)。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文修正方法的修正效果，比較頻響函數(shù)修正前后實(shí)、虛部曲線(xiàn)，如圖9所示。由圖9可以看出修正后的有限元模型無(wú)論是實(shí)部還是虛部，都能很好的與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l響函數(shù)曲線(xiàn)重合。這進(jìn)一步證明了本文所提方法的有效性。

(a)實(shí)部曲線(xiàn)

由于試驗(yàn)測(cè)得的頻響函數(shù)不可避免的會(huì)受到噪聲的干擾。所以為了驗(yàn)證本文在抗噪性方面的性能，在目標(biāo)頻響函數(shù)中加入高斯白噪聲，信噪比分別為30 dB、20 dB、10 dB和5 dB，如圖10所示。

(a)信噪比30 dB

由前文理論可知，對(duì)于受到噪聲干擾時(shí)頻響函數(shù)的較小奇異值往往是噪聲信號(hào)，所以本文選擇奇異值來(lái)表征頻響函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇合適的奇異值數(shù)目，將噪聲信號(hào)盡可能的消除，保留有效的奇異值，這樣模型修正的誤差也會(huì)盡可能的減小，所以選擇合理的閾值相當(dāng)重要。根據(jù)前文所提極值點(diǎn)數(shù)量突變點(diǎn)原則來(lái)選擇合理的閾值，不同信噪比下極值點(diǎn)數(shù)量突變點(diǎn)如圖11所示，在各信噪比情況下，程序運(yùn)行10次的模型修正結(jié)果均值,如表5所示。

表5 不同信噪比下修正結(jié)果

圖11為在不同信噪比下保留不同奇異值進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)以后，信號(hào)中所對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)數(shù)量。然后根據(jù)算出的極值點(diǎn)數(shù)量的突變點(diǎn)來(lái)確定有效奇異值的個(gè)數(shù)，由圖11可以看出在信噪比分別為30 dB、20 dB、10 dB和5 dB情況下選出的奇異值個(gè)數(shù)分別為55、37、20、12。圖中極值點(diǎn)數(shù)量在不同信噪比情況下，前面和后面變化平穩(wěn)，前面極值點(diǎn)數(shù)量較少，后面極值點(diǎn)數(shù)量多，這說(shuō)明前面奇異值是受噪聲影響較小的有效奇異值，后面是受噪聲影響較大的奇異值。并且隨著信噪比的降低有效奇異值個(gè)數(shù)逐漸減小，這也符合前文所說(shuō)當(dāng)信號(hào)隨著噪聲污染加大時(shí)，能表征頻響函數(shù)的有效奇異值數(shù)目逐漸減少。

(a)信噪比30 dB極值點(diǎn)數(shù)量突變點(diǎn)

由表5可以看出在相同信噪比情況下，選擇奇異值數(shù)目比不選奇異值數(shù)目修正誤差小，尤其是當(dāng)信噪比逐漸減小時(shí)，誤差尤為明顯。而且隨著噪聲干擾加大，選秩的修正誤差變化不大，而不選秩的修正誤差變化較大。當(dāng)信噪比較高時(shí)，不選秩所得修正誤差不是那么大，這表明用奇異值表征頻響函數(shù)本身就有一定的抗噪性。當(dāng)信噪比為5 dB時(shí)選秩的修正誤差也低于3%，由此也說(shuō)明了本文方法對(duì)于噪聲干擾大時(shí)的有效性。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于頻響函數(shù)奇異值的模型修正方法，通過(guò)仿真算例證明該方法修正效果較好。結(jié)論如下：

(1)修正方法間接使用頻響函數(shù)，無(wú)需進(jìn)行模態(tài)分析與振型匹配，避免了模態(tài)分析誤差，回避了傳統(tǒng)頻響函數(shù)中頻率點(diǎn)的選擇難題。

(2)使用頻響函數(shù)的奇異值表征頻響函數(shù)作為Kriging模型的輸出，修正精度較高。

(3)當(dāng)信號(hào)受到噪聲干擾時(shí)，使用本文方法仍能得到較滿(mǎn)意的修正效果。算例表明，當(dāng)信號(hào)受到弱噪聲干擾時(shí)，即使不選有效奇異值也具有一定的抗噪性；當(dāng)信號(hào)受到強(qiáng)噪聲干擾時(shí)，根據(jù)極值點(diǎn)數(shù)量突變?cè)瓌t選出的有效奇異值進(jìn)行模型修正，修正誤差也低于3%，證明本文方法具有較強(qiáng)的抗噪性。