氣墊導(dǎo)軌上橡皮筋滑塊系統(tǒng)自由振動(dòng)研究

何松林, 黃 焱

(1.昆明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,昆明 650214；2.昆明學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，昆明 650214)

橡膠具有高彈性、絕緣性、不透水和不透空氣等優(yōu)良性質(zhì)，使得它成為日常生活和生產(chǎn)中廣泛使用的材料。橡膠材料具有兩方面的特點(diǎn)，其一，無論是天然橡膠還是合成橡膠采用諸如硫化、參雜和塑化等不同的工藝加工之后，其性質(zhì)差異巨大；其二，橡膠材料會(huì)出現(xiàn)老化，其優(yōu)良性質(zhì)會(huì)隨時(shí)間推移逐漸散失，而老化的快慢程度與橡膠材料所處的外部環(huán)境如溫度、氧氣和臭氧氛圍、水分及油分等密切相關(guān)。這些特點(diǎn)使得橡膠材料性質(zhì)隨工藝或環(huán)境狀況改變的情況一直是研究的熱點(diǎn)[1-3]，而力學(xué)性質(zhì)的研究一般局限于拉伸實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)和壓縮永久形變測(cè)量?，F(xiàn)有的橡膠力學(xué)性質(zhì)測(cè)量的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)也多是針對(duì)靜態(tài)拉伸和壓縮的，有關(guān)橡膠材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)的測(cè)量和研究較少[4]。在所見到的涉及橡膠動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)測(cè)量的文章中[5]，采用了靜態(tài)彈性模量和動(dòng)態(tài)彈性模量不同的方式進(jìn)行處理，但在采用的微分方程中出現(xiàn)了應(yīng)該由系統(tǒng)性質(zhì)確定的圓頻率這樣的可測(cè)量，使得物理意義不明確。因此，探索橡膠材料運(yùn)動(dòng)時(shí)的普遍性質(zhì)，確定描述其動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)的參數(shù)，具有積極意義。

氣墊導(dǎo)軌裝置中氣泵產(chǎn)生的壓縮空氣，可使導(dǎo)軌和滑塊之間形成氣墊層，實(shí)驗(yàn)過程中可以忽略摩擦力的影響，使實(shí)驗(yàn)更加突出主要因素的作用,因此在氣墊導(dǎo)軌上研究物體的運(yùn)動(dòng)成為現(xiàn)代大學(xué)物理力學(xué)實(shí)驗(yàn)最常見的方式[6]，比如牛頓第二定律的驗(yàn)證、碰撞實(shí)驗(yàn)以及簡(jiǎn)諧振動(dòng)研究等經(jīng)典力學(xué)實(shí)驗(yàn)均可在導(dǎo)軌上進(jìn)行研究。在導(dǎo)軌上進(jìn)行振動(dòng)研究，常采用兩根分別固定在導(dǎo)軌兩端的金屬?gòu)椈衫』瑝K的方式進(jìn)行。橡皮筋雖然也具有彈性，但由于其力學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性，在大學(xué)物理力學(xué)實(shí)驗(yàn)中沒有用橡皮筋替代金屬?gòu)椈傻那闆r。

本文將采用市售橡皮筋代替彈簧組成橡皮筋滑塊系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察振動(dòng)情況，測(cè)量振動(dòng)特征參量，并設(shè)法進(jìn)行理論分析，得出有用的信息。

1 氣墊導(dǎo)軌上橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動(dòng)

將通過拉伸實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的具有相同靜態(tài)彈性系數(shù)的兩根橡皮筋的一端與滑塊相連，另一端分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，滑塊處于調(diào)平后的氣墊導(dǎo)軌上，可左右移動(dòng)。在滑塊左右移動(dòng)的范圍內(nèi)保證兩根橡皮筋均處于拉伸狀態(tài)。將滑塊靜止時(shí)，其上的I型擋光片的一端對(duì)應(yīng)位置選為原點(diǎn)，并且將光電門置于原點(diǎn)處，光電門與計(jì)時(shí)器連接，可測(cè)多個(gè)振動(dòng)周期的時(shí)間。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，橡皮筋滑塊系統(tǒng)振幅衰減較快，難以準(zhǔn)確辨別滑塊振動(dòng)的位置，故采用手機(jī)進(jìn)行滑塊運(yùn)動(dòng)全過程的視頻錄制。由于導(dǎo)軌側(cè)面附著直尺，滑塊移動(dòng)的位置可以由視頻逐幀回放準(zhǔn)確確定?；瑝K與橡皮筋質(zhì)量用電子天平稱量。

1.1 滑塊運(yùn)動(dòng)觀察

將滑塊沿水平方向拉離平衡位置，使滑塊運(yùn)動(dòng)過程中兩根橡皮筋均處于拉伸狀態(tài)，觀察滑塊振動(dòng)情況。

滑塊被釋放后，圍繞平衡位置左右往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但每次振動(dòng)振幅都發(fā)生較大衰減，一般振動(dòng)十幾次(與滑塊初位置有關(guān))就靜止在平衡位置。更換不同的橡皮筋進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)橡皮筋的橡膠類型及橡皮筋的粗細(xì)程度都會(huì)影響滑塊的運(yùn)動(dòng)情況，最明顯的是振幅衰減的快慢程度會(huì)發(fā)生變化。

但無論橡皮筋怎樣更換，氣墊導(dǎo)軌上的橡皮筋滑塊系統(tǒng)，當(dāng)滑塊被拉離平衡位置后，將作振幅衰減的振動(dòng)。

由于滑塊與導(dǎo)軌間存在氣墊，它們之間的摩擦力可忽略，因而使滑塊振幅衰減的阻力只能來源于橡皮筋自身，我們將其稱為“內(nèi)稟”阻尼振動(dòng)。

1.2 實(shí)驗(yàn)研究

利用計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)儀，測(cè)量滑塊振動(dòng)10個(gè)周期所需時(shí)間，算出每個(gè)周期的時(shí)間；通過慢放觀看錄制的視頻，讀出經(jīng)歷1個(gè)周期后滑塊的振幅值，算出振動(dòng)的對(duì)數(shù)減縮。

2 理論分析

若將橡皮筋滑塊系統(tǒng)(如圖1)看成受黏性阻尼作用的諧振子，設(shè)系統(tǒng)質(zhì)量為μ,兩根橡皮筋的彈性系數(shù)相同，設(shè)為k，源于橡皮筋自身性質(zhì)的黏性阻尼系數(shù)為c,由牛頓第二定律可得

圖1 橡皮筋滑塊系統(tǒng)

(1)

化為常見形式

(2)

當(dāng)0<ξ<1時(shí)，系統(tǒng)做衰減振蕩，運(yùn)動(dòng)方程為[7]

x=Ae-ξω0tsin(ωd+θ)

(3)

由表1的數(shù)據(jù)可知，橡皮筋滑塊系統(tǒng)的折合質(zhì)量μ=M+2m0/3=215.26 g=0.215 26 kg,而由橡皮筋拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得的兩根橡皮筋的彈性系數(shù)k=4.232 Nm-1,從而算得T0=1.002 02 s;由表2中的對(duì)數(shù)減縮和周期值，利用Λ=ξω0T，可得ξ=0.044 4。若按黏性阻尼考慮，Td≈1.002T0，將使振動(dòng)周期比T0略大。但實(shí)驗(yàn)測(cè)出的該橡皮筋振動(dòng)系統(tǒng)的周期T=0.940 69 s,比T0還小6.1%。

表1 橡皮筋振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

表2 滑塊振動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)

從上面的分析可見，對(duì)由雙橡皮筋和滑塊構(gòu)成的橡皮筋滑塊系統(tǒng)按諧振子受黏性阻尼振動(dòng)模型處理是失效的，或者說不能將橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動(dòng)視為諧振子的粘性阻尼振動(dòng)。

3 含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的振子模型

3.1 模型建立

橡膠材料是既有高彈性也存在黏彈性的高分子材料，而對(duì)材料黏彈性描述的最新模型是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型[8，9]。若設(shè)橡皮筋的黏彈性力與伸長(zhǎng)量隨時(shí)間的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成正比，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用Caputo定義[10]，其階次0<α≤1，我們將其稱為黏彈度，記為α，是一個(gè)無量綱的純實(shí)數(shù)；將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)稱為黏彈系數(shù)，記為kv，單位為Nsαm-1。黏彈度和黏彈系數(shù)由構(gòu)成橡皮筋的橡膠材料性質(zhì)及幾何尺寸決定。由牛頓第二定律，可將滑塊運(yùn)動(dòng)微分方程寫為

(4)

改寫成常見形式

(5)

3.2 數(shù)值模擬

當(dāng)δ≠0，0<α<1時(shí)，式(5)表示的分?jǐn)?shù)階常微分方程的精確解難以求出，至今未見報(bào)道。為考察該方程代表的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，我們擬采用數(shù)值方法得出具體參數(shù)下系統(tǒng)的數(shù)值解。利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的可加性，對(duì)方程式(1)進(jìn)行降階處理。令

(6)

(7)

采用預(yù)估校正方法[11]對(duì)式(7)進(jìn)行迭代，

(8)

(9)

(10)

相應(yīng)的預(yù)估值為

yp(k+1)=

(11)

(12)

(13)

圖2是ω0=πs-1，δ=0.5sα-2，α分別取0.2、0.5、0.8和1.0時(shí)位移隨時(shí)間的變化情況，從圖中可以看出，隨分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階次α的增大，系統(tǒng)的振幅衰減加快，表明分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階次越大，系統(tǒng)所受阻尼越大。

圖2 不同分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的位移時(shí)間圖

圖3是ω0=πs-1，α=0.5，δ分別取0.1s-1.5和0.5s-1.5時(shí)位移隨時(shí)間的變化情況，從圖中可看出分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不僅影響振幅衰減的快慢程度，同時(shí)也影響了振動(dòng)的周期。隨分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)的增加，系統(tǒng)振幅衰減加快，同時(shí)振動(dòng)周期減小。

圖3 不同分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)系統(tǒng)的位移時(shí)間圖

總結(jié)數(shù)值模擬情況，可以看出：含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)振子自由振動(dòng)時(shí)，表現(xiàn)為阻尼振動(dòng)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階次(黏彈度)及分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)(黏彈系數(shù))將同時(shí)影響系統(tǒng)振動(dòng)的周期及振幅衰減的快慢程度。這表明，模型至少在定性上與橡皮筋滑塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一致的。

3.3 近似解析解

為探究分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階次及系數(shù)如何影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，我們采用弱非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析中行之有效的平均法，求解方程式(5)的近似解析解。當(dāng)方程中的δ很小時(shí)，可設(shè)式(5)的解具有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式即

x(t)=A(t)cosψ

(14)

(15)

且位移對(duì)時(shí)間的α階分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)為[12]

(16)

式中，ψ=ω0t+φ(t)。

將式(14)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并與式(15)比較可得

(17)

將式(15)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得

(18)

將式(14)～式(16)和(18)代入方程式(5)得

(19)

由式(17)×cosψ+式(19)×sinψ得

(20)

由式(17)×sinψ-式(19)×cosψ得

(21)

按平均法的思想，將式(20)、(21)右端由其在ψ的一個(gè)周期(2π)內(nèi)的平均值代替，得

(22)

(23)

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(14)得方程式(5)的近似解析解為

(26)

3.4 模型理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)照

由式(26)可以看出，含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的振子模型的振動(dòng)圓頻率為

(27)

則模型振動(dòng)周期Tm

由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的存在，階數(shù)α和系數(shù)δ均不為零，由式(26)可以看出，含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的振子振動(dòng)的振幅將指數(shù)型衰減，這與實(shí)驗(yàn)觀察到橡皮筋滑塊系統(tǒng)做振幅衰減的振動(dòng)情況一致。

由式(27)可得

(28)

利用對(duì)數(shù)減縮的定義，由式(26)可得

(29)

由式(28)、(29)可得

(30)

利用T0的表達(dá)式得

(31)

由kv=μδ及式(29)可得

(32)

利用表2中實(shí)驗(yàn)測(cè)得的周期和對(duì)數(shù)減縮值，代入式(31)可得到本次實(shí)驗(yàn)所用橡皮筋的黏彈度α=0.381，黏彈系數(shù)kv=0.332 Nm0.381m-1。

圖4 橡皮筋滑塊系統(tǒng)數(shù)值仿真與實(shí)測(cè)位移值的比較

4 結(jié) 論

本文在氣墊導(dǎo)軌上進(jìn)行了橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，觀察到系統(tǒng)作振幅衰減的振動(dòng)，測(cè)量了振動(dòng)周期和對(duì)數(shù)減縮。理論分析發(fā)現(xiàn)將橡皮筋滑塊系統(tǒng)視為諧振子阻尼振動(dòng)處理是失效的；數(shù)值模擬和近似解析解分析證明，本文提出的含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)振子自由振動(dòng)模型可以解釋橡皮筋滑塊系統(tǒng)的自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，橡皮筋的力學(xué)性質(zhì)可以由彈性系數(shù)、黏彈度和黏彈系數(shù)三個(gè)表征材料自身性質(zhì)的物理量確定。

綜上所述，本文所做工作，為橡膠類材料力學(xué)性質(zhì)的研究提供了一種新的思路。當(dāng)然，用彈性系數(shù)(模量)、黏彈度和黏彈系數(shù)三個(gè)量表征同時(shí)具有高彈性和黏彈性材料力學(xué)性質(zhì)的有效性還需在今后的工作中進(jìn)行更廣泛的研究。