考慮驅(qū)動和負載狀態(tài)的三自由度超聲電機接觸模型研究

李 爭，趙 亮，郭 鵬, 于絮澤

(河北科技大學 電氣工程學院，石家莊 050018)

超聲電機是1980年以來前景較好的一種新型微電機。超聲電機通過壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)將輸入的電能轉(zhuǎn)化為振動機 械能，再通過振動的疊加組合和摩擦力驅(qū)動轉(zhuǎn)子[1-4]，它在很多方面優(yōu)于電磁電機，如：毫秒級響應(yīng)速度、可斷電自鎖、大轉(zhuǎn)矩、高精度、抗電磁干擾[5-9]，在微機械、醫(yī)療器械、精密加工和航空航天等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用和廣闊的前景[10-14]。

由于超聲電機的定子-轉(zhuǎn)子間通過摩擦傳遞能量，所以其接觸面的摩擦特性對超聲電機的性能很重要。目前，國內(nèi)外學者對此做出了很多研究。Zhu[15]提出了一種基于彈性力學和摩擦層形變的接觸模型。Duan等[16]提出了壓電耦合定子，轉(zhuǎn)子和接觸界面之間完全耦合的有限元框架，并分析了有限元法對壓電驅(qū)動的一般間歇接觸問題的不足。Sun等[17]提出了一種定子摩擦層為黏彈性的接觸模型，并將該模型與滑塊為柔性、定子為剛性的模型比較，結(jié)果證明基于該模型的電機將獲得更大的失速扭矩和更大耐磨性。蔣春榮等[18]提出了一種摩擦層在定子上、轉(zhuǎn)子為剛性的接觸模型。

本文提出了一種對于三定子多自由度超聲電機的新型的接觸模型。首先，介紹了多自由度超聲電機的基本原理和結(jié)構(gòu)；計算得出了壓電驅(qū)動的轉(zhuǎn)矩公式；引入Hertz接觸理論和Mindlin理論分析接觸層摩擦力的分布，建立考慮非線性的摩擦界面模型，最后通過轉(zhuǎn)矩公式和摩擦模型得出不同驅(qū)動、運動狀態(tài)下的多自由度超聲電機接觸面的摩擦力分布以及定子軸與xoy平面的夾角對轉(zhuǎn)矩的影響。

1 多自由度超聲電機結(jié)構(gòu)和原理

多自由度超聲電機主要由三個環(huán)形定子(定子S1、定子S2、定子S3)和一個球形轉(zhuǎn)子組成，三個定子對稱分布于球形轉(zhuǎn)子內(nèi)部，如圖1所示。

(a)外部結(jié)構(gòu)

三個定子均由兩相空間相位差為π/2的壓電陶瓷片組成，其均沿厚度方向極化且相鄰壓電陶瓷片為相反的極化方式，每個壓電陶瓷片長λ/2。對定子施加兩相等頻、等幅、相位差為π/2的交流電時，兩相壓電陶瓷上產(chǎn)生的振動經(jīng)過彈性體放大和疊加后在齒上形成行波，再通過摩擦作用驅(qū)動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。同時由于三個定子不共面，球形轉(zhuǎn)子可以在三個驅(qū)動轉(zhuǎn)矩的共同作用下產(chǎn)生任何一個方向的旋轉(zhuǎn)運動，實現(xiàn)電機的三自由度驅(qū)動。

多自由度超聲電機的連接方式和預壓力結(jié)構(gòu),如圖2所示。支撐體、基體和預壓力桿材料均為鋼材且傾角一致，行波定子通過三個螺栓裝置與支撐體上部分的圓盤固定連接，支撐體下部分的圓柱與基體的圓形開孔直徑相等且可沿開孔軸向滑動。預壓力桿頂端錐形結(jié)構(gòu)與支撐體圓柱部分為剛性接觸，底端通過螺栓結(jié)構(gòu)基體底端連接，通過在預壓力桿底端螺栓結(jié)構(gòu)可以使預壓力桿上下移動，推動支撐體的軸向位移，從而增大或減小行波定子和轉(zhuǎn)子的預壓力。由于基體和行波定子空間上均為對稱結(jié)構(gòu)，所以三個定子和轉(zhuǎn)子之間的預壓力大小保持一致。

圖2 預壓力結(jié)構(gòu)截面圖

對電機定子-轉(zhuǎn)子建立正交坐標系，如圖3所示。三個定子在周向均勻分布且軸線與xoy平面夾角為α。由于三個定子角速度矢量的合成矢量可分解到x軸、y軸、z軸，因此電機可以實現(xiàn)三自由度運動。設(shè)定子角速度合成矢量為ωt，其在定子軸S1、S2和S3方向的分量分別為ω1、ω2和ω3，表達式為：

圖3 超聲電機內(nèi)部結(jié)構(gòu)及坐標系

ωt=ω1u1+ω2u2+ω3u3

(1)

式中，ω1、ω2和ω3為標量，其大小由施加到定子上的激勵電壓的大小、頻率、相位差決定，u1、u2和u3分別為三個定子軸的方向向量，沿球心向外。u1在oxyz坐標系下的表達式為：

u1=[cosα0 sinα]T

(2)

由于u2和u3分別為u1為繞z軸旋轉(zhuǎn)2π/3和4π/3，所以u2和u3經(jīng)過轉(zhuǎn)換矩陣A02和A03變換后可得，其表達式分別為：

(3)

當球形轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時受到接觸面摩擦力的影響，所以超聲驅(qū)動的模型包括來自3個定子的摩擦力矩與定子的角速度矢量關(guān)系。令ω表示球形轉(zhuǎn)子的角速度矢量，其與定子S1的線成ψ1角，如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)子相對于定子的角速度和轉(zhuǎn)矩

轉(zhuǎn)子角速度矢量ω的標量為ω。定義定子S1的角速度為ω1，定子S1的接觸半徑為r。定子和球形轉(zhuǎn)子之間的預壓力為P。定子S1和球形轉(zhuǎn)子之間的總轉(zhuǎn)矩T1包括驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。

Ta1和摩擦轉(zhuǎn)矩Tf1，表示為：

T1=Ta1u1+Tf1uf1

(4)

式中,uf1為摩擦轉(zhuǎn)矩的方向向量。

由于轉(zhuǎn)子角速度可以分解為平行和垂直于定子S1的兩部分，所以驅(qū)動轉(zhuǎn)矩Ta1由定子S1速度快于轉(zhuǎn)子平行轉(zhuǎn)速而產(chǎn)生的摩擦力決定，摩擦轉(zhuǎn)矩Tf1由定子速度慢于轉(zhuǎn)子相同轉(zhuǎn)向的速度產(chǎn)生的摩擦力和與定子速度方向垂直的轉(zhuǎn)子方向產(chǎn)生的摩擦力驅(qū)動。驅(qū)動轉(zhuǎn)矩Ta1可表示為：

Ta1=cd(ωS1-ωcosψ1)rP

(5)

摩擦阻力矩Tf1表達式為：

Tf1=-(cdcosψ1+crsinψ1)ωrP

(6)

式中:cd為周向摩擦因數(shù)，cr為徑向摩擦因數(shù)，如圖5所示。

圖5 徑向摩擦因數(shù)和周向摩擦因數(shù)

uf1在如圖4所示坐標系中為周向旋轉(zhuǎn)提供的摩擦阻力和球形轉(zhuǎn)子垂直于定子角速度產(chǎn)生的摩擦阻力矢量和的單位向量，轉(zhuǎn)換到oxyz坐標：

(7)

式中:γ1為定子S1坐標系平面與z軸夾角。

uf2和uf3分析方式與uf1相同，在取值γ2、γ3和ψ2、ψ3的基礎(chǔ)上，可表示為：

(8)

式中,ψ1、ψ2、ψ3可以根據(jù)電機角速度方向通過幾何關(guān)系得到。

轉(zhuǎn)子角速度矢量與定子S2、S3軸線的夾角分別為ψ2和ψ3，定子S2和定子S3的轉(zhuǎn)矩T2和T3分析方法與T1相同。

2 三自由度超聲電機接觸狀態(tài)分析

三自由度超聲電機由三個定子的合成轉(zhuǎn)矩作為輸出轉(zhuǎn)矩，因為轉(zhuǎn)矩是摩擦力的函數(shù)，且驅(qū)動摩擦力和摩擦阻力均垂直于壓電定子徑向，即其夾角為90°。由轉(zhuǎn)矩-力的關(guān)系可知摩擦力F=T/r，因此可通過第二章求得轉(zhuǎn)矩進而得出接觸面摩擦力的大小，再通過下述的摩擦模型可得出摩擦力分布。

三自由度超聲電機不同的驅(qū)動狀態(tài)接觸面摩擦力分布不同，添加負載后電機的運動也狀態(tài)不同，所以其接觸狀態(tài)分布會改變。電機的運動狀態(tài)可以分為以下幾類：堵轉(zhuǎn)運動；自轉(zhuǎn)運動；偏轉(zhuǎn)運動；帶負載運動。

2.1 摩擦模型

由于定子-轉(zhuǎn)子接觸面有很多非線性因素，因此假設(shè)：

1)電機定子、轉(zhuǎn)子為剛性體；

2)定子表面連續(xù)，忽略定子齒槽的影響。

由于定子-轉(zhuǎn)子間接觸層徑向接觸寬度遠小于周向接觸長度，徑向形變可忽略不計，所以可以降維建立二維接觸模型，如圖6所示。

圖6 定子-轉(zhuǎn)子接觸模型

通過位移-應(yīng)變-應(yīng)力的關(guān)系得出預壓力可表示為[14]:

(9)

根據(jù)摩擦驅(qū)動模型，摩擦因數(shù)的大小與滾輪和平板的相對速度大小呈線性關(guān)系，摩擦力表示為：

τ(x)=cd(ωs-ωr)p

(10)

式中:cd為定子周向摩擦因數(shù)，p為接觸面垂直方向的壓力分布，ωs為壓電定子角速度，ωr為轉(zhuǎn)子角速度，可通過實驗測量得到。

兩個物體受到法向壓力P和切向摩擦力F作用，法向壓力分布等效為Hertz接觸理論，切向摩擦力由Mindlin理論求得，其計算值與處于穩(wěn)態(tài)的彈性物體近似。當彈性安定時，假設(shè)接觸壓力保持不變。

在二維情況下，由Hertz接觸理論可知其法向壓力分布為：

(11)

式中:p0為法向壓力最大值，即p在x=0處的值，a為摩擦層接觸長度的1/2。

電機運行過程中，摩擦層處既有摩擦驅(qū)動力，也有摩擦阻力，在任意轉(zhuǎn)速下其矢量和最大值都大于相同轉(zhuǎn)速下靜摩擦力。由Mindlin理論可得接觸面切向力表示為：

(12)

式中:c為實際摩擦力F的函數(shù)，表達式為：c/a=[1-(Fmax-F)/2μP]1/2，根據(jù)圖6，F(xiàn)max為定子最大摩擦力，其大小由周向驅(qū)動摩擦力和徑向摩擦力矢量和決定，實際摩擦力由周向驅(qū)動摩擦力、周向摩擦阻力和徑向摩擦阻力的矢量和決定，μ為當前速度下的摩擦因數(shù)。

2.2 堵轉(zhuǎn)運動

當壓電驅(qū)動激勵施加到電機時，如果電機處于堵轉(zhuǎn)狀態(tài)，即ω=0，則定子-轉(zhuǎn)子接觸層僅有摩擦阻力。此時，其轉(zhuǎn)矩表達式由式(4)～式(6)給出，并且摩擦力分布可以從等式T=F×r和摩擦模型獲得。

2.3 多自由度空載運動

通常，有三種方法可以調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速：調(diào)壓，調(diào)頻和調(diào)相位差。其中，調(diào)壓的線性相關(guān)性最好。

如果對三個壓電定子施加同幅、同頻、同相位差的交流電壓，則三個定子產(chǎn)生幅值相等、速度的大小和方向均相同的行波，并且轉(zhuǎn)矩在空間上對稱，電機可實現(xiàn)自轉(zhuǎn)運動。

如果三組激勵電壓的相位差不相等，則三相定子產(chǎn)生空間上不對稱的行波，所以轉(zhuǎn)矩也是不對稱的。此時，電機實現(xiàn)偏轉(zhuǎn)運動。其轉(zhuǎn)矩表達式由式(4)～式(6)給出，并且摩擦力分布可以從等式T=F×r和摩擦模型獲得。

2.4 帶負載運動

負載轉(zhuǎn)矩可分解到三個定子軸方向，與不同的驅(qū)動方式產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩疊加等小成定子轉(zhuǎn)矩，當負載轉(zhuǎn)矩與水平面垂直時，其沿三個定子軸方向的大小均為TR/(3sinα)；當負載轉(zhuǎn)矩不與z軸平行時，其分解轉(zhuǎn)矩表示為：

(13)

所以轉(zhuǎn)矩方向不與z軸平行的負載轉(zhuǎn)矩對三個定子接觸狀態(tài)的影響也不相同。壓電定子的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩和阻力轉(zhuǎn)矩由式(4)～式(6)得出，摩擦力分布可由公式T=F×r和摩擦模型得到。

3 三自由度超聲電機接觸狀態(tài)計算

在該實驗中，為了測量樣機在不同驅(qū)動和負載條件下的轉(zhuǎn)速，首先用阻抗分析儀(HT2829A，Tonghui，China)分析壓電定子在不同驅(qū)動頻率下的阻抗。阻抗分析儀夾具分別連接樣機定子的通電端和接地端，如圖7所示，這樣可測量出壓電定子阻抗和頻率的關(guān)系，得出定子的諧振頻率，實現(xiàn)最大的輸出性能以方便測量，其中定子的阻抗-頻率關(guān)系如圖9所示。由于每個定子均有兩相壓電陶瓷，對這兩相壓電陶瓷的測量結(jié)果是一致的；對于三個定子，由于制作、安裝的微小誤差導致的不對稱，其測試結(jié)果也具有微小的偏差，所以分別對三個定子的進行了測試，其諧振頻率分別為40.350 kHz、40.360 kHz、40.365 kHz，取其平均值為40.358 kHz。

圖7 樣機阻抗-相位測量平臺

圖8 樣機性能測試平臺

圖9 樣機的阻抗-頻率關(guān)系圖

然后，通過上位機調(diào)整驅(qū)動電壓的頻率到諧振頻率，并通過MPU-9250九軸姿態(tài)傳感器實時記錄樣機的轉(zhuǎn)速和歐拉角，通過滑輪-線-砝碼裝置增加負載。實驗平臺如圖8所示。由于通過調(diào)壓調(diào)節(jié)壓電驅(qū)動的輸出性能具有最好的線性相關(guān)性，測試了壓電驅(qū)動裝置轉(zhuǎn)速-驅(qū)動電壓幅值的關(guān)系，結(jié)果如圖10所示。從圖10中可知，當電壓低于450 V時，樣機的轉(zhuǎn)速-電壓關(guān)系近似線性。當驅(qū)動電壓大于450 V時，轉(zhuǎn)速的增加幅度逐漸降低。

圖10 樣機轉(zhuǎn)速-電壓關(guān)系圖

為了使結(jié)果更加明顯，根據(jù)以上實驗，以下均為樣機，電壓幅值為400 V、電壓頻率為40.356 kHz情況下測試的電機轉(zhuǎn)速進行的計算。

3.1 堵轉(zhuǎn)運動

當壓電驅(qū)動激勵應(yīng)用于三自由度超聲電機并且電機處于堵轉(zhuǎn)狀態(tài)時，由于轉(zhuǎn)子速度為零，定子-轉(zhuǎn)子接觸層僅有摩擦阻力，并且由于定子和轉(zhuǎn)子之間的平均轉(zhuǎn)速之差最大，接觸層的所以平均摩擦力最高。摩擦力分布,如圖11所示。

圖11 堵轉(zhuǎn)時接觸層摩擦力分布

3.2 自轉(zhuǎn)運動

對三個定子分別施加三組兩相等幅、等頻和等相位差的電壓，由于三相定子空間對稱，而且激勵電壓相同，因此三相合成轉(zhuǎn)矩也關(guān)于z軸對稱。通過等式(4)～式(6)可得出電機的輸出轉(zhuǎn)矩平行于z軸，電機實現(xiàn)圍繞z軸的旋轉(zhuǎn)。另外，三個定子-轉(zhuǎn)子的相對速度是相同的，因此其接觸狀態(tài)相同。摩擦力分布,如圖12所示。

圖12 施加對稱激勵電壓時三相定子接觸層摩擦力分布

3.3 偏轉(zhuǎn)運動

將三組不對稱激勵電壓施加到三個定子，此時由壓電定子產(chǎn)生的扭矩的大小和方向是不對稱的。原型的總輸出扭矩不平行于z軸，電機實現(xiàn)偏轉(zhuǎn)運動，偏轉(zhuǎn)方向與原型的總輸出扭矩方向一致。當偏轉(zhuǎn)角為θ= 27.4°，φ=22.3°時，三相定子接觸層的摩擦分布如圖13～15所示。

圖13 施加不對稱激勵電壓時定子1接觸層摩擦力分布

圖14 施加不對稱激勵電壓時定子2接觸層摩擦力分布

可以直觀地從圖13～圖15中得出，三個定子摩擦力的大小和分布是不同的，并且由于定子S2的旋轉(zhuǎn)方向是-94.32°，所以定子S2的接觸表面的摩擦力對于球形轉(zhuǎn)子接近摩擦阻力，降低了電機的輸出性能。

圖15 施加不對稱激勵電壓時定子3接觸層摩擦力分布

3.4 帶負載運動

當負載轉(zhuǎn)矩為120 N·mm時，由于負載對電機運動狀態(tài)的影響，電機的轉(zhuǎn)速降低，但定子的行波速度是恒定的，這導致球形轉(zhuǎn)子和壓電的相對速度相較于無負載狀態(tài)更大，所以定子-轉(zhuǎn)子接觸面的摩擦力增大，摩擦力分布,如圖16所示。

圖16 帶負載時定子接觸層摩擦力分布

3.5 定子軸與xoy平面夾角對壓電自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩的影響

電機定子軸線與xoy平面的α夾角選值不同，電機的輸出轉(zhuǎn)矩也會隨之改變，如圖17為三相激勵電壓相同時不同α值對應(yīng)的z軸輸出轉(zhuǎn)矩。

圖17 定子軸與xoy平面夾角對壓電自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩的影響

由圖17可知，當α為0時，z軸輸出轉(zhuǎn)矩為0，電機不能圍繞z軸旋轉(zhuǎn)，此時該電機失去一個自由度，為二自由度電機。α值越大，z軸轉(zhuǎn)矩越大，當在結(jié)構(gòu)允許范圍內(nèi)，α接近極值π/2時，z軸轉(zhuǎn)矩達到最大值。

x軸輸出轉(zhuǎn)矩和y軸輸出轉(zhuǎn)矩不僅和α角相關(guān)，也和三相電壓是否相同以及負載轉(zhuǎn)矩方向相關(guān)，若三相電壓相同且負載方向平行于z軸，則x軸和y軸轉(zhuǎn)矩為0，若電機運行角速度方向不平行于z軸，則x軸轉(zhuǎn)矩和y軸轉(zhuǎn)矩與cosα成正比。

4 結(jié) 論

建立壓電定子-轉(zhuǎn)子界面接觸模型是建立三自由度超聲電機耦合系統(tǒng)的動力學模型中的關(guān)鍵之一。三自由度超聲電機的驅(qū)動狀態(tài)和負載不同，電機的運動狀態(tài)和轉(zhuǎn)矩也不相同，三個定子的接觸層摩擦力分布通過壓電轉(zhuǎn)矩和摩擦擦模型得出，為接觸層摩擦界面的優(yōu)化設(shè)計提供了依據(jù)。

首先介紹了三自由度超聲電機的基本原理和結(jié)構(gòu)；通過解析法得出電機轉(zhuǎn)矩；通過對非彈性體移動接觸的分析，并引入Hertz接觸理論和Mindlin理論對接觸層摩擦力分布進行分析，建立了考慮了非線性部分的摩擦界面模型，最后通過求出的轉(zhuǎn)矩和摩擦模型結(jié)合，用Matlab得出不同驅(qū)動、運動狀態(tài)下的三自由度超聲電機的接觸面摩擦力分布圖。

通過對三自由度超聲電機轉(zhuǎn)矩的詳細分析，可以得出壓電驅(qū)動轉(zhuǎn)矩會對接觸狀態(tài)產(chǎn)生影響，壓電驅(qū)動轉(zhuǎn)矩由定子角速度、球形轉(zhuǎn)子角速度矢量和負載情況決定，再根據(jù)摩擦模型得出最終的接觸狀態(tài)，且定子與球形轉(zhuǎn)子的相對速度與摩擦力成正比，驗證了三自由超聲度的可行性，分析了不同驅(qū)動狀態(tài)、負載下接觸層摩擦力的分布，對認識定子-轉(zhuǎn)子接觸機理、進一步優(yōu)化摩擦界面提供了支持。