α穩(wěn)定分布噪聲下非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性分析

張 剛，謝 攀，張?zhí)祢U

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

隨著非線性動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理理論的不斷發(fā)展，隨機(jī)共振(Stochastic Resonance, SR)[1-5]方法的提出為信號處理領(lǐng)域開辟了新的思路和方法。有別于傳統(tǒng)抑制噪聲的信號檢測方法，隨機(jī)共振是利用噪聲、信號和非線性系統(tǒng)之間的協(xié)同作用，將噪聲部分能量轉(zhuǎn)移到信號上，實(shí)現(xiàn)檢測微弱信號的目的[6-10]。調(diào)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)[11-12]和噪聲的強(qiáng)度，均可誘導(dǎo)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振。

近年來，學(xué)者們研究的系統(tǒng)勢函數(shù)主要是對稱的，而對于非對稱系統(tǒng)的隨機(jī)共振關(guān)注較少，但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)對稱性是不能保證的，故磁通量閘門磁力計(jì)量器與超導(dǎo)量子干涉設(shè)備中利用勢阱非對稱性來檢測微弱信號[13-14]。與對稱系統(tǒng)相比，非對稱系統(tǒng)具有更普適的理論基礎(chǔ)和實(shí)用價(jià)值[15]。Zhang等[16]探究了乘性與加性高斯白噪聲環(huán)境中非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振以及在軸承故障檢測中的運(yùn)用，張曉燕等[17]通過解析方法探究了白噪聲和周期矩形信號對時(shí)滯非對稱單穩(wěn)系統(tǒng)共振的影響。

目前對高斯噪聲環(huán)境中隨機(jī)共振[18-19]的研究已相對成熟，然而在實(shí)際工程應(yīng)用中遇到的噪聲大多數(shù)都是非高斯分布的，它們具有明顯脈沖特性與拖尾特性[20]，所以需要α穩(wěn)定分布噪聲[21-22]來模擬這些特征。α穩(wěn)定分布噪聲滿足廣義中心極限定理分布，高斯分布是其中一種特殊情況，所以研究α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下的隨機(jī)共振現(xiàn)象比高斯噪聲環(huán)境更具有現(xiàn)實(shí)價(jià)值。焦尚彬等[23-24]探究了α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中時(shí)滯非對稱單穩(wěn)系統(tǒng)和非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振以及參數(shù)誘導(dǎo)和噪聲誘導(dǎo)對信噪比增益的影響。

通過對已有非對稱系統(tǒng)研究成果分析，基本上研究的都是非對稱單穩(wěn)系統(tǒng)或非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)，關(guān)于α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振尚未見諸報(bào)道。因此，本文將α穩(wěn)定分布噪聲與非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)相結(jié)合，以A-SNRI為衡量指標(biāo)，首先對非對稱三穩(wěn)勢函數(shù)進(jìn)行了分析，然后探究了非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)檢測微弱信號的能力，最后分析了α穩(wěn)定分布噪聲不同特征指數(shù)α(0<α≤2)，對稱參數(shù)β(-1≤β≤1)時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b、偏度r和強(qiáng)度放大系數(shù)D對系統(tǒng)共振作用規(guī)律，為自適應(yīng)算法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振中合理選擇參數(shù)范圍提供了參考依據(jù)。

1 隨機(jī)共振模型

非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)模型可以用Langevin方程(LE)[25]描述為：

(1)

式中:U(x)是非對稱三穩(wěn)勢函數(shù)，A是微弱周期信號幅值，f是信號特征頻率，ξ(t)為α穩(wěn)定分布噪聲，D代表ξ(t)的放大系數(shù)，通過調(diào)節(jié)D可以改變ξ(t)的強(qiáng)度。

經(jīng)典對稱三穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)形狀如圖1所示，表達(dá)式如下[26]：

圖1 經(jīng)典對稱三穩(wěn)勢函數(shù)

(2)

本文提出的非對稱三穩(wěn)勢函數(shù)，在式(2)的基礎(chǔ)上引入了偏度系數(shù)r,刻畫了系統(tǒng)的非對稱性。其勢函數(shù)表達(dá)式為：

(3)

式中:參數(shù)a>0,b>0,c>0,r≠0，為了簡化分析，在后面的研究中c都取為1。當(dāng)r為0時(shí)，此時(shí)U(x)退化為經(jīng)典對稱三穩(wěn)勢函數(shù)。

圖2表示刻畫系統(tǒng)偏度r對勢函數(shù)形狀的影響。由圖2可觀察到，勢函數(shù)形狀是非對稱的。當(dāng)r>0時(shí)，勢函數(shù)向右偏，當(dāng)r<0時(shí)，勢函數(shù)向左偏，當(dāng)r的絕對值相等時(shí)，勢函數(shù)向左或向右偏的幅度是相同的。由此可以推測，當(dāng)r的絕對值相等時(shí)對系統(tǒng)的影響是一樣的。

圖2 非對稱三穩(wěn)勢函數(shù)

2 α穩(wěn)定分布噪聲特性及產(chǎn)生方法

α穩(wěn)定分布噪聲特征函數(shù)表達(dá)式[27-28]為：

φ(t)=

(4)

式中：特征指數(shù)α∈(0,2]，α值越小，噪聲脈沖特性就越強(qiáng)，而拖尾特性則相反，如圖3所示。對稱參數(shù)β∈[-1,1]，決定了分布的對稱性。當(dāng)β=0時(shí)，噪聲是呈對稱分布的，β≠0時(shí)，分布中心向左或向右偏移。尺度參數(shù)σ∈[0,+)，是度量樣本值相對于均值的分散程度。位置參數(shù)μ∈(-,+)，決定了分布的中心。

(a)α=0.8

本文α穩(wěn)定分布噪聲的隨機(jī)變量X采用CMS(Chambers-Mallows-Stuck)算法[29]產(chǎn)生。

當(dāng)α≠1時(shí)，

(5)

式中:V,W為獨(dú)立隨機(jī)變量，V服從(-π/2,π/2)上均勻分布，W服從均值為1的指數(shù)分布，且Cα,β和Dα,β,σ表達(dá)式為：

(6)

Dα,β,σ=σ[cos(arctan(βtan(πα/2)))]-1/α

(7)

當(dāng)α=1時(shí)，

(8)

3 數(shù)值解析方法

本文采用四階Runge-Kutta算法[30]對式(1)進(jìn)行求解，具體步驟如下：

k1=h[-ax(n)+bx3(n)-

cx5(n)+rx2(n)+s(n)],

k4=h[-a(x(n)+k3)+b(x(n)+k3)3-

c(x(n)+k3)5+r(x(n)+k3)2+s(n+1)]

(9)

式中:s(n)與x(n)分別是輸入和輸出信號第n次采樣值，ξ(n)為α穩(wěn)定分布噪聲第n次采樣值，h為時(shí)間步長。由于α穩(wěn)定分布噪聲具有特征指數(shù)α越小，脈沖特性越強(qiáng)特征，導(dǎo)致粒子跳躍距離趨向無限大。因此，在數(shù)值仿真時(shí)需要對輸出信號x(t)進(jìn)行人為限幅[31]，為了實(shí)現(xiàn)更好的共振效果，本文采取的限幅措施為：當(dāng)|x(t)|>2時(shí)，令x(t)=sign(x(t))×2。

4 系統(tǒng)性能指標(biāo)

描述一個(gè)系統(tǒng)共振效應(yīng)的性能指標(biāo)有很多，其中應(yīng)用最廣泛是信噪比(SNR)和信噪比增益(SNR Improvement,SNRI)。SNRI比SNR更能直接反應(yīng)出輸出信號相對于輸入信號品質(zhì)改善程度，當(dāng)SNRI>1時(shí)，說明待測信號在通過隨機(jī)共振系統(tǒng)后能量得到了增強(qiáng)。并且SNRI越大，系統(tǒng)對輸入信號增強(qiáng)和改善作用越好。SNRI定義為輸出SNR和輸入SNR的比值[32,33]，其表達(dá)式為：

(10)

式中:Pin與Pout分別為系統(tǒng)輸入和輸出總功率，Sin(f0)與Sout(f0)分別為系統(tǒng)輸入和輸出信號功率。

為了減少SNRI隨機(jī)性，本文采用平均信噪比增益(Average-SNRI,A-SNRI)來衡量系統(tǒng)的性能，其定義為：

(11)

式中:n為仿真次數(shù)，本文中n取50次，SNRIi為第i次仿真的信噪比增益。

5 α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)的微弱信號檢測與參數(shù)誘導(dǎo)的隨機(jī)共振

取式(1)中待測信號A=0.5，f=0.03，α穩(wěn)定分布噪聲參數(shù)α=1，β=0，σ=1，μ=0，放大系數(shù)D=0.2，采樣頻率fs=5 Hz，取樣點(diǎn)數(shù)N=10 000。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=0.3，b=1.3，c=1，偏度r=0.1，通過仿真實(shí)驗(yàn)得到結(jié)果,如圖4所示。

(a)系統(tǒng)輸入時(shí)域圖

圖4(a)是加α穩(wěn)定分布噪聲的待測信號時(shí)域圖，圖4(b)是對應(yīng)的FFT變換得到的頻譜圖。由4(a)與(b)可以觀察到，待測信號淹沒在噪聲中，不能有效提取有用信息。將含噪待測信號輸入非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)，然后調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)a和b，當(dāng)a=0.3，b=1.3時(shí)，系統(tǒng)輸出時(shí)頻圖如圖4(c)和(d)所示。由于α穩(wěn)定分布噪聲的尖峰脈沖特點(diǎn)，所以在圖4(c)不能觀察到輸出信號的時(shí)域信息。從圖4(d)中可以清晰看到有一個(gè)顯著的尖峰值，且該值對應(yīng)的頻率0.03 Hz正好是待測信號的頻率，說明待測信號能被檢測出來且幅值被放大了，這是由于通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)改變了勢壘高度，使得粒子有足夠能量越過勢壘，在不同勢阱間往返躍遷運(yùn)動(dòng)，此參數(shù)條件下，待測信號、噪聲和非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)間實(shí)現(xiàn)了較好匹配，發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。因此，通過調(diào)節(jié)參數(shù)，非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)能產(chǎn)生隨機(jī)共振，達(dá)到α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中微弱周期信號檢測目的。

接下來將深入研究α穩(wěn)定分布噪聲中，特征指數(shù)α與對稱參數(shù)β分別取不同值條件，非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a，b，偏度r和噪聲放大系數(shù)D與非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振輸出效應(yīng)作用規(guī)律。

5.1 不同特征指數(shù)α下的隨機(jī)共振

5.1.1 不同特征指數(shù)α下A-SNRI隨參數(shù)a的變化

令特征指數(shù)α分別為0.7，1，1.3，其余噪聲參數(shù)分別為β=0，σ=1，μ=0。待測信號，采樣頻率及采樣點(diǎn)數(shù)保持不變，固定參數(shù)b=1.3，c=1，r=0.1，D=0.2，通過仿真實(shí)驗(yàn)得到A-SNRI隨參數(shù)a的變化規(guī)律如圖5所示。從圖5(a)可以看出，當(dāng)α取0.7，1和1.3時(shí)，隨著a的增大，A-SNRI整體先增大后減小，且當(dāng)α=1，a=0.3，A-SNRI最大，此時(shí)待測信號、噪聲和非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)了較好匹配，噪聲轉(zhuǎn)移到信號的能量最大，達(dá)到了更佳共振效果。并且，隨著a的繼續(xù)增大，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間過長，使得這種較好匹配關(guān)系被打破，A-SNRI逐漸下降，系統(tǒng)性能也大幅下降。此外還觀察到，共振效果較好區(qū)間不隨α變化而改變，并且當(dāng)α=1時(shí)A-SNRI最大。由圖5(b)與(c)可以看出，當(dāng)α<1時(shí)，隨著α增加，A-SNRI越來越大，當(dāng)α>1時(shí)，隨著α增加，A-SNRI越來越小，產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因，在5.1.2節(jié)解釋。

(a)不同α下A-SNRI隨a的變化

5.1.2 不同特征指數(shù)α下A-SNRI隨參數(shù)b的變化

固定a=0.3，令r=0.1，D=0.2，其余參數(shù)與前面保持一致，通過仿真實(shí)驗(yàn)得到A-SNRI隨b的變化規(guī)律如圖6所示。由圖6可以看出，A-SNRI隨b是非線性變化的，且存在一個(gè)合適值b使得A-SNRI最大，即此時(shí)隨機(jī)共振效果更好，對信號檢測能力更強(qiáng)。當(dāng)α=1時(shí)，A-SNRI最大，α<1，隨著α減小，α穩(wěn)定分布噪聲的脈沖特性越強(qiáng)，導(dǎo)致粒子跳躍距離趨向無限大，所以A-SNRI越來越小。α>1，隨著α增大，A-SNRI越小，說明α并不是越大越好，它存在一個(gè)合適值使A-SNRI最大，這與圖5(b)與(c)的結(jié)論一致。

(a)不同α下A-SNRI隨b的變化

5.1.3 不同特征指數(shù)α下A-SNRI隨參數(shù)r的變化

固定參數(shù)a=0.3，b=1.3，令D=0.2，其余參數(shù)與前面保持一致，仿真得到A-SNRI隨參數(shù)r的變化規(guī)律如圖7所示。由圖7可知，當(dāng)α不相同時(shí)，都存在一個(gè)值r使A-SNRI在該α下最大，且當(dāng)α=1，r=0.1時(shí)，A-SNRI最大，此時(shí)產(chǎn)生較好共振，信號檢測效果更佳，這是因?yàn)椴粌H參數(shù)a和b能改變勢函數(shù)形狀，偏度r也能改變形狀，使粒子能夠越過勢壘，進(jìn)而影響系統(tǒng)共振效果。

圖7 不同α下A-SNRI隨r的變化

5.1.4 不同特征指數(shù)α下A-SNRI隨噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D的變化

固定a=0.3，b=1.3，r=0.1，其余參數(shù)與前面保持一致，仿真得到A-SNRI隨D的變化規(guī)律如圖8。從圖8可以看出，隨著系數(shù)D的增大，A-SNRI先增大后減小，這是由于剛開始隨著D的增大，噪聲能量轉(zhuǎn)移到信號上的能量逐漸增強(qiáng)，當(dāng)A-SNRI最大時(shí)，此時(shí)轉(zhuǎn)移到信號的能量最大，隨著D的繼續(xù)增大，噪聲干擾太強(qiáng)，信號被噪聲淹沒，因此A-SNRI越來越小。隨著α增大，粒子需要更多的能量才能越過勢壘實(shí)現(xiàn)阱間躍遷，所以隨著α的增大，A-SNRI的峰值向右移，且當(dāng)α=1時(shí)，A-SNRI峰值最大，共振效應(yīng)較好區(qū)間不隨α的變化而發(fā)生改變，說明系數(shù)D的較好共振區(qū)間不受α變化的影響。

圖8 不同α下A-SNRI隨D的變化

5.2 不同對稱參數(shù)β下的隨機(jī)共振

對稱參數(shù)β分別取-1，0，1，其余噪聲參數(shù)分別取α=1，σ=1，μ=0。待測信號，采樣頻率及采樣點(diǎn)數(shù)均保持不變，固定參數(shù)b=1.3，r=0.1，D=0.2，通過仿真實(shí)驗(yàn)得到不同β下A-SNRI隨參數(shù)a的變化規(guī)律如圖9所示。由圖9可知，與前面不同α下A-SNRI隨參數(shù)a變化規(guī)律相同，即不同β下A-SNRI隨參數(shù)a呈先增后減趨勢，表明參數(shù)a的變化降低了勢壘高度，使得粒子發(fā)生躍遷所需能量較低，粒子的能量達(dá)到了躍遷需求，從而實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)共振。發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象較好區(qū)間不隨參數(shù)β變化而變化，且在區(qū)間[0,2.5]時(shí)，β=-1與β=1時(shí)曲線大致相同，β=0時(shí)A-SNRI峰值大于β≠0時(shí)的峰值，說明參數(shù)β的改變對參數(shù)a產(chǎn)生較優(yōu)A-SNRI的區(qū)間無影響，這對參數(shù)的合適選取具有參考價(jià)值，且α穩(wěn)定分布噪聲呈對稱分布(β=0)時(shí)A-SNRI最大。

圖9 不同β下A-SNRI隨a的變化

圖10是β分別取-1，0和1時(shí)，固定參數(shù)a=0.3，r=0.1，D=0.2，其余參數(shù)不變得到的A-SNRI隨參數(shù)b變化規(guī)律曲線。從圖中可以觀察到，β取不同值時(shí)，A-SNRI隨b的變化與前面不同α?xí)r隨b變化規(guī)律是一樣的，因此這里將不再詳細(xì)描述。

圖10 不同β下A-SNRI隨b的變化

圖11是固定參數(shù)a=0.3，b=1.3和D=0.2得到的A-SNRI隨偏度r變化規(guī)律圖，從圖中可以觀察到，不同β下A-SNRI隨r非線性變化，并且存在一個(gè)最大值。A-SNRI最大，說明在此參數(shù)條件下隨機(jī)共振效應(yīng)更好。由于當(dāng)β=0時(shí)，α穩(wěn)定分布噪聲是呈對稱分布的，β>0時(shí)，分布中心向左偏移，β<0時(shí)，中心向右偏移，圖11中A-SNRI的峰值在β≠0時(shí)的偏移現(xiàn)象與噪聲分布是對應(yīng)的，且只有當(dāng)噪聲呈對稱分布時(shí)，A-SNRI才最大，此時(shí)系統(tǒng)性能更好。

圖11 不同β下A-SNRI隨r的變化

圖12是固定參數(shù)a=0.3，b=1.3，和r=0.1得到的A-SNRI隨強(qiáng)度系數(shù)D變化關(guān)系圖。從圖中可以觀察到，當(dāng)D逐漸變大，A-SNRI出現(xiàn)先增后減趨勢，呈現(xiàn)非線性特征，A-SNRI存在峰值，說明系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。共振效果相對較好區(qū)間不隨β變化而改變，并且β=0時(shí)A-SNRI大于β≠0時(shí)A-SNRI，進(jìn)一步驗(yàn)證了噪聲呈對稱分布時(shí)，共振效果更好。

圖12 不同β下A-SNRI隨D的變化

6 結(jié) 論

本文研究了α穩(wěn)定分布噪聲中非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性，當(dāng)α穩(wěn)定分布噪聲參數(shù)α和β為不同值條件，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b，刻畫系統(tǒng)偏度r和噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D這幾個(gè)方面詳細(xì)分析了A-SNRI隨a、b、r和D變化規(guī)律，通過研究分析得出以下結(jié)論：

(1)不僅系統(tǒng)參數(shù)a、b能改變勢函數(shù)形狀，偏度系數(shù)r也能改變勢函數(shù)形狀，從而影響系統(tǒng)隨機(jī)共振性能，當(dāng)r>0時(shí)，勢函數(shù)向右偏，右邊勢阱加深，左邊勢阱變淺，當(dāng)r<0時(shí)，勢函數(shù)向左偏，左邊勢阱加深，右邊勢阱變淺，當(dāng)r=0時(shí)，退化為傳統(tǒng)對稱三穩(wěn)勢函數(shù)形狀；

(2)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)參數(shù)a=0.3，b=1.3，r=0.1，D=0.2時(shí)，系統(tǒng)能產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中微弱周期信號檢測；

(3)當(dāng)α穩(wěn)定分布噪聲參數(shù)α、β分別取不同值時(shí)，調(diào)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)a、b，偏度系數(shù)r和D都能誘導(dǎo)產(chǎn)生隨機(jī)共振；

(4)對任意一個(gè)參數(shù)a、b、r或D，A-SNRI都出現(xiàn)先增大后減小的趨勢，且A-SNRI較優(yōu)區(qū)間不隨α或β的變化而改變；

(5)當(dāng)特征指數(shù)α不同時(shí)，在任一參數(shù)a、b、r或D隨機(jī)共振區(qū)間中，α=1時(shí)對信號檢測效果更好，當(dāng)α>1時(shí)，隨著α增大，A-SNRI逐漸減小，當(dāng)α<1時(shí)，隨著α增大，A-SNRI逐漸增大；

(6)當(dāng)對稱參數(shù)β不同時(shí)，在任一參數(shù)a、b、r或D隨機(jī)共振區(qū)間中，β=0時(shí)對信號檢測效果較好，說明了α穩(wěn)定分布噪聲呈對稱分布時(shí)系統(tǒng)對信號檢測能力更好，且當(dāng)β=-1時(shí)，A-SNRI峰值向右移，當(dāng)β=1時(shí)，峰值向左移。以上結(jié)論對研究非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象時(shí)合理選擇參數(shù)范圍實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)隨機(jī)共振奠定了基礎(chǔ)，有助于實(shí)際應(yīng)用中對微弱信號的檢測。

本文研究了α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振作用規(guī)律，將非對稱三穩(wěn)系統(tǒng)應(yīng)用在實(shí)際軸承故障檢測中，以及對系統(tǒng)參數(shù)的選取采用自適應(yīng)優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)更好檢測效果是接下來研究的方向。