修正牛頓動(dòng)力學(xué)中的平面圓形限制性三體問題

畢艷芳,王 燾

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院, 上海 200241）

0 引 言

在牛頓動(dòng)力學(xué)和牛頓平方反比萬有引力作用下, 二體問題的解是圓錐曲線軌道, 包括廣為人知的圓形軌道. 當(dāng)兩個(gè)主天體繞其質(zhì)心做角速度為ω的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), 另有一個(gè)小天體在同一軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 就構(gòu)成平面圓型限制性三體問題. 在以質(zhì)心為原點(diǎn)、角速度為ω的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中, 3個(gè)天體都靜止在平衡位置. 在牛頓動(dòng)力學(xué)理論中, 該問題的解給出5個(gè)拉格朗日點(diǎn):L1、L2、L3都與主天體共線,稱為直線解或歐拉特解, 其中第一拉格朗日點(diǎn)L1位于兩個(gè)主天體之間;L4、L5各自與兩個(gè)主天體構(gòu)成等邊三角形, 稱為三角形解或拉格朗日特解. 在給定的雅克比積分下, 希爾曲線即零速度曲線將空間分成希爾域和禁行域兩個(gè)區(qū)域.

作為暗物質(zhì)理論的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手, 修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論[1]巧妙地解釋了星系旋轉(zhuǎn)曲線. 修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論比牛頓動(dòng)力學(xué)理論函數(shù)形式更加復(fù)雜, 并且多出一個(gè)常數(shù), 通常約定為加速度常數(shù)a0. 文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn), 在153個(gè)星系中觀測(cè)到的2 693個(gè)點(diǎn)的徑向加速度關(guān)系滿足統(tǒng)一的函數(shù)形式, 加速度常數(shù)的最佳擬合值為a0=1.20×10?10m/s2. 修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論不僅在星系尺度得到了廣泛的研究, 還可以在太陽系內(nèi)進(jìn)行檢驗(yàn). 利用日地第一拉格朗日點(diǎn)附近的航天器軌跡[3], 有望精確地檢驗(yàn)修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論[4]. 到目前為止, 太陽系內(nèi)修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論的研究熱點(diǎn)集中在日地第一拉格朗日點(diǎn), 特別是月球、八大行星對(duì)它的擾動(dòng). 尚無研究報(bào)道該理論中其他拉格朗日點(diǎn)以及平面圓型限制性三體問題的一般性質(zhì). 本文將填補(bǔ)這一空白, 在修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論中, 較全面地研究平面圓形限制性三體問題,包括雅克比積分、拉格朗日點(diǎn)、希爾曲線和希爾域等, 以最重要的地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)為例, 定量地研究加速度常數(shù)對(duì)它們的影響.

文獻(xiàn)[5]中, Milgram通過動(dòng)量守恒和位力定理, 得到了修正牛頓動(dòng)力學(xué)極限下圓形軌道中兩體力的解析形式. 基于這一結(jié)果, 文獻(xiàn)[6]給出了修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論中的兩體相互作用方程

在限制性三體問題中, 第三天體質(zhì)量m遠(yuǎn)小于主天體質(zhì)量M, 可以將式(1)簡化成

本文將從這一動(dòng)力學(xué)方程出發(fā), 研究平面圓形限制性三體問題. 當(dāng)a0取值為 0 時(shí), 修正牛頓動(dòng)力學(xué)就回到了標(biāo)準(zhǔn)牛頓動(dòng)力學(xué)的情形, 這有助于對(duì)比和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果.

本文的后續(xù)內(nèi)容安排: 第1章計(jì)算并演示修正的拉格朗日點(diǎn); 第2章繪制修正的希爾曲線、希爾域和禁行域; 第3章總結(jié)全文.

為了計(jì)算方便, 本文采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系, 并約定G=ω=J=1, 其中G表示萬有引力常數(shù),ω表示旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的角速度,J表示在慣性坐標(biāo)系中2個(gè)主天體相互繞轉(zhuǎn)的角動(dòng)量. 在這一約定下, 若一個(gè)主天體的質(zhì)量為μ, 則可證明另一主天體的質(zhì)量為 1?μ. 不失一般性, 本文設(shè)μ≤0.5, 在數(shù)值計(jì)算中, 取地月系統(tǒng)μ= 0.012 195 121 951 2, 日地系統(tǒng)的μ=0.000 002 999 39.

1 修正的拉格朗日點(diǎn)

本文在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下考慮小天體的運(yùn)動(dòng)情況. 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于兩個(gè)主天體靜止, 且以它們的質(zhì)心為原點(diǎn), 記為O(0,0,0). 小天體受兩個(gè)主天體的共同作用, 其質(zhì)量遠(yuǎn)小于主天體質(zhì)量, 因此不影響主天體的軌道. 記A(?μ,0,0) 、B(1?μ,0,0) 、C(x,y,z) 依次為2個(gè)主天體和小天體的位置坐標(biāo), 那么, 整個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日量為

其中,m為小天體質(zhì)量,分別是小天體到2個(gè)主天體的距離. 由拉格朗日方程, 可以得到小天體的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來說, 拉格朗日點(diǎn)其實(shí)就是系統(tǒng)的平衡點(diǎn), 在這些點(diǎn)上, 小天體或航天器處于平衡狀態(tài). 這意味著, 再結(jié)合式(4)、式(5)、式(6)得到

從式(9)不難發(fā)現(xiàn), 要找的平衡點(diǎn)位于Oxy平面內(nèi), 此時(shí). 根據(jù)式(8), 可以分兩種情況進(jìn)一步求解運(yùn)動(dòng)方程.

式(10)說明Oxy平面內(nèi)可能存在平衡解, 解的數(shù)目和具體形式與a0、μ的取值有關(guān).

第二種情況y=0是, 平衡點(diǎn)位于x軸上. 此時(shí)有,r1=|x+μ|r2=|x+μ?1|. 聯(lián)立式(7)、式(8), 得

式(11)有3個(gè)解, 就是常說的直線解, 解的x坐標(biāo)與a0、μ的取值有關(guān).

利用式(10)、式(11), 在地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算, 就可得到不同參數(shù)取值下的拉格朗日點(diǎn). 圖1與表1展示了本文的計(jì)算結(jié)果. 圖1與表1的左列對(duì)應(yīng)地月系統(tǒng), 右列對(duì)應(yīng)日地系統(tǒng).在每一列中, 從上到下a0的取值依次為0、0.001、1、1 000. 表1中ρALi和ρBLi分別以1個(gè)地月距離(約384 404 km)和1個(gè)日地距離(約14 959 787 km)為單位.

值得注意的是, 圖1中有些情形沒有L4點(diǎn)和L5點(diǎn), 可以利用式(10), 通過估算來理解這一特點(diǎn).根據(jù)式(10), 可以得到

當(dāng)μ?a0時(shí), 還可以根據(jù)式(10)得到

圖1 拉格朗日點(diǎn)分布圖Fig. 1 Maps of the Lagrangian points

將式(13)和式(14)分別代入式(12)的分子和分母, 可以發(fā)現(xiàn)

2 修正的希爾曲線和希爾域

如果定義那么運(yùn)動(dòng)方程(4)、(5)、(6)可以記成x¨?2y˙=?U/?x,y¨+2x˙=?U/?y,z¨=?U/?z. 由此可知, 降階后的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程滿足x˙2+y˙2+z˙2=2U?C. 對(duì)于給定的雅克比積分C, 小天體的運(yùn)動(dòng)限制在一個(gè)固定的曲面上, 這個(gè)曲面就是零速度曲面, 滿足x˙2+y˙2+z˙2=0. 零速度曲面可以用來界定希爾域和禁行域. 如果只考慮二維平面的運(yùn)動(dòng), 這些軌跡就表現(xiàn)為一系列曲線, 就是零速度曲線, 也稱希爾曲線[7].

表1 拉格朗日點(diǎn)與主天體的距離Tab. 1 The distances between the Lagrangian points and the main celestial bodies

本文仍以地月系統(tǒng)和日地系統(tǒng)為例, 繪制不同雅各比積分下的零速度曲線組合成的等高線圖, 進(jìn)而分析a0對(duì)小天體運(yùn)行軌跡的影響. 圖2中各子圖的參數(shù)取值與圖1、表1一致, 左列對(duì)應(yīng)地月系統(tǒng),右列對(duì)應(yīng)日地系統(tǒng). 在每一列中, 從上到下a0的取值依次為0、0.001、1、1 000. 在每個(gè)子圖中, 不同的等高線對(duì)應(yīng)不同雅各比積分時(shí)的零速度曲線.

圖2 不同加速度常數(shù)下的等高線圖Fig. 2 Contour maps for different acceleration constants

3 總 結(jié)

本文在修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論中重新研究了平面圓形限制性三體問題. 這些研究結(jié)果表明, 在修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論中, 平面圓形限制性三體問都都有朗格朗日點(diǎn). 在牛頓動(dòng)力學(xué)極限下, 即a0=0 的時(shí)候, 3個(gè)直線解位于主天體所在直線上, 另外2個(gè)點(diǎn)與2個(gè)主天體構(gòu)成等邊三角形. 同一系統(tǒng), 隨著a0取值的增大, 拉格朗日點(diǎn)的位置與牛頓動(dòng)力學(xué)情況下的區(qū)別就越明顯, 甚至在某些參數(shù)區(qū)域只有直線解.

本文的研究結(jié)果還表明, 對(duì)于確定的系統(tǒng)來說,a0值的差異會(huì)對(duì)小天體運(yùn)動(dòng)區(qū)域有所影響. 圖 2表明, 在a0很大的時(shí)候, 修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論與經(jīng)典牛頓理論的零速度曲線分布有較大差異. 具體表現(xiàn)為, 隨著a0的增加, 系統(tǒng)之間的希爾域不再連通, 即地月系統(tǒng)小天體很難靠近月球, 日地系統(tǒng)小天體則很難靠近地球.

本文得到的拉格朗日點(diǎn)均為μ和a0取值確定下的數(shù)值解, 具體到不同的系統(tǒng), 拉格朗日點(diǎn)位置和數(shù)目有所不同. 由于篇幅所限, 本文未能研究這些拉格朗日點(diǎn)的穩(wěn)定性. 本文注意到, 在修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論的平面圓形限制性三體問題中, 三角形解并不總是存在的; 相應(yīng)臨界線上,μ和a0的參數(shù)值也是一個(gè)值得進(jìn)一步研究的問題.