帶有衰退記憶的非自治經(jīng)典反應(yīng)擴散方程在非線性邊界下解的漸近性

梁玉婷,汪 璇

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070）

0 引 言

本文中, 在非線性邊界條件下, 我們來討論帶有衰退記憶的非自治經(jīng)典反應(yīng)擴散方程解的漸近性態(tài):

其中 ?為 R3上帶有光滑邊界 Γ的有界域. 設(shè)外力項(平移有界), 且

其中 [·]表示h0(x,s+h)關(guān)于空間弱收斂拓撲的閉包. 如果h∈H(h0), 則

其中‖·‖表示L2(?) 范數(shù).

方程中衰退記憶在能量耗散中的作用, 通過 ?u(·)和記憶核函數(shù)k(·) 的線性卷積項來實現(xiàn), 而且系統(tǒng)的能量耗散不僅受到現(xiàn)時外力的影響, 同時還受到歷史外力的影響, 并且隨著時間的推移, 歷史外力的影響會越來越小.因此,設(shè)記憶核函數(shù)k(·)∈C2(R+),k(s)≥0,k′(s)≤0,k(∞)=0,?s∈R+.

其中δ為正常數(shù). 則方程 (1) 可轉(zhuǎn)化為

相應(yīng)的初值條件為

相應(yīng)的邊值條件為

其中u(·)滿足下列條件: 存在正常數(shù)R1和, 使得

上式中λ1為?? 的第一特征根.

問題 (5) — (7)所包含的非線性項分為兩類: 內(nèi)部非線性項和邊界非線性項. 設(shè)內(nèi)部非線性項f為C1函數(shù), 且滿足: 存在正常數(shù)l, 使得

且

同時, 設(shè)邊界非線性項g1,g2為C1函數(shù), 且滿足: 存在正常數(shù)m1和m2, 使得

且

其中q,r∈R, 且q>1,r>1.

進一步, 為了保證問題 (5)—(7)對應(yīng)的動力系統(tǒng)為能量耗散系統(tǒng), 假設(shè)內(nèi)部非線性項和邊界非線性項滿足下列任意一個平衡條件 (B1) :

i)p+1>max{2q,2r};

ii) 當(dāng)p+1=2q>2r時,;

iii) 當(dāng)p+1=2r>2q時,;

iv) 當(dāng)p+1=2q=2r>2 時,;

v) 當(dāng)p+1=2q=2r=2 時,.

當(dāng)k=0 時, 方程 (1) 轉(zhuǎn)化為通常意義下的經(jīng)典反應(yīng)擴散方程, 近年來, 關(guān)于該方程解的漸近性態(tài)已經(jīng)引起了許多學(xué)者的研究, 如文獻[2-8]. 在非線性邊界條件下, 文獻[3-4]討論了解的適定性和漸近性行為, 當(dāng)內(nèi)部非線性項和邊界非線性項超臨界增長且滿足一定的平衡條件時, 楊璐等分別得到了自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)解的漸近正則性和吸引子的存在性. 當(dāng)k為關(guān)于時間滿足衰退條件的函數(shù)時, 在Dirichlet 邊界條件下, 文獻[9-11]研究了記憶型經(jīng)典反應(yīng)擴散方程解的漸近性. 當(dāng)非線性項超臨界增長時, 文獻[8]通過構(gòu)造相空間的斜積流, 證明了一致吸引子的存在性, 并刻畫出了吸引子的結(jié)構(gòu).Chepyzhov等在文獻[9]中借助軌道吸引子在空間L2(?) 上獲得了全局吸引子的存在性. 當(dāng)非線性項次臨界增長時, Giorgi等在文獻[10]中得到了有界吸收集在空間的存在性. 汪璇等在文獻[11]中運用收縮函數(shù)方法和半群理論直接證明了全局吸引子在中的存在性.

由于衰退記憶項在非線性邊界下的能量估計存在一定困難, 帶有衰退記憶的非自治經(jīng)典反應(yīng)擴散方程在非線性邊界下解的動力學(xué)行為還很少有人研究, 因而引發(fā)了我們的研究興趣. 借助上述結(jié)果,本文在此基礎(chǔ)上繼續(xù)討論和研究了衰退記憶型模型對應(yīng)動力系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為. 同時, 研究發(fā)現(xiàn)工作的重心和難點依然是解過程的連續(xù)性、緊性或漸近緊性的驗證. 由于內(nèi)部非線性項和邊界非線性項均以超臨界指數(shù)增長, 在邊界上緊嵌入定理失效以及衰退記憶項所在的記憶空間缺乏緊性, 且外力項僅平移有界 (非緊), 使得在非自治系統(tǒng)中解過程連續(xù)性和緊性驗證面臨許多實質(zhì)性困難. 最終,筆者運用收縮函數(shù)方法和過程理論成功地克服了上述本質(zhì)性研究困難, 進而證明了一致吸引子在空間中的存在性及其吸引子的拓撲結(jié)構(gòu) (見定理 2.4).

本文的結(jié)構(gòu)如下: 第1章, 介紹研究問題所涉及的預(yù)備知識, 包括記號、空間的定義及抽象結(jié)果;第2章, 證明一致吸引子在空間中的存在性.

1 預(yù)備知識

如同文獻[12], 設(shè)A=?? 且定義域. 考慮 Hilbert 空間族,且賦予相應(yīng)的內(nèi)積與范數(shù):

這里 〈·,·〉和 ‖·‖分別為L2(?) 的內(nèi)積與范數(shù).

因此, 對于任意的s>r,有緊嵌入以及對于所有的, 有連續(xù)嵌入成立.

對于 0≤s≤3, 記, 則H2(?). 根據(jù)記憶核函數(shù)μ(·)滿足的條件, 當(dāng) 0≤r≤3時, 設(shè)為定義于上且取值于的Hilbert 空間族,, 并賦予相應(yīng)的內(nèi)積與范數(shù):

為了便于估計, 還需要以下預(yù)備性結(jié)果.

引理 1.1[13]記I=[0,T],?T>0. 設(shè)記憶核函數(shù)μ(s) 滿足式 (3)—(4), 則對于任意的,0≤r<3, 存在常數(shù)δ>0, 使得

引理 1.2[14]存在常數(shù)C0(?,1)>0, 使得對于每一個φ∈W1,1(?), 有

以下預(yù)備性結(jié)果將用于證明解過程的漸近緊性、連續(xù)性及一致吸引子的存在性.

定義 1.1[15]設(shè)X為 Banach 空間,B為X中的有界集,Σ為符號空間. 定義于(X×X)×(Σ×Σ)上的函數(shù)?(·,·;·,·)稱為B×B上的漸近收縮函數(shù), 如果對于任意序列, 存在子列及子列, 使得

記 C(B×Σ)為定義于B×B上的全體收縮函數(shù)構(gòu)成的集合.

引理 1.3設(shè){Uσ(t,τ)}(t≥τ,σ∈Σ)為作用于 Banach 空間 (X,‖·‖) 上的過程族, 對于平移半群{T(h)}h≥0, 以下平移恒等式成立:

如果過程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ) 擁有一致 (關(guān)于σ∈Σ)有界吸收集B0. 則對于任意的ε>0, 存在T=T(B0,ε)及?T(·,·;·,·)∈C(B0×Σ), 使得

其中?T依賴于T. 則過程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ) 在空間X中一致 (關(guān)于σ∈Σ) 漸近緊, 即對于任意有界 序列和, 當(dāng)n→∞,tn→∞時, 有在X中 相對緊.

引理 1.4[16]設(shè)X?H?Y是自反的 Banach 空間. 假設(shè)序列{un}在L2([0,T];X) 中一致有界, 對于某些p>1 ,在Lp([0,T];Y)中一致有界, 則{un}的子序列在L2([0,T];H) 中強收斂.

定義 1.2[17]稱作用于X的過程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ) 為 (X×Σ,X) -弱連續(xù)的, 若滿足: 對于固定的τ,t≥τ,τ∈R, 如果zτn→zτ于X,hn?h于 Σ, 那么Uhn(t,τ)zτn?Uh(t,τ)zτ于X.

定理 1.1[17](一致吸引子的存在性和結(jié)構(gòu)) 設(shè)作用于X的過程族{Uσ(t,τ)}(t≥τ,σ∈Σ) 為一致(關(guān)于σ∈Σ)漸近緊且 (X×Σ,X)-弱連續(xù). 設(shè) Σ為緊的度量空間, 并且{T(h)}h≥0為 Σ 上的連續(xù)不變(T(h)Σ=Σ)半群, 滿足引理 1.3 的平移恒等式, 則過程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ) 擁有一致吸引子Aσ. 進一步, 有

其中Kσ(τ)為過程{Uσ(t,τ)}帶著符號σ∈Σ在t=τ時的核截片.

2 主要結(jié)果

2.1 解的存在唯一性

首先, 關(guān)于問題 (5)— (7), 我們給出弱解的如下定義.

定義 2.1記I=[τ,T],?T>τ. 設(shè)h∈H(h0),g∈L2(?)且zτ∈E1. 二元組z=(u,ηt) 滿足

記z(t)為問題(5)—(7)當(dāng)初值z(τ)=zτ時于時間區(qū)間I上的弱解, 如果

運用文獻[13]的 Galerkin 逼近方法, 可以得到問題(5)—(7)的解z(t)在E1中的存在唯一性.

定理 2.1設(shè)非線性項f,g1,g2滿足式(9)、式(11)、式(12)及平衡條件 (B1), 記憶核函數(shù)μ(·) 滿足式(3)— (4), 且, 那么對任意給定的初值zτ∈E1, 問題 (5) — (7)在E1中存在唯一解z=(u,ηt), 滿足

其中當(dāng)s→0+時,Q(s)→0.

根據(jù)定理2.1, 對于每一個h∈H(h0), 可以定義問題 (5) — (7)在空間E1中的解過程, 即

2.2 有界吸收集的存在性

類似于自治系統(tǒng)有界吸收集存在性的證明, 我們可以得到以下對應(yīng)于過程族Uh(t,τ)(h∈H(h0))的有界一致 (關(guān)于h∈H(h0)) 吸收集的存在性結(jié)果.

首先, 關(guān)于問題 (5) — (7)的解在空間E1中做先驗估計.

引理 2.1設(shè)Uh(t,τ)為問題 (5)— (7)在空間E1中的解, 且,B為E1中的有界子集. 非線性項f,g1,g2滿足式(9)、式(11)、式(12)及平衡條件 (B1), 且式 (3)— (4) 成立, 則對任意有界集B?E1, 存在僅依賴于的正常數(shù)M0和時刻TB=T(‖B‖E1), 使得

成立.

證 明用u與方程 (5)在L2(?) 中做內(nèi)積, 可得

根據(jù)引理 1.2 可得

令

根據(jù)非線性項平衡條件 (B1)可知并且

將以上估計代入式 (13), 可得

應(yīng)用 Poincaré 不等式, 可得

應(yīng)用 Gronwall 引理, 可得

并且

故

證畢.

根據(jù)引理 2.1 可得有界吸收集的存在性, 即有如下定理.

定理 2.2(有界一致吸收集存在定理) 若引理 2.1 的假設(shè)成立, 則對于任意有界子集B?E1, 存在TB=T(‖B‖E1), 對于所有的t≥TB+τ且zτ∈B, 有

2.3 一致吸引子的存在性

為了證明一致吸引子在空間E1中的存在性, 需要證明以下預(yù)備性結(jié)果.

引理 2.2設(shè)z(t)為問題 (5) — (7)在空間E1中的解. 如果, 式 (3) —(4)成立且非線性項滿足式(9)、式(11)、式(12)及平衡條件 (B1), 那么對于任意的有界子集B?E1, 存在常數(shù)M1>0和時刻, 使得

證 明對式 (15)在 [t,t+1]上積分, 并且利用式 (16), 可得

故式 (17) 成立, 證畢.

根據(jù)無窮維動力系統(tǒng)一致吸引子的存在性定理 (定理 1.1), 我們還需驗證過程族Uh(t,τ)(h∈H(h0))在E1中的漸近緊性.

定理 2.3設(shè)Uh(t,τ)(h∈H(h0))為問題 (5) — (7)在能量空間E1中的解生成的過程族. 如果非線性項滿足條件 (9) — (12)及平衡條件 (B1), 外力項, 且式 (3) — (4) 成立, 那么Uh(t,τ)(h∈H(h0))在E1中漸近緊.

證 明設(shè)和為問題 (5) — (7)在能量空間E1中的兩個解, 分別滿足初值條件和, 初值屬于空間E1對應(yīng)過程族中的一致有界吸收集B0且,i= 1, 2.

相應(yīng)的邊值條件為

相應(yīng)的初值條件為

在式 (18)兩邊同時乘以w(t), 并在 ? 中做內(nèi)積, 可得

根據(jù)式 (8) 可得

類似于式 (14)的估計并根據(jù)式 (11), 可得

并且

由引理1.1可知

故

對于任意給定的T>τ, 在式 (19)兩邊同時乘以并在 [τ,T] 上積分, 有

對應(yīng)于引理1.3, 設(shè)

下面將證明定義于 (E1×E1)×(H(h0)×H(h0))上的函數(shù)?T(·,·;·,·)為B0×B0中的漸近收縮函數(shù),其中B0為解半群在E1中的一致有界吸收集.

因 此 需 證 明A:={u(t)|t∈[τ,T],u(t)=Π1Uh(t,τ)zτ,zτ∈B0,h∈H(h0)}在L2([τ,T];L2(?)) 中相對緊.

首先, 對式 (15)在 [τ,T]上積分, 并且利用式 (16), 可得

則A在L2([τ,T];H1)∩Lp([τ,T];Lp(?)) 中有界.

其中

并且, 利用式 (11) 及引理 1.2 可得

因此,?tA在Lq([τ,T];H?γ)中有界. 顯然,A在L2([τ,T];L2(?))中相對緊, 即式 (20) 成立.利用H?lder不等式, 有

所以, 根據(jù)引理 1.3 和定理 2.1 可知,{Uh(t,τ)}(h∈H(h0))在E1中一致漸近緊.

引理 2.3[18]設(shè)X是自反的 Banach 空間,,且0∈X, 則對于每一個緊 (在X?中) 子集B?X?, 一致收斂成立: 對于任意的ε>0, 存在僅依賴ε的常數(shù)Nε, 使得對于任意的n≥Nε,f∈B,有|〈f,xn〉X?|≤ε.

引理1.3表明與方程 (1)相對應(yīng)的過程族{Uσ(t,τ)}(σ∈Σ) 具有緊的 (在X中) 一致 (σ∈Σ) 吸收集, 且在X中有界, 因此, 我們得到緊的一致 (σ∈Σ)吸引子A的存在性,A?X.

為了得到一致吸引子的結(jié)構(gòu), 我們還需驗證以下解過程的弱連續(xù)性.

由于方程 (5) 在Lq([τ,T];H?γ(?)) (q是式 (9)中p的共軛) 中成立, 則對任意固定的T(>τ), 有,其中u=Π1Uh(t,τ)zτ∈L2([τ,t];L2(?)),Π1是X×Σ到X的映射. 因為A在X中是有界的, 由定理2.2可知, 存在M使得

因此

在L2([τ,T];H?γ(?)) 中有界.

根據(jù)引理1.2、定理2.2和定理2.3, 可以得到本文的主要結(jié)果.

定理 2.4設(shè){Uh(t,τ)|h∈H(h0)}為問題 (5) — (7)在能量空間E1的解生成的過程族. 如果定理 2.3的假設(shè)成立, 則過程族{Uh(t,τ)|h∈H(h0)}在空間E1中擁有緊的一致吸引子AH(h0). 進一步, 有

其中Kh(τ)為過程族{Uh(t,τ)|h∈H(h0)}的核Kh在t=τ時刻的核截片.