基于磁極參數(shù)的表貼式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩研究*

洪 濤， 鮑曉華， 劉佶煒， 李仕豪

(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

表貼式永磁同步電機(jī)(SPMSM)具有結(jié)構(gòu)簡單、效率高、轉(zhuǎn)矩電流比高、功率因數(shù)高等優(yōu)點(diǎn)，因此在現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域已得到越來越廣泛的應(yīng)用。永磁體和開槽電樞鐵心之間的相互作用不可避免地導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩[1]，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩波動、振動和噪聲，并影響系統(tǒng)的控制精度和運(yùn)行穩(wěn)定性。齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁電機(jī)的特殊問題之一，也是設(shè)計和制造高性能永磁電機(jī)時必須考慮并解決的關(guān)鍵問題。

對于SPMSM，氣隙磁密接近矩形波，含有大量諧波分量，文獻(xiàn)[2-3]通過改變永磁體的磁極參數(shù)優(yōu)化氣隙磁密波形來抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[4]利用遺傳算法(GA)優(yōu)化永磁電機(jī)的形狀以實(shí)現(xiàn)齒槽轉(zhuǎn)矩最小化,并通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。文獻(xiàn)[5]使用具有離散偏斜角的表面安裝永磁體并基于GA優(yōu)化程序來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[6-8]提出了極寬調(diào)制和極幅調(diào)制相結(jié)合的方法，采用寬度一致的分塊永磁體和不同剩磁強(qiáng)度材料組合的方法，削弱了氣隙磁密中的諧波。相似地，采用不同永磁材料相同永磁體厚度的組合磁極也可以減小氣隙磁密中的諧波含量，Shen等[9-10]對此方法進(jìn)行了大量的研究。通過改變永磁體形狀等方法[11-13]來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩已獲得了不錯的成果，例如文獻(xiàn)[14]對永磁體削極處理下的邊緣厚度進(jìn)行了分析和優(yōu)化。文獻(xiàn)[15]引入磁極加長系數(shù)改變極弧系數(shù)的分配比來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[16]采用不等厚分段式永磁體代替?zhèn)鹘y(tǒng)永磁體來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩并達(dá)到了預(yù)期效果。但是，這些結(jié)論大部分是通過模擬獲得的，很少是通過分析和理論推導(dǎo)得出的。此外，這些文章大多數(shù)僅對單一結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)分析，而沒有比較多種結(jié)構(gòu)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

本文基于能量法和傅里葉分解，首先給出SPMSM齒槽轉(zhuǎn)矩的解析分析方法，然后推導(dǎo)了不同永磁體模型下齒槽轉(zhuǎn)矩公式，給出了相應(yīng)的能有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的參數(shù)確定方法。以50 kW、8極和11 kW、16極2臺SPMSM為樣機(jī)，利用有限元方法驗(yàn)證上述方法的有效性，最后對削極與組合磁極的磁極參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并分析對電機(jī)性能的影響。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析分析方法與磁極模型分析

1.1 齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機(jī)理

齒槽轉(zhuǎn)矩是當(dāng)永磁電機(jī)的繞組不勵磁時, 由永磁體和鐵心之間的相互作用產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩?；谀芰糠?，齒槽轉(zhuǎn)矩可以表示為[17]

(1)

式中：W為不帶電的電機(jī)磁場能量；α為定轉(zhuǎn)子相對位置角。

存儲在鐵中的能量較小可以忽略不計，因此存儲在電機(jī)中的磁場能量約等于存儲在電機(jī)的氣隙和永磁體中的磁場能量之和：

W≈Wgap+WPM=

(2)

式中：hm(θ)、σ(θ,α)、Br(θ)分別為永磁體的磁化方向長度、氣隙的有效長度、永磁體沿周向剩磁的分布。

對于永磁體和槽均勻分布的SPMSM而言，通常可以通過傅里葉級數(shù)來擴(kuò)展Br2(θ)和氣隙相對磁導(dǎo)率的平方。對于通用永磁體模型，Brn和Gn的公式如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：Br為永磁體的剩磁；Brn為Br2(θ)的n次傅里葉展開系數(shù)；p為極對數(shù)；αp為極弧系數(shù)；Gn為氣隙相對磁導(dǎo)率平方的n次傅里葉展開系數(shù)。

則齒槽轉(zhuǎn)矩可以表示為[17-18]

(8)

式中：z為定子槽數(shù)；La為電樞鐵心的軸向長度；μ0是真空的磁導(dǎo)率;R1為定子的內(nèi)半徑；R2為轉(zhuǎn)子的外半徑；n是使nz/(2p)為整數(shù)的整數(shù)。

1.2 磁極模型分析

由式(8)可以看出，削弱齒槽轉(zhuǎn)矩可以通過改變Gn和Brn的幅值，這是對齒槽轉(zhuǎn)矩起主要影響的。由式(2)～式(8)可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩與氣隙磁密沿著電樞表面的分布有關(guān)。永磁體的參數(shù)變化會直接影響氣隙磁密在電樞表面的分布。式(3)～式(7)適用于普通磁極結(jié)構(gòu)，如圖1(a)所示。對于不同的永磁體模型，氣隙磁密分布不同會導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩中Gn和Brn的解析式不同。因此，本文基于永磁體磁極參數(shù)對SPMSM的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行研究，建立不同的磁極模型并進(jìn)行解析推導(dǎo)。

圖1為各磁極模型的示意圖。其中，圖1(a)為普通磁極，永磁體采用徑向充磁方式。圖1(b)為環(huán)形磁極，環(huán)形磁極采用正弦或者余弦充磁方式。由于函數(shù)充磁的復(fù)雜性和加工工藝的限制，采用多塊極弧系數(shù)和厚度均相等、剩磁大小按照正弦調(diào)制的分塊永磁體代替整體的永磁體，如圖1(c)所示。圖1(d)為組合磁極，將原始的單一永磁體材料更改為多種材料的組合，中間部分為主磁極，兩端為輔助磁極。圖1(e)為不等厚磁極。圖1(f)為削極結(jié)構(gòu)的永磁體，為了方便解析分析可以等效成模型圖1(g)。

圖1 磁極模型

磁極模型分類的流程圖如圖2所示。本文通過極弧系數(shù)對SPMSM進(jìn)行分類，對于極弧系數(shù)為1的永磁體采用正弦充磁來調(diào)制氣隙磁密波形從而達(dá)到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的效果，由于工藝限制往往采用分段充磁的方式來代替正弦充磁。對于常見的極弧系數(shù)小于1的磁極結(jié)構(gòu)，也可以采用正弦充磁的方式達(dá)到削弱效果，但工藝復(fù)雜、應(yīng)用范圍有限，因此現(xiàn)代工業(yè)大多采用組合磁極和削極結(jié)構(gòu)來達(dá)到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的效果。

圖2 磁極模型分類

1.3 解析分析

對于圖1(b)所示的環(huán)形永磁體，采用余弦函數(shù)充磁，如圖3所示。此時αp= 1，Br(θ)的分布可表示為

圖3 環(huán)形和分段式永磁體Br(θ)的分布

Br(θ)=Brcos(pθ)

(9)

該模型下，僅Br(θ)的分布發(fā)生了變化，因此Gn的表達(dá)式不變，Brn發(fā)生變化，可表示為

(10)

圖1(c)采用分段式永磁體，即采用分段的徑向充磁的永磁體代替余弦充磁方式，此時Br(θ)的分布見圖3。其解析式可表示為

Br(θ)=kiBr1,

(11)

式中：i為1～s范圍內(nèi)的正整數(shù)。

相似的，Gn的表達(dá)式不變，Brn發(fā)生了變化，此時的Brn可表示為

(12)

式中：ki是其他永磁體的剩磁Bi與剩磁Br的比值；Br1為分段中的最大剩磁；s為單極下永磁體的分段數(shù)。

圖1(d)為組合磁極，其原始的單個永磁體材料更改為2種材料的組合。圖4為組合磁極的Br(θ)的分布，可表示為

圖4 組合磁極下的Br(θ)分布

Br(θ)=

(13)

式中：Br1為輔助磁極的剩磁；Br2為主磁極的剩磁；β為輔助磁極占總磁極的百分比。

此時，Gn的表達(dá)式不變，變化后的Brn可表示為

(14)

SPMSM氣隙磁密沿著電樞表面的分布可以表示為

(15)

對于圖1(e)的不等厚永磁體、圖1(f)和圖1(g)的削極結(jié)構(gòu)來說，氣隙磁密的分布如圖5所示。氣隙磁密的變化僅由氣隙相對磁導(dǎo)率的變化，此時Brn表達(dá)式保持不變，而Gn的表達(dá)式相對于普通磁極模型各異。

圖5 不等厚永磁體和削極結(jié)構(gòu)的B(θ,α)的分布

對于圖1(e)不等厚永磁體，Gn的表達(dá)式為

(16)

由于目標(biāo)函數(shù)的不確定性，很難得到具體的參數(shù)化分析結(jié)果。特殊的，采用圖1(f)所示的削極結(jié)構(gòu)來建立模型，此時Gn的表達(dá)式為

(17)

式(17)中，b如圖1(f)所示。

此時氣隙相對磁導(dǎo)率仍然是多變量函數(shù)。為了便于分析進(jìn)一步簡化模型，將模型等效為圖1(g)所示的結(jié)構(gòu)，則Gn的表達(dá)式為

(18)

式(18)中，b和r如圖1(g)所示。

本文通過能量法推導(dǎo)了不同永磁體模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩公式，可以看出，通過永磁體參數(shù)來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法實(shí)質(zhì)上改變了Gn和Brn的幅度，且進(jìn)一步對齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值產(chǎn)生影響。對于不同的永磁體模型，齒槽轉(zhuǎn)矩解析公式中的Gn和Brn的表達(dá)式有所差異，而這些差異由永磁體的參數(shù)決定。與普通磁極[圖1(a)]相比，環(huán)形磁極[圖1(b)]、分段磁極[圖1(c)]和組合磁極[圖1(d)]中Gn保持不變，而Brn發(fā)生改變；而不等厚永磁體[圖1(e)]和削極結(jié)構(gòu)[圖1(f)、圖1(g)]下的Gn發(fā)生了變化，而Brn保持不變。通過解析公式可以看出，各個模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩受不同磁極參數(shù)的影響，其中環(huán)形磁極模型下齒槽轉(zhuǎn)矩與剩磁相關(guān)，分段磁極模型下齒槽轉(zhuǎn)矩與分段數(shù)s和剩磁比ki相關(guān)，組合磁極結(jié)構(gòu)下的齒槽轉(zhuǎn)矩與輔助磁極的剩磁幅值和輔助磁極所占的百分比有關(guān)，不等厚永磁體下齒槽轉(zhuǎn)矩受到其永磁體表面分布的影響，削極結(jié)構(gòu)下的齒槽轉(zhuǎn)矩是關(guān)于削槽的深度和削槽的寬度的函數(shù)。

2 仿真分析

2.1 不同永磁體模型對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

基于以上理論分析，可以看出不同的永磁體模型會影響電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。上述理論推導(dǎo)為有限元分析的參數(shù)選擇提供了指導(dǎo)，通過有限元仿真可以得到磁極參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩具有更直觀的影響。因此，本文以1臺50 kW、8極的SPMSM為例來驗(yàn)證不同磁極模型對齒槽轉(zhuǎn)矩削弱的有效性，其有限元模型如圖6所示，樣機(jī)I的主要參數(shù)如表1所示。

圖6 樣機(jī)I電機(jī)有限元模型

表1 樣機(jī)I的主要參數(shù)

齒槽轉(zhuǎn)矩在定子和轉(zhuǎn)子的相對位置改變的齒距內(nèi)是周期性的變化，且周期數(shù)取決于極槽配合。根據(jù)式(8)可以看出，周期數(shù)為使nz/(2p)為整數(shù)的最小整數(shù)n。極數(shù)和槽數(shù)的合理組合可以使周期數(shù)更長，周期數(shù)越長，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值越小。樣機(jī)I整數(shù)槽電機(jī)，其齒槽轉(zhuǎn)矩較大，會對電機(jī)的性能產(chǎn)生更大的影響。因此，由永磁體的參數(shù)化引起的齒槽轉(zhuǎn)矩的減弱效果更加明顯。本文在進(jìn)行有限元仿真分析永磁體參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩影響時，對多種永磁體模型進(jìn)行了建模分析，包括分段磁極、組合磁極、不等厚磁極和削極結(jié)構(gòu)。

圖7為不同永磁體模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖?？梢钥闯觯ㄟ^磁極參數(shù)改變得到的永磁體模型確實(shí)可以減小齒槽轉(zhuǎn)矩幅值，但是對齒槽轉(zhuǎn)矩的減弱程度是不同的。其中，削極結(jié)構(gòu)、分段磁極和組合磁極的應(yīng)用對齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱尤為顯著。

圖7 不同磁極模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩對比

分段磁極采用多塊極弧系數(shù)和厚度均相等，剩磁按照正弦調(diào)制的永磁體組合而成，工藝復(fù)雜，應(yīng)用并不廣泛。相比之下，工業(yè)常用生產(chǎn)較為方便的組合磁極和削極結(jié)構(gòu)來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。因此，以11 kW、16極的低速大轉(zhuǎn)矩電主軸SPMSM為例，對組合磁極和削極結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化研究。圖8(a)為低速大轉(zhuǎn)矩電主軸永磁電機(jī)的實(shí)物圖。該電機(jī)有限元仿真模型如圖9所示。樣機(jī)II采用分?jǐn)?shù)槽，其主要參數(shù)如表2所示。

圖8 低速大轉(zhuǎn)矩電主軸永磁電機(jī)實(shí)物模型

圖9 普通磁極模型下的樣機(jī)II有限元模型

表2 樣機(jī)II的主要參數(shù)

2.2 極化結(jié)構(gòu)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

由式(8)和式(18)可以看出，削極結(jié)構(gòu)通過改變削槽的深度和削槽的寬度來改變Gn的振幅，進(jìn)而影響齒槽轉(zhuǎn)矩。為了準(zhǔn)確地分析削極結(jié)構(gòu)對SPMSM齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，需要建立槽深和槽寬2個參數(shù)。

圖10為削極結(jié)構(gòu)的樣機(jī)II局部二維模型圖。

圖10 削極結(jié)構(gòu)的樣機(jī)II的局部二維模型圖

其中，標(biāo)記了槽深r和槽寬b。與原始永磁體相比，削極結(jié)構(gòu)的永磁體能量在一定程度上降低了，這可能導(dǎo)致氣隙磁通密度的基波幅度減小。因此，選擇適當(dāng)?shù)牟凵詈筒蹖捒梢栽诖_保電機(jī)性能的同時減弱齒槽轉(zhuǎn)矩。

在研究極化結(jié)構(gòu)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響時，削槽深度r取值范圍為1～4 mm(步長為1 mm)，削槽寬度b取值范圍為5～30 mm(步長為5 mm)。采用有限元二維建模分析的方法仿真得到不同槽深和槽寬下齒槽轉(zhuǎn)矩的最大值，如圖11所示。

圖11 不同槽深和槽寬下齒槽轉(zhuǎn)最大值的3D表面圖

從圖11可以看出，槽深和槽寬對齒槽轉(zhuǎn)矩有很大的影響，選取合適范圍的槽深和槽寬可以有效地削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。有限元仿真獲得的部分?jǐn)?shù)據(jù)記錄如表3所示。其中,Br是空載氣隙磁通密度的徑向分量基波幅值。

表3 有限元仿真數(shù)據(jù)

當(dāng)槽深為2 mm，槽寬為20 mm時，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值最小為0.229 N·m，僅相當(dāng)于原始設(shè)計的36.4%，此時氣隙磁密的基波幅值沒有太大波動。此外,不合理的槽深和槽寬會增大齒槽轉(zhuǎn)矩，還會引起氣隙磁密度的畸變。

對于樣機(jī)II，當(dāng)槽深取永磁體厚度的0.4倍、槽寬取永磁體寬度的0.23倍時，齒槽轉(zhuǎn)矩會顯著降低，此時且氣隙磁密度不會太大變動。削極結(jié)構(gòu)已經(jīng)在工業(yè)應(yīng)用中用于降低齒槽轉(zhuǎn)矩，見圖8(b)。

2.3 組合磁極對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

從式(8)和式(14)可以看出，組合磁極中的齒槽轉(zhuǎn)矩受2個因素的影響：輔助磁極的剩磁幅值和輔助磁極所占的百分比。這2個參數(shù)會影響B(tài)rn的幅值，進(jìn)而影響齒槽轉(zhuǎn)矩的大小。圖12為組合磁極結(jié)構(gòu)SPMSM的局部二維模型圖。

圖12 組合磁極結(jié)構(gòu)SPMSM的局部二維模型圖

在研究組合磁極對SPMSM齒槽轉(zhuǎn)矩的影響時，將β定義為輔助磁極所占的百分比，將s定義為輔助磁極與主磁極的剩磁之比。與主磁極相比，輔助極的剩磁小于主極，當(dāng)使用組合磁極代替?zhèn)鹘y(tǒng)磁極時，永磁體的儲能會一定程度削弱。因此，在選擇輔助磁極和輔助磁極占比2個參數(shù)來減小齒槽轉(zhuǎn)矩時，需要確保電機(jī)的性能。β的取值范圍為1/7～4/7(步長為1/7)，s的取值范圍為0.2～0.8(步長為0.2)。本文采用有限元二維建模分析的方法，繪制了不同β和s下齒槽轉(zhuǎn)矩最大值的3D表面圖，如圖13所示。組合磁極下部分?jǐn)?shù)據(jù)記錄見表3。

圖13 不同β和s下齒槽轉(zhuǎn)矩最大值的3D表面圖

從圖13可以看出，β和s對齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大，合適的β和s配比能有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，并確保氣隙磁通密度不會太大波動。當(dāng)β為1/7、s為0.6時，齒槽轉(zhuǎn)矩僅為0.126 N·m，僅相當(dāng)于原始設(shè)計的20%。從表3可以看出，此時氣隙通量密度沒有受到顯著影響。當(dāng)β為4/7、s為0.4時，齒槽轉(zhuǎn)矩為0.147 N·m，但氣隙磁通密度幅值顯著降低。對于該樣機(jī)，當(dāng)β為1/7、s為0.6時，在確保氣隙磁通密度時，齒槽轉(zhuǎn)矩得到顯著減弱。

2.4 削極結(jié)構(gòu)和組合磁極對電機(jī)其他性能的影響

電機(jī)的磁極參數(shù)發(fā)生改變時，會對電機(jī)的性能產(chǎn)生影響。本文利用有限元對采用削極結(jié)構(gòu)和組合磁極的樣機(jī)模型進(jìn)行分析。對比各模型下的電機(jī)性能，如表4所示。額定電流激勵下的各磁極模型電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩曲線如圖14所示。

表4 各模型電機(jī)性能對比

圖14 電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩波形

從表4可以看出，采用本文的齒槽轉(zhuǎn)矩削弱措施以后，電機(jī)的氣隙磁密基波幅值、平均轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)矩脈動波動較小，不會對電機(jī)性能產(chǎn)生較大影響。

為了彌補(bǔ)由于削極結(jié)構(gòu)、組合磁極等結(jié)構(gòu)帶來平均轉(zhuǎn)矩、氣隙磁密減少問題，可以采用磁極磁能不變的方法進(jìn)行修正。本文對削極結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正，將由于削極損失的永磁體均勻添加到永磁體厚度上，彌補(bǔ)磁能的削弱。從表4和圖14可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩被削弱的同時電機(jī)性能沒有太大波動。

3 結(jié) 語

本文研究了不同磁極參數(shù)對SPMSM齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。基于能量法和傅里葉分解，推導(dǎo)了不同永磁體模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩公式。通過有限元仿真軟件對不同永磁體模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了仿真。然后對削弱效果顯著的削極結(jié)構(gòu)和組合磁極進(jìn)行參數(shù)化分析，最后分析其對電機(jī)其他性能的影響。通過理論推導(dǎo)和有限元分析得出以下結(jié)論：對于不同的永磁體模型，齒槽轉(zhuǎn)矩解析公式之間的差異在于Gn和Brn的差異，磁極參數(shù)的變化會影響Gn和Brn的幅值，進(jìn)而影響齒槽轉(zhuǎn)矩的大小。對于單一模型，合理的選擇磁極參數(shù)可以在保證電機(jī)性能的情況下顯著削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。