磁控二氧化鈦憶阻混沌系統(tǒng)及其電路設(shè)計(jì)

許向亮,李國東,2,戴婉瑩

(1.新疆財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830012;2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

1971年,Chua首次提出憶阻器是一種磁通與電荷相關(guān)的元件[1]。2008年,惠普公司的研究人員首次在實(shí)驗(yàn)室做出憶阻器實(shí)物[2],并在后續(xù)實(shí)驗(yàn)得出了憶阻器的記憶原理[3],憶阻器的阻值是流經(jīng)它的電荷所確定的。納米憶阻器的出現(xiàn),有望實(shí)現(xiàn)非易失性隨機(jī)儲(chǔ)存器。由于納米憶阻器的隨機(jī)儲(chǔ)存器的集成度、讀寫速度、功耗較傳統(tǒng)隨機(jī)儲(chǔ)存器更為優(yōu)越,得到了研究人員的廣泛關(guān)注,目前已有大量的文獻(xiàn)對(duì)荷控型和磁控型憶阻器的數(shù)學(xué)模型[4-8]以及憶阻混沌系統(tǒng)的SPICE模型[9]進(jìn)行了報(bào)道,但是這些模型并不能較好地應(yīng)用于實(shí)際電路,因此建立了各類相關(guān)憶阻器的替代模型和等效電路,分別采用離子遷移、壓控憶阻器等方法實(shí)現(xiàn)混沌電路的雙穩(wěn)性[10]和語音信號(hào)的保密通信[11]。在以上所述的研究成果中,基于磁控制構(gòu)建的仿真器并不常見,基于磁控模型的憶阻電路是未來構(gòu)建復(fù)雜混沌系統(tǒng)的趨勢,因此,研究磁控憶阻器模型具有重要意義。依據(jù)憶阻器原理,構(gòu)建二次、三次、分段非線性模型憶阻器引入傳統(tǒng)混沌系統(tǒng),如Lorenz系統(tǒng)[12]、蔡氏混沌電路[13]、多渦卷Jerk系統(tǒng)[14]、文氏電路[15],豐富了構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng)的方法。近年來,在傳統(tǒng)混沌的基礎(chǔ)上提出了許多基于磁控二氧化鈦憶阻器的混沌系統(tǒng)[16-18],當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)[19]現(xiàn)象時(shí),其具有復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為,可用于圖像加密[20]。且隨著憶阻混沌系統(tǒng)在通信保密領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,系統(tǒng)參數(shù)的選擇顯得尤為重要,系統(tǒng)參數(shù)的選擇會(huì)影響混沌信號(hào)的偽隨機(jī)性。本文嘗試采用混沌圖和復(fù)雜度分析結(jié)合的方法得到了系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù),該方案具有普適性,便于廣泛推廣。

本文提出了一種結(jié)構(gòu)簡單的憶阻混沌系統(tǒng),采用磁控二氧化鈦憶阻器來構(gòu)建混沌系統(tǒng)的非線性項(xiàng),詳細(xì)地分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。系統(tǒng)存在特殊的分叉結(jié)構(gòu),雙層分叉或者類周期性窗口可以保證系統(tǒng)的混沌特性,在分叉斷層區(qū)間,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)較小,采用混沌圖、復(fù)雜度分析等方法能夠得到該區(qū)間混沌系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)取值范圍,且在最優(yōu)參數(shù)范圍控制下的憶阻混沌系統(tǒng),其多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象更加顯著,從而驗(yàn)證了該系統(tǒng)可以產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)行為,并用Multisim實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的混沌電路仿真,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。

1 磁控二氧化鈦憶阻器混沌系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)分析

1.1 基于磁控二氧化鈦憶阻器的混沌系統(tǒng)模型

本文提出的一種帶有磁控二氧化鈦憶阻器的混沌系統(tǒng),其狀態(tài)方程描述如下:

式中:u,v,w∈R為該憶阻混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù);g(·)為系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。磁控二氧化鈦憶阻器的電荷編碼[9]如下:

式中:v表示輸入憶阻器的磁通;RON和ROFF分別代表憶阻器的兩個(gè)極限值;M(0)為憶阻器的初始值;k=[(RON-ROFF)×μvRON]/D2,其中D是薄膜厚度;μv是所用憶阻器模型中氧空位的平均遷移率。設(shè)置憶阻器的參數(shù)如下:RON=100Ω,ROFF=20 kΩ,M(0)=15 kΩ,μv=10-14m2·s-1·V-1,D=10 nm,當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(u,v,w)=(0.6,0.2,0.3)時(shí),參數(shù)a=6,b=8,c=50,d=105,該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。設(shè)置時(shí)間為10 s,采用龍哥庫塔法利用Python3.7對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行仿真,得到管狀3D圖。系統(tǒng)在保留初始狀態(tài)的基礎(chǔ)上添加微小改動(dòng),呈彩色狀分布,分別得到u-v平面、u-w平面、v-w平面的相圖,如圖1所示。

1.2 憶阻混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

1.2.1 對(duì)稱性分析與耗散度分析

由系統(tǒng)(1)的相圖可知,系統(tǒng)存在對(duì)稱性,即(u,v,w)→(-u,-v,w),系統(tǒng)保持不變,關(guān)于w軸對(duì)稱,它滿足f(PT)=Pf(T),其中R表示三個(gè)維度,T表示系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程,P為變換矩陣,其變化可表示為:

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子。(a)u-v平面;(b)u-w平面;(c)v-w平面Fig.1 Chaotic attractor of system(1).(a)u-v plane;(b)u-w plane;(c)v-w plane

系統(tǒng)(1)的耗散度計(jì)算如下:

當(dāng)系統(tǒng)(1)的參數(shù)a＞0,此時(shí)系統(tǒng)是耗散的,系統(tǒng)(1)是有界的,其軌道變化收縮率為:

也就是說一個(gè)初始值狀態(tài)下為V(0)的體積元在t時(shí)刻收斂速度為e-a,當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡上的每一個(gè)微小體積元都將以e-a指數(shù)倍速率快速收斂到零,本文選取系統(tǒng)的參數(shù)為:a=6,符合上述形式,該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌跡線,最終會(huì)被控制在一個(gè)體積為零的極限集合,漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)吸引到固定的值上,說明該系統(tǒng)存在吸引子。

1.2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

為了求解系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn),令系統(tǒng)(1)變?yōu)辇R次狀態(tài)方程。即:

令a=6,b=2,c=50,d=105,此時(shí)系統(tǒng)有三個(gè)平衡點(diǎn):S1(0,0,0),S2(2.2361,2.2361,0),S3(-2.2361,-2.2361,0)。

系統(tǒng)(1)的線性化Jacobian矩陣為:

令系統(tǒng)(1)特征方程det(J-λI)=0,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)S1(0,0,0)處的特征根λ1=1.4536,λ2=-1.2145,λ3=-7.2254。其中因?yàn)棣?,λ3為負(fù)實(shí)數(shù)根,λ1為正實(shí)數(shù)根,所以系統(tǒng)平衡點(diǎn)S1(0,0,0)是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

在平衡點(diǎn)S2(2.2361,2.2361,0)處的特征根λ1=1.5811,λ2=1.4571+0.9823i,λ3=1.4571-0.9823i;λ2,λ3為一對(duì)共軛負(fù)數(shù)根,λ1為正實(shí)數(shù)根,所以系統(tǒng)平衡點(diǎn)S2(2.2361,2.2361,0)是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

在平衡點(diǎn)S3(-2.2361,-2.2361,0)處的特征根λ1=1.5811,λ2=1.4571+0.9823i,λ3=1.4571-0.9823i;λ2,λ3為一對(duì)共軛負(fù)數(shù)根,λ1為正實(shí)數(shù)根,所以系統(tǒng)平衡點(diǎn)S3(-2.2361,-2.2361,0)也是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

1.2.3 Lyapunov指數(shù)譜和維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是衡量非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特性的一個(gè)重要的定量指標(biāo),它計(jì)算了相空間中相鄰運(yùn)動(dòng)軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率,且一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)意味著在系統(tǒng)的相空間中相鄰兩條軌道之間的差別隨時(shí)間的演化而呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)分離且無法預(yù)測。設(shè)置系統(tǒng)(1)的初值狀態(tài)為(u,v,w)=(0.6,0.2,0.3),且設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為a=6,b=8,c=50,d=105,選取時(shí)間t=300 s,采用雅可比矩陣的方法得到如圖2的Lyapunov指數(shù)譜,該系統(tǒng)具有一個(gè)正的λ1=1.133,一個(gè)趨近于0的λ2=-0.0099968,一個(gè)負(fù)的λ3=-7.1222,且滿足λ1+λ2+λ3＜0,此時(shí)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov exponential spectrum of system(1)

依據(jù)Yorke公式計(jì)算Lyapunov維數(shù):

系統(tǒng)(1)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)維,此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

1.2.4 功率譜和龐加萊截面

當(dāng)系統(tǒng)(1)參數(shù)a=6,b=8,c=50,d=105時(shí),取(u,v,w)初值狀態(tài)為(0.6,0.2,0),t=2000 s時(shí),圖3的(a)、(b)分別為該系統(tǒng)的功率譜和龐加萊截面。其功率譜圖具有連續(xù)尖峰和噪聲背景的特征,從而驗(yàn)證此系統(tǒng)為混沌系統(tǒng),此外,Poincare截面映射保持了原系統(tǒng)的周期和準(zhǔn)周期軌道的許多特性,且具有低維狀態(tài)空間。從系統(tǒng)(1)的Poincare截面映射呈現(xiàn)出成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集型連續(xù)點(diǎn),與其他系統(tǒng)不同的是,該系統(tǒng)的吸引域呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)形狀,且在最外層出現(xiàn)分段現(xiàn)象,因此該系統(tǒng)可能存在多穩(wěn)態(tài)共存的現(xiàn)象。

1.3 分叉圖

1.3.1 雙分叉區(qū)域分析

設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)a=6,c=50,d=105,令b為控制變量,控制區(qū)間為 [0,50],步長為0.05,初始狀態(tài)(u,v,w)=(0.6,0.2,0.3),其分叉圖如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)(1)的功率譜和龐加萊截面。(a)功率譜;(b)龐加萊截面Fig.3 Power spectrum of system(1).(a)The power spectrum;(b)The Poincare map

圖4 系統(tǒng)(1)的分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram of system(1)

其分叉圖呈現(xiàn)分區(qū)域狀態(tài),出現(xiàn)雙分叉現(xiàn)象,其中上層比下層的點(diǎn)數(shù)密集,因此參數(shù)在該區(qū)域的取值不會(huì)影響混沌的狀態(tài),此時(shí)混沌的軌道仍會(huì)呈指數(shù)級(jí)分離,不會(huì)向單軌道遷移。在區(qū)間 [6,15],對(duì)分叉圖進(jìn)行放大處理,混沌分叉出現(xiàn)自相似性,仍舊出現(xiàn)分叉斷層現(xiàn)象。

1.3.2 分叉斷層區(qū)域分析

為了進(jìn)一步探究混沌軌道是否會(huì)在此區(qū)域出現(xiàn)單軌道遷移,采用1.3.1中設(shè)定的系統(tǒng)參數(shù),在分叉圖的放大區(qū)間保留兩種初始值狀態(tài)(參考表1)進(jìn)行作圖,由圖5(a)可知:在同一參數(shù)下,不同初始狀態(tài)的分叉圖也存在著差異,且無論是紅色或是藍(lán)色均在b=11右側(cè)出現(xiàn)斷層現(xiàn)象。將藍(lán)色狀態(tài)下的分叉圖剝離開來,觀察到藍(lán)色初值狀態(tài)下的參數(shù)b→11的時(shí)候出現(xiàn)明顯的分叉斷層現(xiàn)象,如圖5(b)所示。

圖5 分叉圖。(a)不同初始值狀態(tài);(b)單一初始值狀態(tài)Fig.5 Bifurcation diagram.(a)Different initial value state;(b)Single initial value state

在傳統(tǒng)的混沌分叉區(qū)域分析中,混沌分叉會(huì)呈現(xiàn)周期分叉,伴隨著混沌軌道呈現(xiàn)周期現(xiàn)象,此時(shí)系統(tǒng)不混沌。系統(tǒng)(1)的分叉不僅具有周期性、雙層分叉性,而且出現(xiàn)了其他系統(tǒng)沒有的分叉斷層區(qū)域,分叉斷層意味著混沌周期性消失,此時(shí)系統(tǒng)不再具有混沌特性,藍(lán)色分叉圖在區(qū)間b=[11,12]出現(xiàn)類周期現(xiàn)象,具有4個(gè)類周期窗口,且在第三個(gè)類周期窗口出現(xiàn)分叉斷層(圖5(b)黑色橢圓區(qū)域),因此判斷分叉斷層區(qū)可能會(huì)對(duì)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生影響,為此本文從該區(qū)域的Lyapunov指數(shù)譜圖6(a)和最大Lyapunov指數(shù)圖6(b)進(jìn)行探究。

圖6 Lyapunov指數(shù)。(a)Lyapunov指數(shù)譜;(b)最大Lyapunov指數(shù)Fig.6 Lyapunov index.(a)Lyapunov index spectrum;(b)Maximum Lyapunov index

設(shè)定參數(shù)b的范圍為 [10.5,11.5],步長為0.05,從圖6(a)的Lyapunov指數(shù)譜可以看出在參數(shù)b=11,正的Lyapunov出現(xiàn)急劇下降,且在b=11.34左右達(dá)到最低點(diǎn),此時(shí)Lyapunov=0.2663。為了更好地體現(xiàn)分叉斷層區(qū)Lyapunov指數(shù)的變化狀況,采用奇異值分解法來求解該區(qū)域系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù),如圖6(b)可以反映出參數(shù)b=11時(shí),系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)急劇下降的現(xiàn)象更加明顯,且持續(xù)時(shí)間較長,與參數(shù)在b=[5,6]時(shí)的混沌類周期窗口相似,由于此區(qū)域還有別的類周期窗口,混沌軌道不會(huì)出現(xiàn)周期性變換,更不會(huì)出現(xiàn)相近軌道最終會(huì)靠攏合并為一點(diǎn),但是此時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)減小,混沌特性不夠明顯,混沌程度也會(huì)減小。因此可以得出一個(gè)結(jié)論:當(dāng)混沌系統(tǒng)出現(xiàn)單一分叉斷層時(shí),多層分叉或者類周期窗口可以保證系統(tǒng)的混沌特性。

1.4 混沌圖和復(fù)雜度分析

由于該憶阻混沌系統(tǒng)存在分叉斷層行為,且最大Lyapunov指數(shù)急劇下降,那么找出該系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)范圍顯得尤為重要。采用雙參數(shù)影響下的混沌圖和復(fù)雜度分析相結(jié)合的方法來選取混沌系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)范圍。混沌圖是在參數(shù)空間中反映混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的一種綜合方法,系統(tǒng)的參數(shù)應(yīng)該選擇在復(fù)雜度較高的區(qū)域;測量復(fù)雜度的方法有頻譜熵(SE)、C0熵和排列熵(PE)[21-23]。其中,PE算法是準(zhǔn)確、快速估計(jì)數(shù)值序列的正確選擇。因此,采用排列熵(PE)算法分析了在b參數(shù)范圍下混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性,PE值越大,時(shí)間序列越復(fù)雜。

從圖7(a)雙參數(shù)影響下的混沌圖可知:系統(tǒng)參數(shù)b∈(7.5,11)、a∈(0.4,1.1)區(qū)間的混沌信號(hào)的復(fù)雜度幾乎接近1,基本符合參數(shù)b范圍下的混沌復(fù)雜度分析,系統(tǒng)參數(shù)在此范圍下可以達(dá)到最優(yōu),此時(shí),混沌信號(hào)的隨機(jī)性更強(qiáng),更適用于安全通訊領(lǐng)域。

圖7 最優(yōu)憶阻混沌系統(tǒng)參數(shù)。(a)混沌圖;(b)PE復(fù)雜度分析Fig.7 Parameters of optimal memory chaotic system.(a)Chaotic diagram;(b)PE complexity analysis

1.5 最優(yōu)參數(shù)范圍下的多穩(wěn)態(tài)共存分析

多穩(wěn)態(tài)是指系統(tǒng)擁有的不同穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài),且會(huì)隨著時(shí)間在兩個(gè)或幾個(gè)互斥的狀態(tài)之間切換,在混沌系統(tǒng)中有大量不同軌跡共存的特殊形式,多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)很容易受初始條件的影響。表1提供了不同初始狀態(tài)下系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)共存的參數(shù)。

在最優(yōu)參數(shù)范圍下系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象,給定系統(tǒng)(1)的參數(shù),分別設(shè)定系統(tǒng)的初始狀態(tài),時(shí)間為5 s,如圖8(a)顯示:初始狀態(tài)(u1,v1,w1)為藍(lán)色軌道,(u'1,v'1,w'1)為紅色軌道,此時(shí)混沌的吸引域形成,且系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象。設(shè)置時(shí)間為15 s,如圖8(b)顯示:初始狀態(tài)(u1,v1,w1)為紅色軌道,(u'1,v'1,w'1)為藍(lán)色軌道,此時(shí)兩個(gè)雙渦卷憶阻混沌系統(tǒng)軌道會(huì)出現(xiàn)指數(shù)級(jí)分離,紅色軌道主要聚集在左渦卷區(qū)域,藍(lán)色軌道在左右渦卷吸引域產(chǎn)生聚集,系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象更加顯著。

圖8 v-w平面的多穩(wěn)態(tài)共存。(a)t=5 s;(b)t=15 sFig.8 Coexistence of multiple steady states in v-w plane.(a)t=5 s;(b)t=15 s

從上述系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象可以反映出,系統(tǒng)在最優(yōu)參數(shù)范圍控制下,隨著迭代次數(shù)的增加,系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象也更加明顯,表明在最優(yōu)參數(shù)范圍控制下,該憶阻混沌系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

表1 多穩(wěn)態(tài)共存參數(shù)Tab.1 Multi-steady-state coexistence parameters

2 基于Multisim的憶阻混沌電路實(shí)現(xiàn)

Multisim提煉了SPICE仿真的復(fù)雜內(nèi)容,并對(duì)電路進(jìn)行捕獲、仿真和分析新的設(shè)計(jì),通過Multisim和虛擬儀器技術(shù),可以完成從理論到原理圖捕獲與仿真,再到原型設(shè)計(jì)和測試這樣一個(gè)完整的綜合設(shè)計(jì)流程。除此之外,虛擬的模擬元器件容易受到環(huán)境的溫度、濕度以及元件器老化等條件的約束,Multisim具有豐富的元器件來提供電路的配置。由于文中的憶阻器中含有開方運(yùn)算,因此要采用改進(jìn)的電路模塊化設(shè)計(jì)方案[24],使用Multisim14.0版本搭建憶阻混沌系統(tǒng)的電路。

圖9 磁控二氧化鈦憶阻混沌電路原理圖Fig.9 Schematic diagram of a new double vortex memristor chaotic circuit

其狀態(tài)方程為:

在圖9中,R1,R2的電阻值為66.67 kΩ,R3,R4,R5,R6,R8,R9的電阻值為100 kΩ,R7的電阻值為32 kΩ,C1=C2=C3=1μF,電源元器件V1=-1 V,對(duì)于含有憶阻器模塊,元器件R10=16 kΩ,C4=10μF,C5=10 nF,R11=10 kΩ,電路中采用模擬乘法器Multiplier,運(yùn)算放大器采用TL082CD,電源電壓為±15 V,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中非線性乘積項(xiàng)的乘法運(yùn)算。藍(lán)色框采用雙乘法器模擬v2v2中的雙乘法運(yùn)算,黑色橢圓區(qū)域采用負(fù)電壓反向控制模擬常數(shù)項(xiàng),綠線框內(nèi)為構(gòu)造的磁控二氧化鈦憶阻器。圖10為系統(tǒng)(1)的電路仿真結(jié)果。示波器顯示的仿真結(jié)果與數(shù)值仿真的結(jié)果一致,驗(yàn)證了該憶阻混沌系統(tǒng)在物理上實(shí)現(xiàn)的可能性。

3 結(jié)論

由于憶阻器尺寸較小、能耗低,在混沌電路中有著較高的應(yīng)用價(jià)值,本文將磁控二氧化鈦憶阻器作為混沌系統(tǒng)的非線性項(xiàng),提出了一種基于磁控二氧化鈦的新型雙渦卷憶阻混沌系統(tǒng),詳細(xì)地分析了系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,設(shè)計(jì)了該憶阻混沌系統(tǒng)的模擬電路,并進(jìn)行了仿真,得出如下結(jié)論:

(1)該憶阻混沌系統(tǒng)出現(xiàn)分叉斷層現(xiàn)象或者類周期性窗口時(shí),系統(tǒng)的雙分叉可以保證系統(tǒng)的混沌特性,但是此時(shí)的Lyapunov指數(shù)會(huì)急劇減小,系統(tǒng)的混沌特性會(huì)降低。

(2)采用雙參數(shù)影響下的混沌圖和復(fù)雜度分析結(jié)合的方法,可以得到分叉斷層區(qū)間系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)。

(3)在最優(yōu)參數(shù)范圍下的憶阻混沌系統(tǒng),系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象顯著,具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

圖10 示波器顯示系統(tǒng)(1)的相圖。(a)u-v平面;(b)u-w平面;(c)v-w平面Fig.10 Phase diagram of oscilloscope display system.(a)u-v plane;(b)u-w plane;(c)v-w plane