圓錐曲線中一類定直線問題的再推廣*

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鞠火旺

廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆偉

本刊于2019年11月上半月刊發(fā)了福建漳州教科院張兵源老師的《一道解析幾何聯(lián)考題的解析及推廣》,該文對(duì)2019年湖北八校高三第一次聯(lián)考解析幾何題進(jìn)行了推廣,共得到了3 個(gè)結(jié)論,分別是關(guān)于橢圓、雙曲線和拋物線的,其中關(guān)于橢圓的結(jié)論如下:

圖1

上述結(jié)論反映了圓錐曲線中焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)關(guān)系,結(jié)果非常優(yōu)美,且在高考及模擬考試題中經(jīng)常出現(xiàn).但仔細(xì)觀察推廣后的結(jié)論,不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然局限于橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,那么對(duì)于橢圓長軸上不與左、右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)F(δ,0)以及定點(diǎn)H(m,0),按照結(jié)論I 的方式作圖,得到的交點(diǎn)T 又具有怎樣的性質(zhì)呢?如圖1所示,我們借助Ti-Nspire 圖形計(jì)算器,發(fā)現(xiàn)并輔助完成了如下結(jié)論Ⅱ的證明.

⑥式即為交點(diǎn)T 的普通方程,其圖像如圖2,圖3所示.

圖2

圖3

圖4

圖6

圖7

至此,該問題在橢圓中得到了完美的拓展,經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)論,本文不再贅述.