基于蒙特卡洛仿真的MEMS陀螺儀可靠度分析

許高斌, 徐禮建, 余 智, 馬淵明, 陳 興

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院,安徽 合肥 230601; 2.安徽省微電子機(jī)械系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,安徽 合肥 230601)

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System,MEMS)是一種新興技術(shù),具有廣泛的應(yīng)用前景[1-3]。MEMS陀螺儀是一種典型的MEMS器件,由于其本身的局限性和工藝加工水平限制,其精度一直較低,這大大限制了其應(yīng)用范圍。隨著高新技術(shù)的發(fā)展,對(duì)MEMS陀螺儀的質(zhì)量和可靠性的要求也越來(lái)越高,因此開(kāi)展其可靠性研究,提升穩(wěn)定性具有十分重要的意義。

目前,對(duì)MEMS器件可靠性的研究已有一些成果。文獻(xiàn)[4]通過(guò)對(duì)某MEMS陀螺儀進(jìn)行多次重復(fù)性高低溫實(shí)驗(yàn),得出驅(qū)動(dòng)軸的諧振頻率與溫度之間存在嚴(yán)格的線性規(guī)律,但是未直接給出具體的可靠度值;文獻(xiàn)[5]利用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型建立了微梁在外載荷下的黏附可靠度模型；文獻(xiàn)[6]利用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型建立了微梁在沖擊作用下的黏附可靠度預(yù)測(cè)模型,但直接用這些模型計(jì)算難度大,計(jì)算復(fù)雜。

蒙特卡洛法是目前計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的常用方法之一,相比于其他計(jì)算可靠度的方法,該方法計(jì)算的收斂速度與隨機(jī)變量的維數(shù)無(wú)關(guān),無(wú)需將極限狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化,而且數(shù)值模擬的誤差也容易確定,因此常用來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率[7]。

本文以靜電梳齒驅(qū)動(dòng)MEMS陀螺儀為研究對(duì)象,建立了頻率匹配失效以及微懸臂梁黏附失效的數(shù)學(xué)模型,采用蒙特卡洛仿真的方法對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了仿真分析,并確定了影響可靠度的主要隨機(jī)變量,可為MEMS陀螺儀的可靠性設(shè)計(jì)提供參考。

1 MEMS陀螺儀的工作原理

靜電梳齒驅(qū)動(dòng)MEMS微陀螺儀屬于電容式微慣性傳感器,本文研究的一種典型結(jié)構(gòu)的MEMS陀螺儀如圖1所示[8],帶有梳狀電極的平板框架分別與4個(gè)L型外梁和4個(gè)L型內(nèi)梁相連,外梁連接到其固定端(錨點(diǎn))上,并被支撐在基底上方,內(nèi)梁連接到質(zhì)量塊上,使其相對(duì)基底懸空。

工作時(shí),當(dāng)在x方向有靜電力驅(qū)動(dòng)時(shí),若y方向施加一個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度,則由于科氏力的作用，質(zhì)量塊在z方向會(huì)上下振動(dòng),進(jìn)而引起質(zhì)量塊與基底之間的電容變化。

圖1 梳齒驅(qū)動(dòng)電容式MEMS陀螺儀典型結(jié)構(gòu)示意圖

振動(dòng)式MEMS陀螺儀的結(jié)構(gòu)雖然各不相同,但都可以等效成一個(gè)簡(jiǎn)化模型,如圖2所示,模型包含驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)2個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)。圖2中:F為驅(qū)動(dòng)力;Dx、Dz分別為質(zhì)量塊沿x、z方向的阻尼系數(shù);kx、kz分別為支承構(gòu)件在x、z方向的剛度系數(shù);Ω為旋轉(zhuǎn)角速度。

圖2 振動(dòng)式MEMS陀螺儀的簡(jiǎn)化模型

當(dāng)陀螺儀工作時(shí),質(zhì)量塊在周期性靜電力作用下沿x驅(qū)動(dòng)方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),此時(shí)若y方向有角速度Ω輸入,則由于哥氏效應(yīng),質(zhì)量塊會(huì)在z方向上振動(dòng),根據(jù)z方向的位移變化大小即可解出y方向上的Ω值,此時(shí)MEMS陀螺儀的動(dòng)力學(xué)方程[9]為:

(1)

(2)

其中:Fx=Fdsin(ωt),Fd為驅(qū)動(dòng)方向驅(qū)動(dòng)力的幅值,ω為驅(qū)動(dòng)力的角頻率;mx、mz分別為MEMS陀螺儀在x、z方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效質(zhì)量。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率等于驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率時(shí),解上述2個(gè)方程可得到質(zhì)量塊在z方向運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解為:

(3)

(4)

其中:ωx、ωz分別為驅(qū)動(dòng)模態(tài)固有頻率、檢測(cè)模態(tài)固有頻率;φz為相位。

根據(jù)MEMS陀螺儀靈敏度的定義[10]可得靈敏度S為:

(5)

2 MEMS陀螺儀失效建模

2.1 頻率匹配失效建模

靈敏度一直是MEMS陀螺儀重要的性能參數(shù)之一。由(5)式可知,當(dāng)ωz接近ωx時(shí),靈敏度增大；當(dāng)ωx=ωz時(shí),靈敏度達(dá)到最大。因此,要獲得較高的靈敏度,就應(yīng)使ωx和ωz盡可能接近或相等。根據(jù)文獻(xiàn)[11]的研究,當(dāng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的頻率相差為10 Hz 時(shí),檢測(cè)模態(tài)的位移幅值最大,隨著2種模態(tài)頻率差增大,檢測(cè)模態(tài)的位移幅值會(huì)逐漸減小,由此可知驅(qū)動(dòng)模態(tài)和敏感檢測(cè)模態(tài)的固有頻率相匹配可提高M(jìn)EMS陀螺儀的靈敏度?？紤]到靜電負(fù)剛度以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可靠性,MEMS陀螺儀頻率匹配失效的數(shù)學(xué)模型為:

(6)

其中:G1為頻率匹配失效函數(shù);fx為驅(qū)動(dòng)模態(tài)的固有頻率;fz為檢測(cè)模態(tài)的固有頻率。

當(dāng)00.1時(shí),頻率匹配不滿(mǎn)足要求,會(huì)發(fā)生頻率匹配失效;當(dāng)G1=0時(shí),頻率匹配處于失效的臨界狀態(tài)。

對(duì)于驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的固有頻率,可以由Rayleigh能量法來(lái)確定[12],即

(7)

其中:ki為支撐結(jié)構(gòu)沿著i方向的等效彈性系數(shù);meff為支撐結(jié)構(gòu)在i方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效質(zhì)量。由(7)式可知,各模態(tài)的諧振頻率主要取決于傳感器彈性梁在各個(gè)方向的彈性系數(shù)以及對(duì)應(yīng)的等效質(zhì)量。

MEMS陀螺儀支撐梁的L型梁結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。

圖3 L型梁結(jié)構(gòu)示意圖

L型梁在x、z方向的彈性系數(shù)計(jì)算公式[8]為:

(8)

(9)

其中:E為材料的楊氏模量;ν為材料的泊松比;ho、lbo、lao分別為L(zhǎng)型外梁的厚度、長(zhǎng)梁長(zhǎng)度及短梁長(zhǎng)度;wao、wbo分別為L(zhǎng)型外梁短梁和長(zhǎng)梁的寬度,且wao=wbo=wo,wo為外梁的寬度;hi、lai、lbi分別為L(zhǎng)型內(nèi)梁的厚度、短梁與長(zhǎng)梁的長(zhǎng)度;wai、wbi分別為L(zhǎng)型內(nèi)梁短梁與長(zhǎng)梁的寬度,且wai=wbi=wi,wi為內(nèi)梁的寬度。

2.2 沖擊作用下黏附失效建模

懸臂梁是MEMS陀螺儀中常見(jiàn)的典型結(jié)構(gòu),可作為支撐結(jié)構(gòu)起到彈簧的作用,也可作為梳齒結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)質(zhì)量塊。在高g值測(cè)量過(guò)程中懸臂梁末端會(huì)發(fā)生較大的位移,可能與基底發(fā)生黏附,導(dǎo)致整個(gè)器件的失效。微懸臂梁在沖擊加速力作用下的等效變形圖如圖4所示。圖4中:L為懸臂梁的長(zhǎng)度;s=L-d,d為懸臂梁與襯底的黏附長(zhǎng)度,s為分離長(zhǎng)度;H為懸臂梁與襯底間的初始間隙;h為梁的厚度。

圖4 懸臂梁的等效變形圖

高g值加速力可以等效為梁受到均勻分布的載荷q[5],即

q=-whaρ

(10)

其中:a為加速度;ρ為材料的密度;w為梁的寬度。由材料力學(xué)知識(shí)可知,懸臂梁在q作用下d的計(jì)算公式為:

(L-d)2[(L-d)2-4L(L-d)+6L2]=

2EHh2/(aρ)

(11)

由彈性力學(xué)知識(shí)可以得到梁的彈性應(yīng)變能U為:

(12)

微懸臂梁在沖擊作用下有可能與基底接觸,接觸時(shí)由于表面黏附能會(huì)產(chǎn)生吸引作用[5]。根據(jù)表面黏附能與U的大小關(guān)系,可以得到黏附失效的數(shù)學(xué)模型為:

G2=U-γswd

(13)

其中:G2為黏附失效函數(shù);γs為單位面積黏附能。當(dāng)G2>0時(shí),微懸臂梁能承受相應(yīng)沖擊,不會(huì)發(fā)生黏附失效;當(dāng)G2<0時(shí),微懸臂梁不能承受相應(yīng)沖擊作用,會(huì)發(fā)生黏附失效;當(dāng)G2=0時(shí),微懸臂梁處于黏附失效臨界狀態(tài)。

3 可靠度仿真

3.1 基于蒙特卡洛仿真的可靠度原理

本文采用蒙特卡洛法對(duì)MEMS陀螺儀可靠度進(jìn)行預(yù)計(jì),計(jì)算流程如圖5所示。首先根據(jù)MEMS陀螺儀的頻率匹配要求和梁在沖擊條件下的黏附情況建立2個(gè)失效函數(shù),然后確定失效函數(shù)中的隨機(jī)變量以及概率分布,根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布生成失效函數(shù)值的樣本值,根據(jù)失效判據(jù)統(tǒng)計(jì)MEMS陀螺儀未失效的仿真結(jié)果次數(shù),以此來(lái)計(jì)算可靠度P,計(jì)算公式為:

P=n/N

(14)

其中:n為蒙特卡洛仿真中對(duì)應(yīng)的失效函數(shù)Gi未失效的次數(shù),i=1,2;N為蒙特卡洛仿真的隨機(jī)模擬總次數(shù)。

圖5 基于蒙特卡洛仿真的MEMS陀螺儀可靠度計(jì)算流程圖

MEMS產(chǎn)品常由于加工工藝的原因,不可避免地會(huì)產(chǎn)生誤差,設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)往往與設(shè)計(jì)要求尺寸有所差異,當(dāng)MEMS產(chǎn)品受高溫、沖擊等環(huán)境作用影響時(shí),這種差異不僅會(huì)影響器件的性能,也會(huì)降低器件的可靠性[13]。為了準(zhǔn)確評(píng)價(jià)MEMS微陀螺儀的可靠度,需要將這些不確定因素考慮在內(nèi),計(jì)算其在不同環(huán)境作用下的可靠度。

MEMS陀螺儀可靠度蒙特卡洛仿真的關(guān)鍵內(nèi)容之一就是確定隨機(jī)變量的概率分布類(lèi)型及其概率分布。根據(jù)本文建立的失效函數(shù),分析可得涉及的隨機(jī)變量包括MEMS陀螺儀的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料參數(shù)及黏附能參數(shù)。MEMS中的微結(jié)構(gòu)受工藝、環(huán)境影響,結(jié)構(gòu)尺寸是隨機(jī)的,假設(shè)其滿(mǎn)足正態(tài)分布。黏附能也是一個(gè)隨機(jī)分布值[14],假設(shè)其滿(mǎn)足正態(tài)分布。

3.2 頻率匹配的蒙特卡洛仿真

本文頻率匹配蒙特卡洛仿真涉及的參數(shù)ν為常數(shù),其均值為0.27;其余參數(shù)的分布類(lèi)型均為正態(tài)分布,其均值與標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表1所列。

表1 頻率匹配失效部分隨機(jī)變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差

利用(6)式對(duì)MEMS陀螺儀進(jìn)行可靠度分析,參數(shù)之間可能具有一定的相關(guān)性,目前因?yàn)閷?duì)于參數(shù)之間的關(guān)系認(rèn)知不足,所以本文假設(shè)參數(shù)間彼此相互獨(dú)立。利用Matlab仿真軟件,采用蒙特卡洛法進(jìn)行105次隨機(jī)模擬仿真,結(jié)果分布統(tǒng)計(jì)頻率直方圖如圖6所示。

由圖6可知,模擬仿真落在-0.10～0.10區(qū)間的個(gè)數(shù)即為滿(mǎn)足頻率匹配要求的情況。利用Matlab軟件統(tǒng)計(jì)符合要求的次數(shù),根據(jù)(14)式,可得在298.15 K下MEMS陀螺儀頻率匹配失效的可靠度為0.878 4。

圖6 MEMS陀螺儀頻率匹配失效仿真分布頻率直方圖

MEMS陀螺儀在實(shí)際中經(jīng)常工作在不同溫度環(huán)境下,考慮溫度對(duì)MEMS器件可靠性的影響具有重要的意義。硅材料的線性熱膨脹系數(shù)[15]為α=2.6×10-6/K,E隨溫度變化的表達(dá)式[16]為:

(15)

其中:E(0)為0 K下的楊氏模量,取131.28 GPa;θD為Debye溫度,取647 K。根據(jù)(15)式作出E隨溫度變化圖,如圖7所示。

圖7 E隨溫度的變化

考慮溫度對(duì)MEMS陀螺儀的影響,經(jīng)蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)后可以得到P與溫度之間的關(guān)系如圖8所示。從圖8可以看出,溫度對(duì)P的影響很小,在不同溫度下P基本保持不變。因?yàn)闇囟葘?duì)MEMS陀螺儀的影響呈負(fù)相關(guān),溫度升高,驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率與檢測(cè)模態(tài)頻率都會(huì)減小,但模態(tài)頻率的差值基本保持不變,所以最終得出的P基本保持不變。

圖8 不同溫度下MEMS陀螺儀頻率匹配失效可靠度

3.3 黏附失效的蒙特卡洛仿真

為了與文獻(xiàn)[5]中微懸臂梁的可靠度作比較,仿真中采用的懸臂梁參數(shù)與文獻(xiàn)[5]相同。黏附失效隨機(jī)變量的分布類(lèi)型、均值及標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表2所列。

利用(13)式對(duì)MEMS陀螺儀進(jìn)行可靠度分析,可得結(jié)果分布統(tǒng)計(jì)頻率直方圖如圖9所示。

表2 黏附失效隨機(jī)變量的分布類(lèi)型、均值及標(biāo)準(zhǔn)差

圖9 微懸臂梁黏附失效仿真分布頻率直方圖

由圖9可知,模擬仿真落在大于0區(qū)間的個(gè)數(shù)即為滿(mǎn)足未黏附要求的情況,根據(jù)(14)式,可得到微懸臂梁在42%濕度下黏附失效的可靠度為0.795 1,該結(jié)果與文獻(xiàn)[5]采用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型法得出的可靠度0.785 2比較吻合。

懸臂梁的γs受外界環(huán)境濕度的影響很大[14],根據(jù)相關(guān)實(shí)驗(yàn)分析,可以得到γs與濕度之間的關(guān)系如圖10所示。從圖10可以看出,隨著濕度增加,γs逐漸增加。

圖10 懸臂梁γs與濕度之間的關(guān)系

考慮濕度對(duì)微懸臂梁在沖擊作用下黏附失效的影響,通過(guò)蒙特卡洛仿真,可以得到可靠度P與濕度之間的關(guān)系如圖11所示。

圖11 微懸臂梁黏附失效可靠度與濕度之間的關(guān)系

從圖11可以看出,濕度對(duì)P的影響呈負(fù)相關(guān),濕度越大,P越低,當(dāng)濕度大于70%時(shí),P基本為0,這與文獻(xiàn)[5]采用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型得出的P與濕度之間的關(guān)系具有很好的一致性。采用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型計(jì)算P時(shí)計(jì)算難度大,而利用蒙特卡洛法計(jì)算P時(shí)方法簡(jiǎn)單,更容易理解。

4 參數(shù)敏感性分析

為了確定參數(shù)變化對(duì)可靠度P的影響,將各隨機(jī)變量值分別逐漸由-20%增加到20%,參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差保持不變,分析P的變化情況,頻率匹配失效隨機(jī)變量的變化對(duì)P的影響如圖12所示。

由圖12可知,對(duì)于MEMS陀螺儀的頻率匹配失效,參數(shù)變化對(duì)P的影響很不同。其中,wo、lbo、hi及l(fā)bi對(duì)P的影響很大,當(dāng)它們的值相對(duì)初始值變化±15%時(shí),P已基本為0;當(dāng)wi、ho的值相對(duì)初始值變化±20%時(shí),P已不及原先的1/2;而lao、lai變化對(duì)P的影響很小,P基本保持不變。因此,在頻率匹配過(guò)程中,要特別注意wo、ho、lbo、hi、wi及l(fā)bi變化值對(duì)整體匹配的影響。

圖12 頻率匹配失效隨機(jī)變量的變化對(duì)可靠度的影響

對(duì)于微懸臂梁的黏附失效,參數(shù)的改變對(duì)給定沖擊加速度a下微懸臂梁的分離長(zhǎng)度s有較大影響,在參數(shù)敏感性分析中不可忽略s的變化。微懸臂梁的參數(shù)變化對(duì)于黏附失效可靠度P的影響如圖13所示。由圖13可知,γs對(duì)P的影響呈負(fù)相關(guān),l、h對(duì)P的影響巨大,而w對(duì)P的影響微乎其微。當(dāng)l值相對(duì)初始值變化+5%時(shí),P即為0;h對(duì)P的影響卻是正相關(guān)的,當(dāng)h值相對(duì)初始值變化+5%時(shí),P即為100。因此,增大h、減小l,降低材料γs,都可提高微懸臂梁黏附失效可靠度。

圖13 黏附失效隨機(jī)變量的變化對(duì)可靠度的影響

5 結(jié) 論

本文根據(jù)MEMS陀螺儀的工作原理,從靈敏度的角度提出頻率匹配失效數(shù)學(xué)模型；針對(duì)MEMS陀螺儀中典型結(jié)構(gòu)微懸臂梁,建立了在沖擊作用下的微懸臂梁黏附失效數(shù)學(xué)模型。采用蒙特卡洛仿真法,利用Matlab軟件分別計(jì)算了相應(yīng)數(shù)學(xué)模型下的可靠度,頻率匹配失效的可靠度為0.878 4,黏附失效的可靠度為0.795 1,其中溫度對(duì)MEMS陀螺儀頻率匹配失效的影響較小,濕度對(duì)微懸臂梁黏附失效的影響呈負(fù)相關(guān)。分別對(duì)2個(gè)數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)值變化與對(duì)應(yīng)可靠度之間的關(guān)系進(jìn)行敏感性分析,結(jié)果表明,L型內(nèi)外梁的寬度、厚度、長(zhǎng)梁長(zhǎng)度等參數(shù)變化對(duì)頻率匹配的影響巨大,而增加微懸臂梁的厚度、減小長(zhǎng)度,降低材料單位面積的黏附能,都可提高微懸臂梁黏附失效可靠度。本文研究結(jié)果對(duì)MEMS陀螺儀的研制和工程應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值,可為有關(guān)的可靠性設(shè)計(jì)分析提供參考。