借助“幾何畫板” 突破函數(shù)難點(diǎn)

豆向東

根據(jù)“幾何畫板”制作的數(shù)學(xué)課件，可以動(dòng)態(tài)演示畫函數(shù)圖像的過程，用函數(shù)值隨自變量的變化而變化的過程，可以讓抽象的函數(shù)變得直觀形象，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。本文就反比例函數(shù)和二次函數(shù)的部分難點(diǎn)，探討“幾何畫板”在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、利用“幾何畫板”輔助畫函數(shù)圖像

1.直觀感受反比例函數(shù)的圖像

課前準(zhǔn)備：教師在“幾何畫板”中繪制函數(shù)y=[1x]的圖像，分別在一、三象限的分支上取點(diǎn)P、Q，追蹤點(diǎn)P、Q并生成動(dòng)畫，隱藏函數(shù)y=[1x]的圖像。

部分學(xué)生在初次接觸反比例函數(shù)圖像描點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槭苷壤瘮?shù)的圖像是一條直線的定式影響，在描點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)描出的點(diǎn)不在同一直線上而懷疑自己的做法是否正確;還有一部分學(xué)生會(huì)想是不是和原點(diǎn)連線呢？這部分學(xué)生可能和原點(diǎn)連接起來畫成放射狀的圖像，也有些學(xué)生會(huì)對(duì)這一做法提出異議：反比例函數(shù)[y=kx（k≠0）]中[x]、[y]的值不為0，圖像應(yīng)該沒有（0，0）這一點(diǎn)。那么反比例函數(shù)的圖像到底是什么樣的呢？這時(shí)，教師打開課前制作的“幾何畫板”課件，先后生成點(diǎn)P、Q的動(dòng)畫，用光滑的曲線繪制出反比例函數(shù)的圖像，排除學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)的圖像是一條“雙曲線”。為了讓學(xué)生更清楚地觀察雙曲線無限靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，可以進(jìn)一步把圖形局部放大。

2.數(shù)形結(jié)合理解二次函數(shù)圖像

學(xué)習(xí)“二次函數(shù)y=ax2的圖像”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平方的含義得出“二次函數(shù)y=ax2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值0”的結(jié)論，接著提出問題：二次函數(shù)y=ax2的圖像是不是有最低點(diǎn)（0，0）呢？此時(shí)，學(xué)生用懷疑的眼光看著教師，想進(jìn)一步探究的興趣也因此調(diào)動(dòng)起來。教師趁熱打鐵，讓學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線畫出二次函數(shù)y=ax2的大致圖像，用”幾何畫板”展示二次函數(shù)y=ax2的圖像，解除學(xué)生的疑惑，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的感性認(rèn)識(shí)。教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像的“最低點(diǎn)”及向兩邊延伸的走勢(shì)，讓學(xué)生知道圖像是一條光滑的曲線;提醒學(xué)生注意畫二次函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如“最低點(diǎn)”沒有畫對(duì)位置，圖像向兩邊延伸不規(guī)范，用直的折線連接描出的點(diǎn)等。

二、利用構(gòu)造出的函數(shù)圖像，探究函數(shù)的性質(zhì)

1.動(dòng)態(tài)的演示反比例函數(shù)的增減性

不少學(xué)生難以理解反比例函數(shù)的增減性，極易出現(xiàn)認(rèn)不清“在y=[1x]中，y隨[x]的增大而減小”的知識(shí)錯(cuò)誤。教師采用以下方法糾正學(xué)生的認(rèn)知偏差：（1）用”幾何畫板”畫出函數(shù)y=[1x]的圖像，在第一象限的分支上取一點(diǎn)P，并用”幾何畫板”度量點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，從左到右移動(dòng)點(diǎn)P，讓學(xué)生觀察點(diǎn)P的坐標(biāo)的變化，得出“在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小”的結(jié)論;再在第三象限的分支上取點(diǎn)Q，用同樣的方法得出類似的結(jié)論;（2）接著讓學(xué)生分析點(diǎn)P、Q的橫、縱坐標(biāo)，并思考“在y=[1x]中，y隨[x]的增大而減小”是否正確？經(jīng)過以上兩步的演示觀察，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的增減性有較為深刻的認(rèn)識(shí)。

2.探究二次函數(shù)y=ax2中a與拋物線的開口方向、開口大小的關(guān)系

按照常規(guī)方法，取a的不同值，畫出不同的拋物線，在分析觀察的基礎(chǔ)上得出結(jié)論。這樣做，一是需要不少時(shí)間，二是重復(fù)畫圖容易降低學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。用“幾何畫板”可以快速達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。課前教師準(zhǔn)備課件，用”幾何畫板”以a為參數(shù)畫二次函數(shù)y=ax2的圖像;課堂上，用拖動(dòng)或生成動(dòng)畫的方式從大到小改變a的值，快速畫出不同形狀的拋物線，學(xué)生邊觀察邊思考：（1）拋物線的開口方向與a的值有什么關(guān)系？（2）a=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2的圖像還是拋物線嗎？（3）拋物線的開口大小與a的值有什么關(guān)系？

3.探究二次函數(shù)的性質(zhì)

部分學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)y=[12x2-6x+21]的性質(zhì)感到迷茫。教師通過“幾何畫板”化靜為動(dòng)，能給學(xué)生帶來直觀上的感受，給學(xué)生以最直接的理性認(rèn)識(shí)，學(xué)生的疑惑可以在教師的動(dòng)態(tài)演示下得到解決。過程如下：在引導(dǎo)學(xué)生將y=[12x2-6x+21]化成y=[12]（x-6）2+3后出示課件（課件中提前用“幾何畫板”畫出y=[12]（x-6）2 +3的圖像，在其上任取一點(diǎn)P，并度量點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)），從左到右拖動(dòng)點(diǎn)P，在點(diǎn)P沿拋物線移動(dòng)的過程中，讓學(xué)生觀察點(diǎn)P坐標(biāo)的變化，可以發(fā)現(xiàn)：（1）圖像的最低點(diǎn)是（6，3），當(dāng)x=6時(shí)，y有最小值3;（2）在對(duì)稱軸左側(cè)即x<6時(shí)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)即x>6時(shí)，y隨x的增大而增大。

“幾何畫板”參與下的函數(shù)教學(xué)，使學(xué)生很容易看到各個(gè)變量之間的關(guān)系，使函數(shù)的圖像與性質(zhì)直觀化、形象化。教學(xué)中還可以讓有一定計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)的學(xué)生在教師做好的圖形上進(jìn)行探索，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。教師要正確把握演示的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生參與到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的探究中來，要在學(xué)生充分動(dòng)手與思考之后給予演示，否則學(xué)生會(huì)成為觀看“電影”的觀眾，缺少深入的思考，“幾何畫板”反而會(huì)剝奪學(xué)生動(dòng)手與思考的機(jī)會(huì)，這與教學(xué)目標(biāo)相悖。

（作者單位：襄陽市東津新區(qū)世紀(jì)城中學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏