巧析豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動

郭耀忠+苗芳

摘 要：提出了對圓周運(yùn)動中最高點和最低點的正確理解，再通過研究重力場中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動，提煉技巧，通過類比法，分析了如何在重力和勻強(qiáng)電場的復(fù)合場中巧妙地選取圓周運(yùn)動的最高點和最低點，以及最高點所對應(yīng)的臨界問題。

關(guān)鍵詞：豎直平面；圓周運(yùn)動；最高點；最低點；復(fù)合場；臨界

一、最高點、最低點的正確理解

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動所涉及的大多只有場力做功，那么勢能和動能之和就是個定值，所謂的最高點就是勢能最大的點，對應(yīng)動能和速度也就最小，而最低點就是勢能最小的點，對應(yīng)動能和速度也就最大，帶電球在重力場和勻強(qiáng)電場的復(fù)合場中除了具有重力勢能外，還有電勢能，在這種情景中的勢能應(yīng)是重力勢能與電勢能的總和，因此勢能最大，應(yīng)理解為重力勢能與電勢能的總和最大，而重力勢能并不一定最大，所以復(fù)合場中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的最高點、最低點不能簡單地理解成空間位置的最高點、最低點.

二、類比法巧析復(fù)合場中的圓周運(yùn)動

（一）重力場中豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動

例舉情景：小球在豎直放置半徑為r的光滑絕緣軌道內(nèi)作圓周運(yùn)動.過軌道的圓心做一條重力的作用線，與圓軌道交于兩點，沿重力的方向依次為最高點A和最低點B.對應(yīng)重力勢能的最高點和最低點.若恰能做完整圓周運(yùn)動則在最高點A滿足只受場力（此處僅為重力），由牛頓第二定律得：mg=m .解得這種臨界情況下的臨界速度v= ，即過最高點A的速度要大于或等于 方能作完整圓周運(yùn)動.

圖1

技巧沉淀：過豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動的軌道圓心，作一條球所受場力的作用線，與圓軌道交于兩點，沿場力方向依次為最高點和最低點，若恰能做完整圓周運(yùn)動，則在最高點滿足只受場力，由牛頓第二定律得：F場=m 。在重力場與勻強(qiáng)電場的復(fù)合場中的場力應(yīng)該理解為是重力和電場力的合場力.

（二）類比巧析重力場與勻強(qiáng)電場的復(fù)合場中豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動

例舉情景：質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球在豎直放置半徑為r的光滑絕緣軌道內(nèi)作圓周運(yùn)動.

1.加豎直直向上的勻強(qiáng)電場E

圖2 圖3

分析小球所受到的場力，有豎直方向的電場力和重力，合成得到合場力.若重力大于電場力，即mg>qE，則合場力方向豎直向下，F(xiàn)場=mg-qE；過軌道的圓心做一條F場的作用線，與圓軌道交于兩點，沿F場的方向依次為最高點A和最低點B。如圖2所示，若重力小于電場力，即mg

（三）技巧應(yīng)用——復(fù)合場中豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題例析

例舉情景：如圖6所示，一半徑為R的絕緣圓形軌道豎直放置，圓軌道最低點與一條水平軌道相連，軌道光滑，軌道所在空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E.從水平軌道的A點由靜止釋放一質(zhì)量為m帶正電荷q的小球，已知小球受到的電場力大小等于小球重力的 。為使小球剛好在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動，求（1）釋放點A距軌道最低點B的距離s；（2）小球在圓弧上運(yùn)動時的最大動能。

圖5

解：（1）設(shè)合場力F場與重力mg之間的夾角為θ，則tanθ= = ， 解得θ=37°，且F場= = mg①。

圖6

分析可得，圓周運(yùn)動的最高點為N點，小球剛好在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動，設(shè)在N點的速度為v，在N點由牛頓第二定律得： F場=m ②。

小球從A點到N點由動能定理得：

-mg（R+Rcosθ）+ mg×（s-Rsinθ）= mv2③。

由①②③可求出A、B之間的距離s= R.

（2）小球在M點的動能最大，設(shè)為Ek，由N至M點由動能定得：

F場·2R=Ek- mv2④。

由①②④可求解出Ek= mgR.

編輯 李博寧h