雙加權(quán)Lp 范數(shù)RPCA 模型及其在椒鹽去噪中的應(yīng)用

董惠雯，禹 晶，郭樂(lè)寧，肖創(chuàng)柏

（北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京100124）

引 言

主成分分析（Principle component analysis，PCA）模型可以分離觀測(cè)數(shù)據(jù)中低秩的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，但是對(duì)數(shù)據(jù)中大噪聲異常敏感。文獻(xiàn)［1-2］提出了魯棒主成分分析（Robust principal component analysis，RPCA）模型，旨在分離觀測(cè)數(shù)據(jù)中潛在的低秩結(jié)構(gòu)與稀疏結(jié)構(gòu)，對(duì)嚴(yán)重噪聲干擾的觀測(cè)數(shù)據(jù)具有魯棒性。RPCA 模型可以應(yīng)用于圖像中椒鹽噪聲的去除［3］、監(jiān)控視頻背景中的前景運(yùn)動(dòng)目標(biāo)分離［4-6］或者人物面部圖像陰影與遮擋物的去除［7］等。

RPCA 模型包含兩個(gè)子問(wèn)題——L0范數(shù)最小化問(wèn)題（稀疏恢復(fù)）與秩函數(shù)最小化問(wèn)題（低秩恢復(fù)）。RPCA 模型的求解是非確定性多項(xiàng)式（Nondeterministic polynominal，NP）難問(wèn)題，主成分追蹤（Principal component pursuit，PCP）模型［5］是RPCA 模型最緊的凸近似，當(dāng)秩或者稀疏程度超過(guò)閾值限制時(shí)，凸近似模型將無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)低秩解與稀疏解。為此，Candes 等［8］提出了加權(quán)L1范數(shù)方法，為較大的矩陣元素分配較小的權(quán)值，抑制L1范數(shù)的過(guò)收縮問(wèn)題，提升稀疏解的準(zhǔn)確性。Gu 等提出了加權(quán)核范數(shù)最小化模型（Weighted nuclear norm minimization，WNNM）［9］，以及基于WNNM 的RPCA 模型（WNNM-RPCA）［10］，該模型利用加權(quán)核范數(shù)對(duì)秩函數(shù)進(jìn)行松弛，考慮了不同秩成分的重要性，根據(jù)奇異值大小分配權(quán)值，控制對(duì)不同秩成分的懲罰，以保留更重要的秩成分，提升了低秩解的準(zhǔn)確性。Peng 等［11］提出了一種雙加權(quán)模型，同時(shí)對(duì)RPCA 模型中的稀疏項(xiàng)與低秩項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)，并結(jié)合重加權(quán)方法在迭代算法中分配權(quán)值。該模型能夠同時(shí)提升稀疏解與低秩解的準(zhǔn)確性。

L1范數(shù)是L0范數(shù)最緊的凸近似，非凸的Lp范數(shù)更接近L0范數(shù)的幾何形態(tài)，p 為區(qū)間(0，1)上的任意實(shí)數(shù)。Sp范數(shù)是矩陣奇異值的Lp范數(shù)，0 ＜p ＜1，與核范數(shù)相比，非凸的Sp范數(shù)更接近秩函數(shù)的幾何形態(tài)。由于這種廣義的范數(shù)模型并不嚴(yán)格符合范數(shù)的數(shù)學(xué)定義，因此也稱為偽范數(shù)或擬范數(shù)。Zhang等［12］通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，與核范數(shù)相比，非凸的Sp范數(shù)能夠更準(zhǔn)確地對(duì)數(shù)據(jù)的低秩性進(jìn)行建模。Xie 等提出了加權(quán)Sp范數(shù)最小化模型（Weighted Schatten p-norm，WSNM）［13］，利用加權(quán)Sp范數(shù)對(duì)秩函數(shù)進(jìn)行松弛，更準(zhǔn)確地抑制對(duì)較大奇異值的過(guò)度收縮。WSNM 模型使用L2范數(shù)建模數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，能夠較好地抑制圖像中的高斯噪聲，但是對(duì)較大的稀疏噪聲較為敏感。為此，基于WSNM 的RPCA 模型（WSNM-RPCA）［14］利用L1范數(shù)約束稀疏成分；Chen 等［15］提出了基于L1范數(shù)的WSNM 模型（WSNM based L1-norm，WSNM-L1），采用L1范數(shù)建模數(shù)據(jù)保真項(xiàng)。

本文提出一種雙加權(quán)Lp范數(shù)模型（Dual-weighted Lp-norm，DWLP），同時(shí)提升了矩陣秩估計(jì)和稀疏估計(jì)的準(zhǔn)確性。該算法結(jié)合加權(quán)算法與Lp范數(shù)，利用加權(quán)Sp范數(shù)低秩項(xiàng)和加權(quán)Lp范數(shù)稀疏項(xiàng)分別對(duì)RPCA 框架中的低秩恢復(fù)問(wèn)題和稀疏恢復(fù)問(wèn)題進(jìn)行建模，使其更接近秩函數(shù)最小化問(wèn)題和L0范數(shù)最小化問(wèn)題的解，有效抑制凸近似模型的過(guò)度收縮。結(jié)合圖像的非局部自相似性，通過(guò)構(gòu)建相似圖像塊組，將雙加權(quán)Lp范數(shù)模型應(yīng)用于椒鹽噪聲的去除中，估計(jì)低秩的圖像結(jié)構(gòu)與稀疏的椒鹽噪聲，從稀疏噪聲中分離低秩的圖像結(jié)構(gòu)，從而恢復(fù)或重建原始的無(wú)噪圖像。

1 RPCA 模型

RPCA 模型旨在利用數(shù)據(jù)矩陣的低秩性和誤差矩陣的稀疏性，從稀疏的誤差中恢復(fù)出本質(zhì)上低秩的數(shù)據(jù)矩陣。假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣為X ∈Rm×n，低秩矩陣為L(zhǎng) ∈Rm×n，稀疏矩陣為S ∈Rm×n，RPCA 模型定義為

式中：rank(L)為矩陣的秩函數(shù)，定義為矩陣中非0 奇異值的個(gè)數(shù)，約束矩陣的低秩性約束誤差數(shù)據(jù)的稀疏程度，這里借用L0范數(shù)描述矩陣的稀疏性；λ＞0 為正則化參數(shù)。

由于秩函數(shù)rank(L)與L0范數(shù)的求解是NP 難問(wèn)題，通常用核范數(shù)對(duì)rank(L)進(jìn)行凸松弛，用L1范數(shù)對(duì)L0范數(shù)進(jìn)行凸松弛，將RPCA 模型轉(zhuǎn)換為求解如下的凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)最小化L1范數(shù)與核范數(shù)的組合分解矩陣［1，2，5，16］，即

PCP 模型通過(guò)L1范數(shù)約束稀疏成分S 的稀疏性與低秩成分L 的低秩性，通常使用軟閾值算子近似求解L1范數(shù)最小化問(wèn)題［17］，使用奇異值軟閾值算子近似求解核范數(shù)最小化問(wèn)題［18］。凸近似模型容易導(dǎo)致過(guò)收縮問(wèn)題，影響解的準(zhǔn)確性。軟閾值算子以λ 為閾值，對(duì)每一個(gè)滿足|xi，j|＞λ 的元素懲罰相同的λ，當(dāng)|xi，j|小于閾值時(shí)，輸出的最優(yōu)解si，j=0。絕對(duì)值較大的矩陣元素在L1范數(shù)最小化問(wèn)題中會(huì)受到比L0范數(shù)更大的懲罰，導(dǎo)致過(guò)收縮問(wèn)題，影響稀疏解的準(zhǔn)確性。矩陣的秩函數(shù)等價(jià)于奇異值的L0范數(shù)，矩陣的核范數(shù)等價(jià)于奇異值的L1范數(shù)。核范數(shù)最小化問(wèn)題利用奇異值軟閾值算子求解，也會(huì)造成對(duì)矩陣中較大奇異值的過(guò)度收縮。矩陣的奇異值隱含著重要的成分信息，且重要性和奇異值大小正相關(guān)。奇異值的過(guò)度收縮會(huì)影響低秩矩陣的重建，降低低秩解的準(zhǔn)確性。

Gu 等［10］提出了基于WNNM 的RPCA 模型WNNM-RPCA，即

Xie 等［14］利用Sp范數(shù)代替核范數(shù)對(duì)秩函數(shù)進(jìn)行松弛，并結(jié)合加權(quán)方法，提出了基于WSNM 的RPCA 模型WSNM-RPCA，即

Peng 等［11］同時(shí)對(duì)RPCA 模型中的稀疏項(xiàng)與低秩項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)，提出了雙加權(quán)模型，即

2 雙加權(quán)Lp 范數(shù)RPCA 模型

為了解決凸近似模型對(duì)稀疏解與低秩解的過(guò)度收縮，現(xiàn)有的方法提出了多種改進(jìn)的RPCA 模型，對(duì)L0范數(shù)和秩函數(shù)rank(·)進(jìn)行松弛。本文提出了一個(gè)廣義的RPCA 框架——雙加權(quán)Lp范數(shù)RPCA模型DWLP，利用加權(quán)Lp范數(shù)和加權(quán)Sp范數(shù)［13］分別對(duì)RPCA 模型中的稀疏項(xiàng)和低秩項(xiàng)進(jìn)行建模。

2.1 模型的建立

在RPCA 框架下，DWLP 模型利用加權(quán)Lp范數(shù)最小化模型估計(jì)稀疏恢復(fù)問(wèn)題，利用WSNM 模型估計(jì)低秩恢復(fù)問(wèn)題。DWLP 模型定義如下

加權(quán)Lp范數(shù)通過(guò)為較大的矩陣元素分配較小的權(quán)值，控制對(duì)較大元素的懲罰力度，削弱元素值對(duì)矩陣稀疏性的影響，并采用非凸的Lp范數(shù)近似L0范數(shù)的幾何形態(tài)，能夠有效抑制過(guò)收縮問(wèn)題，更準(zhǔn)確地估計(jì)稀疏解。加權(quán)Sp范數(shù)根據(jù)奇異值大小分配權(quán)值，削弱對(duì)較大奇異值的懲罰，保護(hù)更重要的秩成分，并利用非凸的Sp范數(shù)近似秩函數(shù)的幾何形態(tài)，提高了低秩解的準(zhǔn)確性。因此，DWLP 模型利用加權(quán)方法與Lp范數(shù)約束目標(biāo)函數(shù)中的低秩成分與稀疏成分，有效抑制過(guò)收縮問(wèn)題，增強(qiáng)了稀疏矩陣S 的稀疏性與低秩矩陣L 的低秩性。

DWLP 模型可以看作是一種廣義的低秩-稀疏分解模型，目前用于近似RPCA 模型的PCP 模型［5］、WNNM-RPCA 模型［10］、WSNM-RPCA［14］模型和Peng 等提出的雙加權(quán)模型［11］均是DWLP 模型的特殊情況：

（1）當(dāng)式（6）中Ω 和S 權(quán)值ωi=wi=1 并且p=q=1 時(shí)，DWLP 模型退化為PCP 模型；

（2）當(dāng)式（6）中S 的權(quán)值wi=1 并且p=q=1 時(shí)，DWLP 模型退化為WNNM-RPCA 模型；

（3）當(dāng)式（6）中S 的權(quán)值wi=1 并且q=1 時(shí)，DWLP 模型退化為WSNM-RPCA 模型；

（4）Peng 等［11］提出的模型是DWLP 模型在p=q=1 時(shí)的特殊情況，本文將其簡(jiǎn)寫為DWLP（p=q=1）。

與僅處理低秩解過(guò)收縮的WNNM-RPCA 模型和WSNM-RPCA 模型，以及基于L1范數(shù)的雙加權(quán)模型相比，本文模型能夠更有效地抑制凸近似模型的過(guò)收縮問(wèn)題。

2.2 模型的求解

DWLP 是非凸問(wèn)題，無(wú)法直接求解。將式（6）寫為增廣拉格朗日形式為

本文利用交替方向乘子法（Alternating direction method of multipliers，ADMM）求解式（7）［21］，通過(guò)交替迭代的方式更新L、S、Z 和μ 為

式中k 為迭代次數(shù)。稀疏矩陣S 和低秩矩陣L 估計(jì)是兩個(gè)獨(dú)立子問(wèn)題，以下是具體求解過(guò)程。

（1）固定L 和Z，估計(jì)稀疏矩陣S 為

令Fk=X +Zk/μk-Lk，Φk=λsWk/μk，將式（9）寫為

式（11）是Lp范數(shù)最小化問(wèn)題，本文利用Chartrand 等提出的p-shrinkage 算子近似計(jì)算Lp范數(shù)最小化問(wèn)題的閉合解［22-23］為

（2）固定S 和Z，估計(jì)低秩矩陣L 為

令Tk=X +Zk/μk-Sk+1，Ψk=λlΩk/μk，將式（13）寫為

Tk的奇異值分解為Tk=UΣkVT，奇異值對(duì)角矩陣其中為的第 i 個(gè)奇異值。 低秩矩 陣的奇異值分解 為的第i 個(gè)奇異值為

本文仍利用p-shrinkage 算子近似計(jì)算式（15）中Lp范數(shù)最小化問(wèn)題，其閉合解為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文利用圖像的非局部自相似性構(gòu)建相似圖像塊組，將DWLP 模型應(yīng)用于椒鹽噪聲的去除，通過(guò)在不同椒鹽噪聲水平下的去噪實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文DWLP 模型的有效性。

3.1 DWLP 模型在椒鹽去噪中的應(yīng)用

椒鹽噪聲是一種常見(jiàn)的稀疏噪聲，主要源于電荷耦合器件的壞點(diǎn)或遠(yuǎn)距離傳輸?shù)拿}沖干擾。脈沖干擾通常比圖像信號(hào)的強(qiáng)度大，在圖像中脈沖噪聲總是數(shù)字化為最小值或最大值。基于雙加權(quán)Lp范數(shù)的椒鹽去噪算法主要包括以下3 個(gè)步驟：（1）利用預(yù)處理圖像匹配相似圖像塊，生成相似圖像塊組；（2）利用DWLP 模型對(duì)相似圖像塊組進(jìn)行低秩-稀疏分解；（3）聚合圖像塊，輸出去噪重建圖像。

首先，為減少椒鹽噪聲對(duì)相似塊匹配的干擾，采用中值濾波處理觀測(cè)圖像I ∈Rm×n，生成預(yù)處理圖像I′。在觀測(cè)圖像與預(yù)處理圖像中以c×c 為圖像塊尺寸，s 為步長(zhǎng)（即每相隔s 個(gè)像素抽取一個(gè)圖像塊），進(jìn)行圖像塊劃分。在預(yù)處理圖像中計(jì)算第i 個(gè)圖像塊與其他圖像塊間的歐氏距離，并在觀測(cè)圖像中取出歐氏距離最小的K 個(gè)圖像塊，經(jīng)過(guò)向量化表示，構(gòu)成相似圖像塊組Xi=表示第i 個(gè)圖像塊的第j 個(gè)相似圖像塊，其中j=1，2，…，K。

其次，將相似圖像塊組Xi作為DWLP 模型的輸入，利用2.2 節(jié)中的求解方法估計(jì)Xi中的低秩圖像成分與稀疏噪聲成分

3.2 定量與定性比較

本文實(shí)驗(yàn)在Set12、Kadak24 以及BSD200 等數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選取10 幅分辨率為256像素×256像素的灰度圖像作為測(cè)試圖像（圖1），并通過(guò)加入不同水平的椒鹽噪聲，生成有噪的觀測(cè)圖像。

圖1 測(cè)試圖像Fig.1 Test images

將本文模型與PCP 模型［5］、WNNM-RPCA 模型［10］、WSNM-RPCA 模型［14］、DWLP（p=q=1）模型［11］，以及WSNM-L1模型［15］進(jìn)行比較。同時(shí)采用峰值信噪比（Peak signal to noise ratio，PSNR）［24］和結(jié)構(gòu)相似度（Structural similarity index metric，SSIM）［25］作為客觀質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)。PSNR 值和SSIM 值越大，表示圖像失真度越小，去噪圖像質(zhì)量越好。

表1 定量比較了不同椒鹽噪聲概率P 情況下各種方法的去噪結(jié)果。在10%椒鹽噪聲概率的情況下，DWLP 模型的PSNR 值分別高出PCP、WNNM-RPCA、WSNM-RPCA、WSNM-L1和DWLP（p=q=1）約7.880、7.300、7.029、8.817 和0.269 dB；而在30%椒鹽噪聲概率的情況下，DWLP 模型的PSNR值 分 別高出PCP、WNNM-RPCA、WSNM-RPCA、WSNM-L1和DWLP（p=q=1）約3.833、3.847、3.667、4.869 和0.456 dB。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可得出結(jié)論：首先，強(qiáng)度較大的椒鹽噪聲破壞了稀疏先驗(yàn)與圖像低秩性，PCP 模型的復(fù)原性能較差；其次，DWLP 模型的PSNR 和SSIM 均高于其他模型的平均水平，表明使用加權(quán)Lp范數(shù)同時(shí)處理低秩成分與稀疏成分能夠更準(zhǔn)確地重建圖像的低秩結(jié)構(gòu)；最后，隨著噪聲水平的增加，當(dāng)椒鹽噪聲概率達(dá)到50%時(shí)，噪聲的稀疏性降低，DWLP 模型中p 和q 的取值接近于1，DWLP（p=q=1）與DWLP 的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)相當(dāng)。

表1 不同椒鹽噪聲概率情況下各種去噪方法的PSNR/SSIM 比較Table 1 Comparison of different denoising methods under different salt-and-pepper probabilities in terms of PSNR/SSIM

續(xù)表

圖2～4 為10%、30%與50%的椒鹽噪聲強(qiáng)度下各種方法在圖像Plants、House 和Monarch 上的去噪結(jié)果。圖2～4 中的（a）為真實(shí)無(wú)噪圖像，（b）為不同噪聲水平下的觀測(cè)圖像，（c～h）分別為PCP［5］、WNNM-RPCA［10］、WSNM-RPCA［14］、WSNM-L1［15］、DWLP（p=q=1）［11］和DWLP 模型的去噪圖像。圖中紅色框部分為綠色框部分的放大視圖。通過(guò)觀察圖2 中紅色框部分對(duì)植物枝葉的放大視圖，可以發(fā)現(xiàn)圖2（g）中的DWLP（p=q=1）和圖2（h）中的DWLP 能夠清晰地重建圖像中植物的枝葉部分，而其他算法均造成了一定程度的失真與模糊。DWLP 和DWLP（p=q=1）能夠同時(shí)提升對(duì)模型低秩項(xiàng)與稀疏項(xiàng)的估計(jì)，有助于更準(zhǔn)確地重構(gòu)圖像的低秩結(jié)構(gòu)。與DWLP（p=q=1）相比，DWLP 的去噪圖像不僅具有更高的PSNR 和SSIM 值，而且保留了更多的細(xì)節(jié)，對(duì)植物枝葉區(qū)域的復(fù)原情況更接近真值圖像。通過(guò)觀察圖3 中紅色框部分對(duì)窗口墻體的放大視圖，發(fā)現(xiàn)僅有DWLP 的去噪圖像能夠較為清晰地重建圖像中的窗欞結(jié)構(gòu)和磚墻紋理，而其他方法均產(chǎn)生了不同程度的模糊或者噪聲殘留。通過(guò)觀察圖4 中紅色框部分對(duì)翅膀紋理區(qū)域的放大視圖，可以發(fā)現(xiàn)高密度噪聲對(duì)觀測(cè)圖像中的紋理細(xì)節(jié)損毀嚴(yán)重，與其他去噪方法相比，本文算法能夠更好地保持蝴蝶翅紋的細(xì)節(jié)。

圖2 Plants 圖像去噪結(jié)果（10%椒鹽噪聲）Fig.2 Denoised results on image Plants (10% salt-and-pepper noise)

圖3 House 圖像去噪結(jié)果（30%椒鹽噪聲）Fig.3 Denoised results on image House (30% salt-and-pepper noise)

圖4 Monarch 圖像去噪結(jié)果（50%椒鹽噪聲）Fig.4 Denoised results on image Monarch (50% salt-and-pepper noise)

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法不僅具有較高的PSNR 和SSIM 值，而且具有更清晰的視覺(jué)效果，能夠有效地保持圖像細(xì)節(jié)，與PCP、WNNM-RPCA、WSNM-RPCA、WSNM-L1和DWLP（p=q=1）算法相比具有更好的去噪性能。

同時(shí)，本文模型也具有相對(duì)較低的時(shí)間復(fù)雜度。本文采用了具有閉合解的p-shrinkage 算子估計(jì)Lp范數(shù)最小化問(wèn)題的閉合解，與采用迭代方式估計(jì)數(shù)值解的WSNM-RPCA 與包含重加權(quán)運(yùn)算的DWLP（p=q=1）相比，減少了大量的迭代計(jì)算。DWLP 模型的時(shí)間復(fù)雜度為O(min{c4K，K2c2} +3c2K+1)，與WNNM-RPCA 模型和PCP 模型的時(shí)間復(fù)雜度相同。

3.3 奇異值過(guò)收縮分析

采用凸近似方法求解RPCA 模型容易導(dǎo)致過(guò)收縮問(wèn)題，影響對(duì)相似圖像塊組奇異值的估計(jì)。矩陣奇異值越接近真實(shí)值，對(duì)低秩圖像成分的估計(jì)越準(zhǔn)確，去噪重建圖像的質(zhì)量越高。本節(jié)將通過(guò)兩組矩陣奇異值分解實(shí)驗(yàn)分析RPCA 框架下的去噪模型對(duì)圖像低秩結(jié)構(gòu)的估計(jì)情況。

圖5（a）和（c）為10%椒鹽噪聲下的Goldhill 圖像和30%椒鹽噪聲下的Barbara 圖像，利用紅色框標(biāo)記的圖像塊以及綠色框標(biāo)記的相似圖像塊可以組成一個(gè)相似圖像塊組，在兩幅觀測(cè)圖像中隨機(jī)選擇10個(gè)相似圖像塊組作為觀測(cè)數(shù)據(jù)，每個(gè)觀測(cè)矩陣中包含64 個(gè)8像素×8像素的相似圖像塊，分別使用PCP模型［5］、WNNM-RPCA 模型［10］、WSNM-RPCA［14］模型、雙加權(quán)模型（DWLP（p=q=1））［11］與DWLP模型估計(jì)觀測(cè)矩陣的奇異值。圖5（b）和（d）為不同模型復(fù)原結(jié)果的奇異值分布情況。其中，PCP 模型（綠色線）的結(jié)果明顯小于矩陣秩的真實(shí)情況（紅色線），說(shuō)明PCP 模型會(huì)過(guò)度收縮矩陣的奇異值。WNNM-RPCA 模型（藍(lán)色線）一定程度上抑制了對(duì)較大奇異值的過(guò)度收縮，對(duì)秩成分的估計(jì)較為準(zhǔn)確。而結(jié)合Sp范數(shù)的WSNM-RPCA 模型（青色線）的結(jié)果則更貼近矩陣秩的真實(shí)情況，說(shuō)明Sp范數(shù)方法具有更好的近似效果。DWLP（p=q=1）模型（黃色線）與DWLP 模型（品紅色線）可以同時(shí)處理對(duì)低秩成分與稀疏成分的過(guò)收縮問(wèn)題，復(fù)原結(jié)果明顯優(yōu)于WNNM-RPCA 模型。與DWLP（p=q=1）模型相比，DWLP 模型對(duì)較小奇異值的估計(jì)更接近真實(shí)情況，獲得了更準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型與其他模型相比，能夠更有效地抑制過(guò)收縮問(wèn)題，準(zhǔn)確地估計(jì)觀測(cè)矩陣的奇異值。

圖5 低秩矩陣的奇異值分析Fig.5 Singular value analysis of low rank matrices

3.4 參數(shù)影響的分析

本文算法經(jīng)驗(yàn)地設(shè)置圖像塊的尺寸為8像素×8像素，抽取步長(zhǎng)為4 像素，相似圖像塊的數(shù)量K 為64；而稀疏約束Lp范數(shù)中的q、低秩約束Sp范數(shù)中的p、正則化參數(shù)λs和λl，以及ADMM 算法中的最大迭代次數(shù)Kmax等參數(shù)通過(guò)參數(shù)實(shí)驗(yàn)確定。

圖6 不同椒鹽噪聲概率下p 和q 的取值對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響Fig.6 Influence of different values of p and q on the recovery results under different salt-and-pepper probabilities

在稀疏約束Lp范數(shù)中的q 與低秩約束Sp范數(shù)中的p 的參數(shù)實(shí)驗(yàn)中，p 和q 的取值范圍均為0.1～1，采樣間隔為0.1。圖6（a，b）分別為椒鹽噪聲概率P=10%和P=30%的情況下，p 和q 的取值對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響。此外，分析了稀疏和低秩正則化參數(shù)λs和λl的參數(shù)實(shí)驗(yàn)，將低秩項(xiàng)的正則化參數(shù)λl設(shè)置為0.1，圖7（a，b）所示為椒鹽噪聲概率P=10%和P=30%的情況下λs的取值對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響。表2給出了椒鹽噪聲概率分別為10%、20%、30%、40%和50%的情況下稀疏約束Lp范數(shù)中的q、低秩約束Sp范數(shù)中的p 以及正則化參數(shù)λs的取值。

最大迭代次數(shù)Kmax是與算法收斂性相關(guān)的參數(shù)。由于DWLP 是非凸模型，難以從理論上證明算法的全局收斂性。因此，本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析迭代次數(shù)對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響。如圖8 所示，當(dāng)?shù)螖?shù)分別達(dá)到5、10、15、20、25、30、35 和40 時(shí)，算法的平均PSNR 值為20.84、27.87、31.35、32.67、33.33、33.39、33.40和33.39 dB。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)螖?shù)大于30 時(shí)，PSNR 值的增量變得很小，算法趨于收斂。因此，本文取Kmax=30 以避免不必要的迭代計(jì)算。

圖7 不同椒鹽噪聲概率下λs 的取值對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響Fig.7 Influence of different values of λs on the recovery results under different salt-and-pepper probabilities

表2 不同椒鹽噪聲概率情況下的參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting with different saltand-pepper probabilities

圖8 最大迭代次數(shù)對(duì)復(fù)原結(jié)果的影響Fig.8 Influence of the maximum number of iterations

4 結(jié)束語(yǔ)

為了抑制L1范數(shù)的過(guò)收縮問(wèn)題，結(jié)合加權(quán)算法與非凸的Lp范數(shù)，本文提出了雙加權(quán)Lp范數(shù)RPCA模型DWLP，在RPCA 框架下利用加權(quán)Lp范數(shù)和加權(quán)Sp范數(shù)建模稀疏恢復(fù)問(wèn)題和低秩恢復(fù)問(wèn)題，并采用ADMM 算法結(jié)合p-shrinkage 算子進(jìn)行求解。將該模型應(yīng)用于椒鹽噪聲的去除實(shí)驗(yàn)，結(jié)果驗(yàn)證了本文模型的有效性，并通過(guò)奇異值過(guò)收縮分析說(shuō)明了該模型的解更接近秩函數(shù)最小化問(wèn)題的解和L0范數(shù)最小化問(wèn)題的解，有效抑制凸近似模型的過(guò)收縮問(wèn)題。