自生固相化學(xué)壓裂縫內(nèi)溫度分布數(shù)值模擬

羅志鋒，張楠林，趙立強(qiáng)，鮮 超，王春雷，龐 琴

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500；2.中國石油塔里木油田分公司天然氣事業(yè)部井下作業(yè)部，新疆庫爾勒841000；3.中國石油玉門油田分公司勘探開發(fā)研究院，甘肅酒泉735000）

自生固相化學(xué)壓裂是利用不混相的兩種流體（分別被稱為相變壓裂液、非相變壓裂液）壓開并形成一定幾何尺寸的人工裂縫，在地層溫度的作用下，相變壓裂液經(jīng)過相變轉(zhuǎn)變?yōu)楣滔囝w粒，達(dá)到支撐水力裂縫的目的，而非相變壓裂液占據(jù)裂縫中一定空間，施工結(jié)束返排，讓出的空間作為油氣流動(dòng)通道，從而形成具有高導(dǎo)流能力的人工裂縫[1-7]。在自生固相化學(xué)壓裂中形成固相顆粒的控制條件是縫內(nèi)溫度。另外，不同溫度下壓裂液體系具有不同的黏度值，壓裂液體系黏度直接關(guān)系到裂縫幾何尺寸，裂縫幾何尺寸又是計(jì)算裂縫溫度分布的必要條件，三者之間相互影響。所以溫度是該項(xiàng)技術(shù)最重要、最基礎(chǔ)的影響因素。自1967年Dysart和Whitsitt[8]根據(jù)能量守恒建立了縫內(nèi)溫度變化方程并推導(dǎo)出任意時(shí)刻、任意位置處裂縫流體溫度的解析式以來，壓裂過程中裂縫溫度場(chǎng)的研究就進(jìn)入蓬勃發(fā)展期[9]，其中最具有代表性的有：1969年，Wheeler[10]在考慮濾失速度為常數(shù)且縫寬為定值的條件下，提出了一種解析模型，但表達(dá)式較復(fù)雜，難以應(yīng)用；1984年，Biot 等[11]運(yùn)用變分法原理推導(dǎo)了一種計(jì)算壁面熱流量的熱流函數(shù)，提出了裂縫溫度場(chǎng)的一種數(shù)值計(jì)算模型，該模型假設(shè)的線性溫度變化規(guī)律不太合理，適用范圍受限；20 世紀(jì)90年代，Kamphuis 等[12]根據(jù)物質(zhì)和能量守恒推導(dǎo)了裂縫、濾失帶和油層溫度分布式，采用差分法進(jìn)行求解，模型考慮了縫中流體與巖石壁面間的溫度差，較為完善；羅攀登等考慮徑向非穩(wěn)態(tài)傳熱、軸向非穩(wěn)態(tài)對(duì)流以及摩擦力、黏滯力的影響，推導(dǎo)出井筒溫度、壓力方程，結(jié)合KDR 方法和CO2物性模型，建立了CO2壓裂過程中井筒和裂縫溫度場(chǎng)計(jì)算模型[13]。上述模型大多是建立在二維解析裂縫模型的基礎(chǔ)上計(jì)算縫內(nèi)溫度場(chǎng)的，不能準(zhǔn)確模擬壓裂過程中水力裂縫內(nèi)溫度分布，所以，喬繼彤等[14]考慮了壓裂液的熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱耗散以及壓裂液與巖石之間的熱交換，耦合了傳熱方程和水力壓裂三維裂縫擴(kuò)展模型；Kresse 等[15]耦合傳熱模型和UFM模型，對(duì)體積壓裂裂縫溫度場(chǎng)進(jìn)行了模擬研究。在熱流固耦合方面：Sun 等[16]利用局部熱不平衡理論，建立了耦合的三維數(shù)值模型，研究增強(qiáng)地?zé)嵯到y(tǒng)中復(fù)雜裂縫內(nèi)溫度分布規(guī)律；孫可明等建立了考慮熱對(duì)流和熱傳導(dǎo)效應(yīng)的熱流固耦合力學(xué)模型，研究高溫巖體儲(chǔ)留層注水過程中縫網(wǎng)間距對(duì)儲(chǔ)留層巖體溫度的影響規(guī)律[17]。

從國內(nèi)外水力裂縫溫度場(chǎng)的研究成果來看，裂縫溫度場(chǎng)的計(jì)算由二維裂縫延伸模型逐漸發(fā)展為以三維裂縫延伸模型為基礎(chǔ)，從裂縫延伸模型和裂縫傳熱模型分開計(jì)算逐漸發(fā)展為耦合計(jì)算。

自生固相化學(xué)壓裂過程中裂縫擴(kuò)展與縫內(nèi)傳熱同時(shí)進(jìn)行，相互影響，同時(shí)，由于自生固相化學(xué)壓裂使用的兩種流體熱力學(xué)參數(shù)不完全一致，現(xiàn)有模型不能準(zhǔn)確反映受兩種流體體積比影響的溫度場(chǎng)分布?；谀芰渴睾阍恚Y(jié)合均相流模型[18]，建立縫內(nèi)流體傳熱方程，并與擬三維裂縫模型進(jìn)行耦合[19]，構(gòu)建自生固相化學(xué)壓裂擬三維裂縫溫度場(chǎng)模型，同時(shí)引入了溫度對(duì)相變壓裂液、非相變壓裂液黏度的影響，準(zhǔn)確反映出在壓裂液體系黏度變化下的裂縫幾何尺寸。通過實(shí)例計(jì)算和分析，研究自生固相化學(xué)壓裂縫內(nèi)溫度場(chǎng)的變化規(guī)律。

1 縫內(nèi)溫度分布數(shù)學(xué)模型

1.1 擬三維裂縫擴(kuò)展模型

壓裂液傳熱是在裂縫中進(jìn)行的，通過對(duì)擬三維裂縫幾何尺寸模型的推導(dǎo)及求解，為后面的壓裂液傳熱模擬提供動(dòng)態(tài)的裂縫幾何尺寸，能更合理地計(jì)算裂縫溫度場(chǎng)。應(yīng)力對(duì)稱下的裂縫延伸擬三維控制方程為[19]：

流體濾失量vl可按下式計(jì)算[20]：

式（1）—式（2）中：q(x,t)為t時(shí)刻縫內(nèi)x處的流量，m3/s；x為縫長方向位置，m；vl(x,t)為t時(shí)刻縫內(nèi)x處流體濾失量，m2/s；A(x,t)為t時(shí)刻縫內(nèi)x處裂縫橫截面積，m2；t為施工時(shí)間，s；hp為裂縫高度，m；C(x,t)為t時(shí)刻縫內(nèi)x處流體濾失系數(shù)，m/s0.5；τ為流體到達(dá)裂縫x處的時(shí)間，s。

簡(jiǎn)化的縫中流體壓降方程[21]：

式中：p(x,0,t)為t時(shí)刻裂縫中x處的壓力，MPa；μf為壓裂液黏度，mPa·s；h(x,t)為裂縫中x處的縫高，m；wf(x,0,t)為t時(shí)刻裂縫中x處半裂縫寬度，m。

裂縫寬度方程[9]：

式中：wf(x,z,t)為縫長x 縫高z處的裂縫寬度，m；z為縫高方向位置，m；ν為泊松比；E為彈性模量，MPa；p(z)為縫高位置z處的凈壓力，MPa。

裂縫高度方程[19]：

式中：H為裂縫半高，m；Kc為應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·m0.5；Δs為應(yīng)力差，MPa；f為油層厚度與裂縫高度之比。

1.2 裂縫傳熱模型

圖1為自生固相化學(xué)壓裂溫度場(chǎng)物理模型，裂縫中充滿兩種非混相流體，分別為相變壓裂液（流體1）、非相變壓裂液（流體2），兩種流體存在流體界面。Tin為注入流體的溫度，u為注入速度，Ti為裂縫中溫度，Tres為原始地層溫度。假設(shè)地層巖石的熱物理性質(zhì)不隨時(shí)間和溫度發(fā)生變化，只考慮垂直縫壁方向上的熱交換，忽略縫長方向上的熱交換。

圖1 自生固相化學(xué)壓裂溫度場(chǎng)物理模型Fig.1 Physical model of temperature field for in-situ generated proppant fracturing

裂縫內(nèi)壓裂液的流動(dòng)伴隨著動(dòng)態(tài)的傳質(zhì)、傳熱過程，裂縫壁面上縫內(nèi)流體濾失進(jìn)入地層，同時(shí)熱量向縫內(nèi)傳遞。

縫中液體能量方程[22]：

與現(xiàn)有壓裂溫度場(chǎng)模型不同的是，常規(guī)模型都是只考慮單一流體的熱交換，而在該文中，相變壓裂液體系由相變壓裂液、非相變壓裂液組成，其熱力學(xué)參數(shù)取二者的加權(quán)平均值：

式（6）—式（7）中：Tf為縫中液體溫度，℃；v為縫中液體流速，m/s；α為換熱系數(shù)，J/（m2·s）；w為裂縫平均寬度，m；Trw為裂縫壁面溫度，℃；ρ1、ρ2分別為相變壓裂液、非相變壓裂液密度，kg/m3；C1、C2分別為相變壓裂液、非相變壓裂液比熱容，J/（kg·K）；f1、f2分別為相變壓裂液、非相變壓裂液體積分?jǐn)?shù)。

由于壓裂過程中熱對(duì)流作用大于熱傳導(dǎo)，可忽略縫長、縫高方向的熱傳導(dǎo)。

濾失帶能量方程[23]：

式中：δ為濾失帶深度，m；φ為儲(chǔ)層平均孔隙度；ρr為儲(chǔ)層巖石密度，kg/m3；Cr為儲(chǔ)層巖石比熱容，J/（kg·K）；λf1、λf2分別為兩種壓裂液的熱傳導(dǎo)系數(shù)，W/（m·K）；λr為巖石的熱傳導(dǎo)系數(shù)，W/（m·K）；Tr為儲(chǔ)層巖石溫度，℃。

巖石能量方程[22]：

1.3 初始條件和邊界條件

壓裂前裂縫內(nèi)各點(diǎn)的溫度為原始地層溫度。在化學(xué)壓裂過程中，注入排量恒定，裂縫頂部和底部（即y=0和y=h處）無壓裂液流動(dòng)，裂縫出口端的壓力為地層壓力，裂縫入口端的壓裂液溫度為井底壓裂液的溫度。

1）初始條件

式中：Tres為原始地層溫度，℃。

2）邊界條件

式中：qin為縫口注入排量，m3/min；Twf為井底處壓裂液體系的溫度，℃。

1.4 模型求解

建立的擬三維裂縫延伸模型由連續(xù)性方程、壓降方程、裂縫寬度方程及裂縫高度方程組成，4個(gè)主體方程相互影響，不能直接求出解析解，需結(jié)合邊界條件，采用適當(dāng)?shù)牡惴ㄟM(jìn)行求解，在每一時(shí)間步計(jì)算出裂縫幾何尺寸后，利用溫度場(chǎng)差分離散的數(shù)值方程求解溫度分布，更新流體黏度，再進(jìn)行下一步的計(jì)算，直到施工結(jié)束，計(jì)算流程見圖2。

圖2 縫內(nèi)溫度分布數(shù)學(xué)模型求解流程（Lmin為前一時(shí)間步裂縫長度）Fig.2 Mathematical model solving process of temperature distribution（Lmin is the length of fracture in previous step）

對(duì)裂縫內(nèi)液體能量方程（6）進(jìn)行差分離散：

對(duì)濾失帶能量方程（7）進(jìn)行差分離散：

對(duì)近縫帶巖石能量方程（8）進(jìn)行差分離散：

式（14）等號(hào)兩邊同時(shí)乘上Δt，并將t和t+1時(shí)間項(xiàng)整理到等式兩邊：

在已知近縫帶地層內(nèi)邊界（裂縫壁面）溫度時(shí)，采用追趕法可對(duì)上式進(jìn)行求解。

2 實(shí)例分析

利用已建立的化學(xué)壓裂裂縫溫度場(chǎng)模型，結(jié)合算例進(jìn)行模擬計(jì)算。模擬所用主要數(shù)據(jù)見表1。

相變壓裂液和非相變壓裂液在不同溫度下具有不同的黏度，測(cè)定不同溫度下二者的黏度值，擬合得到黏溫關(guān)系函數(shù)見表1。

2.1 溫度對(duì)裂縫幾何尺寸的影響

分別計(jì)算裂縫溫度恒定為地層溫度、平均溫度（注入溫度與地層溫度算數(shù)平均值）以及考慮溫度沿縫長方向非穩(wěn)態(tài)變化條件下的縫內(nèi)溫度場(chǎng)分布和裂縫幾何尺寸，裂縫內(nèi)溫度分布見圖3，裂縫高度、裂縫寬度見圖4。

圖3 不同計(jì)算條件下裂縫溫度分布Fig.3 Fracture temperature distribution under different calculation conditions

表1 模擬基礎(chǔ)參數(shù)Table1 Simulated basic parameters

圖4 溫度對(duì)裂縫幾何尺寸的影響Fig.4 Effect of temperature on fracture size

圖3 表明，在化學(xué)壓裂過程中，沿裂縫長度方向溫度逐漸升高，裂縫前緣溫度接近地層原始溫度，裂縫入口溫度接近注入流體溫度，因此，可以按照不同的溫度情況，把裂縫分為若干區(qū)域，針對(duì)每一區(qū)域，可選用不同相變溫度的壓裂液體系，達(dá)到“快速相變、有效支撐”的目的。

考慮縫內(nèi)溫度在縫長方向上非穩(wěn)態(tài)變化時(shí)，相變壓裂液和非相變壓裂液組成的壓裂液體系在縫長方向上具有不同的黏度值，導(dǎo)致計(jì)算得到的裂縫長度比地層溫度、平均溫度條件下計(jì)算的縫長小，在縫口處裂縫高度、裂縫寬度較大，在裂縫前緣，裂縫高度、裂縫寬度較小。不同條件下計(jì)算得到的縫長、最大縫高、最大縫寬見表2。

表2 不同條件下裂縫幾何尺寸Table2 Fracture size under different conditions

從不同計(jì)算條件下裂縫幾何尺寸來看，溫度對(duì)壓裂液體系黏度影響較大，進(jìn)而影響裂縫幾何尺寸，考慮溫度變化對(duì)壓裂液體系黏度的影響，能夠更加真實(shí)、準(zhǔn)確地反映水力裂縫擬三維延伸過程。

2.2 排量對(duì)溫度場(chǎng)的影響

圖5、圖6為定液量250 m3，不同施工排量下（q=2，4，6，8 m3/min）縫內(nèi)壓裂液的溫度、縫高、縫寬分布曲線。

在大排量下，容易形成更長、更寬的水力裂縫，裂縫入口端溫度受排量影響較小，在前40 m 范圍內(nèi)溫度變化不大，分布在30～50℃，超過40 m后，受水力裂縫尺寸，以及邊界條件的影響，小排量下的水力裂縫內(nèi)溫度迅速升高，而大排量下的縫內(nèi)溫度上升幅度較小。

圖5 排量對(duì)縫內(nèi)溫度的影響Fig.5 Effect of displacement on fracture temperature

圖6 排量對(duì)裂縫幾何尺寸的影響Fig.6 Effect of displacement on fracture size

2.3 體積比對(duì)溫度場(chǎng)的影響

由于兩相液體熱物性參數(shù)具有較大差異，因而其用量比也是影響縫內(nèi)溫度場(chǎng)的主要因素之一。圖7為定排量5 m3/min，液量250 m3下，不同體積比（相變壓裂液體積∶非相變壓裂液體積=1∶0.5、1∶1、1∶2）條件下縫內(nèi)溫度分布曲線，圖8為不同體積比條件下裂縫幾何尺寸。

圖7 體積比對(duì)縫內(nèi)壓裂液溫度的影響Fig.7 Effect of volume ratio on temperature

圖8 體積比對(duì)裂縫幾何尺寸的影響Fig.8 Effect of volume ratio on fracture size

體積比對(duì)裂縫幾何尺寸影響較小，但對(duì)縫內(nèi)溫度影響較大。比熱容較大、熱傳導(dǎo)系數(shù)較小的相變壓裂液體積越小，將同樣體積的相變壓裂液體積加熱到某一溫度所需熱量就越少，裂縫前緣溫度呈現(xiàn)緩慢上升趨勢(shì)，縫內(nèi)溫度曲線平緩變化，縫內(nèi)溫度整體較高，反之裂縫前緣溫度上升越快，裂縫前緣溫度曲線越陡峭。

3 結(jié)論與建議

1）在擬三維裂縫模型的基礎(chǔ)上建立了縫內(nèi)溫度場(chǎng)模型，并進(jìn)行耦合求解。結(jié)果表明，裂縫幾何尺寸、縫內(nèi)溫度場(chǎng)分布相互影響，在模擬計(jì)算縫內(nèi)溫度場(chǎng)、裂縫幾何尺寸時(shí)，必須同時(shí)考慮二者相互關(guān)系。

2）施工排量、體積比對(duì)縫內(nèi)溫度分布具有顯著影響。受水力裂縫尺寸、邊界條件的影響，小排量下水力裂縫前緣溫度迅速升高，而大排量下的裂縫前緣溫度上升速度較慢；相變壓裂液體積越小，裂縫前緣溫度緩慢上升，縫內(nèi)溫度平緩變化，溫度整體較高，反之裂縫前緣溫度上升越快，裂縫前緣溫度曲線越陡峭。

3）在化學(xué)壓裂過程中，沿裂縫長度方向溫度逐漸升高，裂縫前緣溫度接近地層原始溫度，裂縫入口溫度接近注入流體溫度，按照不同的溫度區(qū)間，把裂縫分為若干段，針對(duì)每一段，可選用不同相變溫度的壓裂液體系，以達(dá)到提高支撐效果的目的。