變冪次趨近律的滑模制導(dǎo)在防空反導(dǎo)中的應(yīng)用*

穆忠偉，吳 劍，韓秀楓

（南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

精確制導(dǎo)技術(shù)是現(xiàn)代高科技武器發(fā)展的新趨勢(shì)。近年來(lái)，美軍多次運(yùn)用“震懾”戰(zhàn)略思想，實(shí)施不接觸戰(zhàn)術(shù)，采用“精確打擊”武器對(duì)敵方雷達(dá)、橋梁、機(jī)場(chǎng)、坦克、車輛、船舶等固定與活動(dòng)目標(biāo)實(shí)施“點(diǎn)穴”式精確打擊，有效地保存了有生力量，沉重地打擊了對(duì)手，為贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的最后勝利起到了決定性的作用［1］。從而研究如何反導(dǎo)對(duì)于防御敵方導(dǎo)彈的威脅與破壞至關(guān)重要，尤其是針對(duì)敵方機(jī)動(dòng)性目標(biāo)，對(duì)己方的威脅程度大大提高，如何快速并靈活地響應(yīng)打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律顯得尤為迫切。

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種抗干擾性、魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)靈活的非線性控制方法［2-8］，被廣泛運(yùn)用于制導(dǎo)控制領(lǐng)域，尤其目前越來(lái)越多的學(xué)者研究其滑模趨近律，以提高導(dǎo)彈在攔截制導(dǎo)中的快速響應(yīng)能力。文獻(xiàn)［9］采用自適應(yīng)滑模趨近律的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，以實(shí)現(xiàn)攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的任務(wù)；文獻(xiàn)［10］利用指數(shù)趨近律的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)趨近滑模面的過程中，提高導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的響應(yīng)能力；文獻(xiàn)［11］針對(duì)攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)問題，采用雙冪次趨近律，使導(dǎo)彈收斂速度增快。

為了進(jìn)一步提高導(dǎo)彈的快速響應(yīng)能力及抵消抖振問題，本文提出了基于變冪次趨近律變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，提高了導(dǎo)彈在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的響應(yīng)能力，并有效地規(guī)避抖振問題的產(chǎn)生，并利用干擾觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行觀測(cè)和估計(jì)，從而使制導(dǎo)律性能進(jìn)一步提高。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

導(dǎo)彈在防空反導(dǎo)的末制導(dǎo)段攔截攻擊目標(biāo)，如圖1 所示彈目的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，M 表示導(dǎo)彈，T 表示目標(biāo)，VM和VT均為常量，將M 和T 之間的相對(duì)距離設(shè)定為R，q 為彈目LOS 角，aM和aT為導(dǎo)彈與目標(biāo)的法向加速度，θM和θT均為各自的彈道傾角。設(shè)各個(gè)角度逆時(shí)針方向?yàn)檎?，末制?dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

將式（1）中的第二式兩端求導(dǎo)可得：

由式（2）進(jìn)一步得出：

將攔截彈成功攔截目標(biāo)處的夾角定義為終端LOS 角qf［12］，為建立狀態(tài)方程，下面取

可得：

其中，a 為機(jī)動(dòng)加速度，將f 視為有界干擾。

2 基于變冪次趨近律的制導(dǎo)律

2.1 構(gòu)造滑模面

首先構(gòu)造滑模面

式中，σ＞0，k1＞0。

下面對(duì)式（6）兩端求導(dǎo)可得：

2.2 趨近律的對(duì)比

新型變冪次趨近律、傳統(tǒng)變冪次趨近律與雙冪次趨近律作對(duì)比［15］如下：

雙冪次趨近律［13］的表達(dá)式為：

其中，δ1＞0。

下式為新型變冪次趨近律［15］的表達(dá)式：

其中，β1為正數(shù)，ar sinh（·）是反雙曲正弦函數(shù)。

證明：令滑模函數(shù)的初始狀態(tài)均為大于1 的數(shù)，將系統(tǒng)軌跡趨近滑模面s=0 的過程分為兩個(gè)階段，一個(gè)是從初始狀態(tài)s0距離滑模面為1 的位置，另一個(gè)是與滑模面距離為1 的位置到滑模面。

2.3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

結(jié)合式（5）、式（7）、式（11）

由式（15）、式（16）推導(dǎo)出制導(dǎo)律為：

由于式（15）、式（16）中存在著符號(hào)函數(shù)sgn（s），其會(huì)使系統(tǒng)軌跡在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)較大的抖振現(xiàn)象，為消除抖振的問題，利用飽和函數(shù)式（18）代替符號(hào)函數(shù)。

2.4 滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)

3 仿真算例

以某型導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段攔截目標(biāo)為例，攔截彈的初始條件為xM（0）=0 m，yM（0）=3 500 m，導(dǎo)彈的初始飛行速度vM=650 m/s，初始彈道傾角θM（0）=0；目標(biāo)的初始坐標(biāo)位置為xT=2 000 m，yT=1 000 m，目標(biāo)的初始飛行速度vT=350 m/s，初始彈道傾角θT=π/3；制 導(dǎo) 律 參 數(shù) σ=400，k1=5，δ1=1.6，r1=2，r2=3，β1=6，δ=300。設(shè)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)為aT=-100cos（0.5πt），L=110，w0=0.1。

算例1 目標(biāo)以勻速飛行不做機(jī)動(dòng)，攔截期望角度分別為-30°和-45°。

圖2 攔截彈道

圖3 視線角變化曲線

圖4 視線角速率變化曲線

由圖2 可知，攔截彈分別以-30°與-45°攔截目標(biāo)，最終都以平滑的彈道成功攔截目標(biāo)，但以-30°攔截目標(biāo)的彈道開始彎曲較大，要改變其彈道，最終以平直的彈道成功攔截目標(biāo)。

圖5 過載曲線

由圖3 及圖5 可知，導(dǎo)彈在以-30°做機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，其改變的機(jī)動(dòng)過載要大于后者，飛行時(shí)間要比較長(zhǎng)，在末端攔截時(shí)，都以相應(yīng)的角度收斂于期望角。由圖4 可知，攔截彈開始時(shí)，變化比較大，而后最終以很快的速度收斂于0 附近，攔截彈最終以最小脫靶量命中目標(biāo)。

算例2 目標(biāo)以余弦機(jī)動(dòng)做飛行，攔截期望角度分別為-30°和-45°。

圖6 彈道曲線

圖7 視線角變化曲線

圖8 過載曲線

圖9 視線角速率

圖10 目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)

由圖6 和圖8 可知，由于目標(biāo)做機(jī)動(dòng)，攔截彈分別以-30°與-45°均以稍微彎曲的攔截彈道攔截目標(biāo)，做較大的機(jī)動(dòng)以適應(yīng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤，并在接近目標(biāo)附近時(shí)，機(jī)動(dòng)變化較大，以攔截目標(biāo)；由圖9 知，導(dǎo)彈在接近目標(biāo)附近時(shí)，視線角速度更小，變化更加平穩(wěn)，最終會(huì)對(duì)于減小末端脫靶量具有極大的優(yōu)勢(shì)；圖10 是基于滑模觀測(cè)器的目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)，在整個(gè)末制導(dǎo)過程，觀測(cè)及跟蹤目標(biāo)的實(shí)際機(jī)動(dòng)，保證了目標(biāo)機(jī)動(dòng)的補(bǔ)償，從而有利于導(dǎo)彈成功捕獲目標(biāo)并攔截。

算例3 與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比，攔截期望角度為-45°。

與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律對(duì)比，傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律為

其中，系數(shù)κ、ε 均為正數(shù)。κ=5，ε=2，由于式（27）中存在符號(hào)函數(shù)sgn（s），趨近律的切換項(xiàng)中含有符號(hào)函數(shù)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在滑模面s=0 附近反復(fù)振蕩，產(chǎn)生比較大的抖振，代入式（18）飽和函數(shù)以減少抖振，從而傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的導(dǎo)引律如下：

由圖11 兩者的攔截彈道對(duì)比，最終都成功攔截目標(biāo)，本文制導(dǎo)律的攔截彈道以稍微的彎曲攔截目標(biāo)。由圖12 及圖13 可知，變冪次導(dǎo)引律以更快的速度收斂于期望角度，加速了導(dǎo)彈以特定角度跟蹤目標(biāo)，從機(jī)動(dòng)過載來(lái)看，變冪次比傳統(tǒng)指數(shù)的機(jī)動(dòng)變化要大得多，對(duì)于跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)具有更大的優(yōu)勢(shì)；由圖14 可知，變冪次導(dǎo)引的視線角速度收斂的速度比后者要更快地收斂于0，以保持對(duì)攔截目標(biāo)的最大優(yōu)勢(shì)。

圖11 攔截彈道對(duì)比

圖12 視線角變化對(duì)比

圖13 過載曲線對(duì)比

圖14 視線角速率對(duì)比

4 結(jié)論

本文基于變冪次趨近律具有使系統(tǒng)軌跡的滑模動(dòng)態(tài)收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，提出了采用新型趨近律的滑模制導(dǎo)律，針對(duì)目標(biāo)做機(jī)動(dòng)的情況，設(shè)計(jì)了滑模觀測(cè)器對(duì)其機(jī)動(dòng)估計(jì)，在制導(dǎo)律中加入補(bǔ)償，并對(duì)變冪次趨近律的收斂時(shí)間與其他傳統(tǒng)趨近律進(jìn)行比較并證明，通過與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的導(dǎo)引律進(jìn)行對(duì)比，仿真顯示，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在末端反導(dǎo)攔截的飛行中，所收斂的視線角及其角速度的時(shí)間要比后者更快，在實(shí)戰(zhàn)中具有更好的制導(dǎo)性能。