使用移測(cè)顯微鏡測(cè)量平行平板的折射率

范海英，賈小文，賀秀良，尹 霖，趙云飛

(陸軍軍事交通學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300161)

折射率是介質(zhì)的一個(gè)重要物理參量，折射率的測(cè)量是普通物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容.普通物理實(shí)驗(yàn)室常用的測(cè)量透明固體折射率的儀器有分光計(jì)、邁克耳孫干涉儀、阿貝折射儀等.常用的測(cè)量方法可分為幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué).幾何光學(xué)方法主要有：折射定律、最小偏向角法、全反射法等[1-4].在分光計(jì)上用最小偏向角法進(jìn)行測(cè)量時(shí)，需要將被測(cè)材料制成棱鏡且對(duì)棱鏡的加工要求較高；全反射法的典型儀器為阿貝折射儀，測(cè)量中需要用到已知折射率的標(biāo)準(zhǔn)試件，且對(duì)被測(cè)材料折射率的大小有限制.波動(dòng)光學(xué)方法主要有：干涉法[5-8]、Lau效應(yīng)[9]、牛頓環(huán)法[10]等，其中干涉法最常見.在邁克耳孫干涉儀上利用白光干涉現(xiàn)象進(jìn)行測(cè)量時(shí)，要求透明薄膜或者透明介質(zhì)厚度很薄，否則操作不便；在分光計(jì)上利用多光束干涉測(cè)量時(shí)，條紋清晰度不易保證[11].

本文基于折射定律，利用移測(cè)顯微鏡對(duì)光線經(jīng)過(guò)平行平板之后的微小偏移量進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)而獲取平行平板的折射率.該方法原理簡(jiǎn)單，是高中階段常見實(shí)驗(yàn) “插針?lè)y(cè)玻璃折射率”的延續(xù)[12]，實(shí)驗(yàn)儀器可通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)室普通常見光學(xué)儀器組裝完成，實(shí)驗(yàn)過(guò)程涉及多種實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)技術(shù)，在教學(xué)中可作為物理實(shí)驗(yàn)自主實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，亦可作為折射率測(cè)量實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的拓展.

1 理論分析

假設(shè)透明平行平板介質(zhì)位于絕對(duì)折射率為n0的介質(zhì)中，厚度為d，絕對(duì)折射率為n1，如圖1所示.光線以入射角i入射到透明平行平板介質(zhì)，在前后2個(gè)面上發(fā)生折射.由于前后2個(gè)表面平行，該光線經(jīng)過(guò)后表面折射后，出射光線相對(duì)于原入射光線產(chǎn)生橫向偏移量L.

圖1 測(cè)量原理圖

利用求解△ACD的面積建立等式：

(1)

得到

(2)

將折射定律n0sini=n1sini′代入(2)式，得到

(3)

(4)

由式(4)可知，測(cè)出透明平行平板介質(zhì)的厚度d、光線入射角i和折射光線的橫向偏移量L，即可得到折射率n.

2 實(shí)驗(yàn)裝置及操作方法

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，長(zhǎng)焦距移測(cè)顯微鏡、測(cè)角盤、十字叉絲、毛玻璃屏和光源依次置于光具座上，其中測(cè)角盤的盤面水平并可繞豎直方向(z)旋轉(zhuǎn)，長(zhǎng)焦距移測(cè)顯微鏡和十字叉絲下方的底座可以沿x，y和z方向調(diào)節(jié).

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

測(cè)量時(shí)，利用被光源照亮的十字叉絲作為物，通過(guò)定位測(cè)角盤上平行平板前后十字叉絲在移測(cè)顯微鏡中的成像位置，來(lái)確定測(cè)量入射角i時(shí)的起始位置，當(dāng)平行平板轉(zhuǎn)動(dòng)i時(shí)，十字叉絲在移測(cè)顯微鏡中的成像位置會(huì)產(chǎn)生L的微小位移量，再利用千分尺測(cè)量平行平板的厚度d，代入式(4)即可得到折射率n.

具體操作如下：

1)目測(cè)粗調(diào)移測(cè)顯微鏡、測(cè)角盤、十字叉絲、毛玻璃屏和光源共軸；

2)調(diào)節(jié)移測(cè)顯微鏡，看清顯微鏡分劃板及十字叉絲像，如圖3所示，注意消除視差；

圖3 顯微鏡內(nèi)部分劃板

3)調(diào)節(jié)十字叉絲下方三維調(diào)節(jié)架，使十字叉絲的豎線與分劃板中心的分劃線(圖3中示值為“ 4”的分劃線)對(duì)齊.

4)細(xì)調(diào)時(shí)，將待測(cè)平行平板固定在測(cè)角盤中心的固定夾上，并保持兩平行面與測(cè)角盤垂直.由于待測(cè)介質(zhì)的加入，改變了十字叉絲到移測(cè)顯微鏡物鏡的光程，因此會(huì)造成分劃板上十字叉絲像變模糊，這時(shí)可調(diào)節(jié)移測(cè)顯微鏡的縱向測(cè)微頭，使移測(cè)顯微鏡沿光軸靠近十字叉絲，直至十字叉絲像清晰無(wú)視差.

5)轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)角盤帶動(dòng)平行平板介質(zhì)在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).由于折射，分劃板上十字叉絲像將做橫向水平位移，轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)角盤，使十字叉絲仍處于原位置，此時(shí)可保證光線垂直入射到待測(cè)平行平板的平行面上，即測(cè)角盤所指示的角度值即為圖1中入射角i=0 的位置.

6)轉(zhuǎn)動(dòng)移測(cè)顯微鏡鼓輪帶動(dòng)圖3中豎叉絲移動(dòng)，將豎叉絲與十字叉絲豎線、分劃板中心分劃線對(duì)齊，記下此時(shí)移測(cè)顯微鏡示數(shù).

7)繼續(xù)沿同方向轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)角盤(注意避免空程)，記錄多組測(cè)角盤示值和與之對(duì)應(yīng)的十字叉絲豎線的位置.根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，可分別計(jì)算入射角i和橫向偏移量L.

3 誤差分析

3.1 不確定度計(jì)算公式及各參量數(shù)值分析

根據(jù)式(4)，由不確定度傳遞公式

其中φ=F(x,y,z…)，x,y,z…是直接測(cè)量結(jié)果,可以推導(dǎo)出待測(cè)介質(zhì)折射率n的標(biāo)準(zhǔn)不確定的表達(dá)式為[13]

(5)

由(5)式可知，折射率的標(biāo)準(zhǔn)不確定度與i,L,d具有復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系.以下先從理論上分別分析i,L,d對(duì)不確定度的貢獻(xiàn)，并給出計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果.

關(guān)于入射角i的不確定度的計(jì)算，實(shí)驗(yàn)用測(cè)角盤最大允差為2′.由于各入射角均是通過(guò)i=θ-θ0計(jì)算得到，因此，ui的計(jì)算仍需進(jìn)行誤差傳遞.假設(shè)測(cè)角盤儀器誤差滿足均勻分布，則ui=4.75×10-4rad.

關(guān)于偏移量L的不確定度的計(jì)算，實(shí)驗(yàn)用移測(cè)顯微鏡最大允差為0.005 mm.同入射角i的不確定度計(jì)算相同，uL=4.08×10-3mm.

關(guān)于平行平板的厚度d的不確定度的計(jì)算，因是經(jīng)多次重復(fù)測(cè)量得到，d的不確定度包含A類分量和B類分量，已知所用螺旋測(cè)微器最大允差為0.004 mm，這里做保守估計(jì)，令ud=1×10-2mm.

3.2 入射角i及厚度d對(duì)折射率的不確定度的影響

圖4 不同入射角下各參量對(duì)不確定度的貢獻(xiàn)對(duì)比(d=5 mm,n=1.5)

圖5計(jì)算了n=1.5時(shí)折射率n的標(biāo)準(zhǔn)不確定度un與入射角i和平行平板厚度d的關(guān)系.從圖5中可以看到，當(dāng)厚度d一定時(shí)，un隨著入射角的增大是先減小后增大，在40°附近達(dá)到極小值；當(dāng)入射角i一定時(shí)，un隨著d的增加而逐漸減小，數(shù)據(jù)分析表明，d<3 mm時(shí)un迅速減小，在d>3 mm以后減小的趨勢(shì)逐漸放緩，并且在d>10 mm以后已很不明顯.實(shí)驗(yàn)中，對(duì)un的要求不同將會(huì)影響到實(shí)驗(yàn)中入射角和平行平板厚度的范圍選擇.若希望得到較高的測(cè)量精度，則要選擇相對(duì)厚的平行平板.計(jì)算結(jié)果表明，un的極小值約為0.001，此時(shí)如果想進(jìn)一步減小un，提高n的測(cè)量精度，則需要從改進(jìn)儀器設(shè)備著手.

圖5 不同入射角時(shí)折射率的標(biāo)準(zhǔn)不確定度(n=1.5)

3.3 顯微鏡系統(tǒng)景深對(duì)平行平板厚度的限制

顯微鏡系統(tǒng)景深包含顯微鏡自身景深[14]和眼睛調(diào)節(jié)景深.由圖1可推導(dǎo)出介質(zhì)厚度與景深應(yīng)滿足：

(6)

其中l(wèi)為顯微鏡自身和眼睛調(diào)節(jié)景深之和，其余參量與前面定義相同.由于景深的限制，由(6)式可知，當(dāng)景深相同時(shí)，入射角i越大，對(duì)應(yīng)的介質(zhì)厚度就越小.對(duì)于較厚的平行平板，可以通過(guò)降低對(duì)測(cè)角范圍的要求而達(dá)到同樣精度的測(cè)量結(jié)果.例如，取l=1.5 mm(不同人眼調(diào)節(jié)能力不同，此值有差別)，n=1.5，imax=70°進(jìn)行估算，計(jì)算可得d=3.5 mm，但若現(xiàn)有平行平板厚度d=10 mm，則入射角的測(cè)量范圍可取20°～40°.

3.4 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要求

綜合分析，在滿足以上給定條件及大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)要求的前提下，可按照相對(duì)偏差在1%以內(nèi)對(duì)平行平板的厚度和入射角的范圍作出規(guī)定，可選擇厚度d在3～10 mm之間、入射角i在20°～70°展開測(cè)量，對(duì)應(yīng)un的范圍為2×10-3～7×10-3.由于人眼調(diào)節(jié)能力的不同，入射角i=70°只是滿足精度要求的入射角的上限，實(shí)際入射角的上限應(yīng)以測(cè)量過(guò)程中無(wú)視差為準(zhǔn).同時(shí)，通過(guò)計(jì)算還可以得出平板的折射率n越大，un越大，精度越低，如圖6所示.因此，物理實(shí)驗(yàn)中還可以選擇低折射率的平行平板來(lái)開展實(shí)驗(yàn).

圖6 不同折射率時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)表

由式(3)可知：

可以在Origin軟件中利用自定義公式進(jìn)行非線性曲線擬合求解折射率n[16].擬合時(shí)將厚度d設(shè)定為常量代入公式，進(jìn)行單參數(shù)擬合.設(shè)自變量x=sini，因變量y=L，則擬合公式可變?yōu)椋?/p>

y=d*x*(1-(1-x∧2)∧0.5/(n∧2-x∧2)∧0.5)，

擬合結(jié)果如圖7.折射率n的最終結(jié)果為

圖7 擬合結(jié)果圖

n=1.520±0.006(P=0.95).

該結(jié)果與用阿貝折射儀的測(cè)量結(jié)果n=1.518 9一致.數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線幾乎完全吻合，實(shí)驗(yàn)方法的可靠性和入射角的測(cè)量范圍及待測(cè)介質(zhì)厚度選擇范圍的合理性.

5 結(jié)束語(yǔ)

依據(jù)折射定律，利用移測(cè)顯微鏡對(duì)光線通過(guò)平行平板的微小偏移量進(jìn)行測(cè)量，獲得平行平板的折射率.通過(guò)誤差分析，給出了光線入射角度、平行平板厚度和可測(cè)折射率的合理范圍.實(shí)驗(yàn)中利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有元器件組裝測(cè)量?jī)x器，對(duì)微小偏移量、入射角度、平行平板厚度的測(cè)量均采用放大法，實(shí)驗(yàn)操作涵蓋光路的共軸調(diào)整、對(duì)準(zhǔn)和調(diào)焦調(diào)節(jié)、避免空程調(diào)節(jié)，數(shù)據(jù)處理利用軟件Origin.本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理簡(jiǎn)單，操作難易適中，滿足大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)要求，是對(duì)現(xiàn)有折射率測(cè)量相關(guān)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的拓展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力.