糧倉效應(yīng)的底部與側(cè)壁壓力的實驗驗證

韓志強，沈仲馳，唐明君

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都 610101)

顆粒物質(zhì)是指直徑大于1 μm的大量離散的固體顆粒相互作用而組成的復(fù)雜體系，是常見的物態(tài)形式，也是地球上存在最多且最為人們熟悉的物質(zhì)類型之一.由于顆粒物質(zhì)體系處于靜止堆積時，具有典型的非線性、自組織和能量耗散等特征，會產(chǎn)生諸如成拱、崩塌、糧倉效應(yīng)等許多奇特的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象的產(chǎn)生與日常生活生產(chǎn)息息相關(guān).比如，當(dāng)糧食堆積高度約大于2倍底面直徑后，糧倉底面所受的壓強不隨糧食的增加而增加，而是趨于飽和值，這就是糧倉效應(yīng).糧倉效應(yīng)由英國科學(xué)家Isaac Roberts在研究糧倉底面的壓強時發(fā)現(xiàn)[1]，直到1895年，德國學(xué)者Janssen提出的連續(xù)介質(zhì)模型巧妙地將顆粒物質(zhì)空間應(yīng)力求解的問題進行了簡化, 很好地解釋了“糧倉系統(tǒng)”中底部壓力隨填充高度的增加而逐漸趨于飽和的現(xiàn)象[2].直到如今，許多國家仍然采用Janssen的連續(xù)介質(zhì)模型作為糧倉設(shè)計規(guī)范[3-5]的主要計算思想.

為了探究顆粒物質(zhì)的糧倉效應(yīng)和驗證Janssen模型的正確性，有很多研究小組采用不同的測量方法測量了糧倉底部壓力和側(cè)壁壓力.比如，早期采用的敲擊法[6]，但由于敲擊容器的力度很難控制，實驗數(shù)據(jù)可重復(fù)性低.后來，王晶等采用間歇沉降法與連續(xù)沉降法對容器底部壓力進行了測量[7]，該方法彌補了敲擊法的不足，具有一定優(yōu)勢.但王晶等沒有對側(cè)壁壓力進行探究，同時，顆粒與器壁的摩擦力未達到最大，導(dǎo)致所測的底部壓力數(shù)據(jù)偏大.本實驗通過間歇沉降法測量糧倉的底部壓力，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計出了能連續(xù)測量側(cè)壁壓力的實驗裝置，并且保證了測量值在誤差允許范圍內(nèi)具有可重復(fù)性.

1 理論計算

下面計算底面邊長為a的正方形的立方體糧倉中的顆粒堆積情況，在Janssen模型中，假設(shè)顆粒在同一高度處的橫向應(yīng)力強度相等，且正比于縱向應(yīng)力強度.

如圖1所示，建立坐標(biāo)系，水平方向為x軸、豎直方向為z軸方向.顆粒物質(zhì)受力情況如圖2所示，則在面積為S、厚度為dz的體積元上，力平衡的條件為

圖1 坐標(biāo)軸建立示意圖

圖2 顆粒物質(zhì)受力示意圖

-ρSgdz+Sdp=-τ,

(1)

其中，ρ為堆積密度，p為深度為z處的壓強，τ為糧倉壁與顆粒物質(zhì)間的摩擦力.由于縱向應(yīng)力和橫向應(yīng)力是正比關(guān)系，摩擦力為

τ=4κμfpagdz，

(2)

κ為轉(zhuǎn)換系數(shù)[8-10]，在實驗中使用沉降法顆粒與容器壁之間的摩擦達到最大靜摩擦力，所以μf為顆粒與容器壁摩擦系數(shù).對上式進行積分可得深度為z處的壓強為

(3)

又根據(jù)Janssen模型假設(shè)，側(cè)向應(yīng)力正比于正向應(yīng)力

(4)

則用側(cè)壁半徑為R的圓來測量力面上的壓力為

(5)

2 實驗裝置設(shè)計

實驗器材：亞克力板、升降平臺、壓力傳感器及顯示屏、PVC板、鋼尺、3 mm和5 mm陶碳粒.

本實驗的實驗裝置設(shè)計如圖3所示，由以下實驗操作系統(tǒng)組成：

(a)正視圖

a.糧倉主體部分，具體尺寸如圖4所示，正方體糧倉的底邊邊長均為4 cm，高為30 cm，活板的長度長于其他3個面的高度.底部設(shè)置為邊長略小于糧倉邊長的方形活塞，這樣可以使活塞上下移動時不會觸碰容器的內(nèi)壁，也避免顆粒掉落；

圖4 方筒糧倉四壁設(shè)計圖

b.升降支架部分，調(diào)節(jié)升降臺的旋鈕控制糧倉的底板和側(cè)面的活動板的移動，用以測量不同高度和深度時，糧倉的底板正壓力和側(cè)壁壓力的大小變化；

c.壓力傳感器部分，使用精度為0.01 g，量程為0～500 g的力傳感器，將2個壓力傳感器的一端分別與側(cè)壁上的小圓片和底部的方形活塞相連，另一端再與升降臺上的固定裝置相連，這樣力傳感器就能測量到小圓片和方形活塞所受到的力的大小.實驗裝置的實物圖如圖5所示.

圖5 實驗裝置實物圖

1)底部壓力測量

由于在理論中假設(shè)側(cè)面所受靜摩擦力為最大靜摩擦力，而將顆粒注入方筒中后，側(cè)面對顆粒的摩擦力不是最大靜摩擦力，故直接測量的底面壓力并不滿足此模型，所以本文采用沉降法測量底部的壓力.如圖3所示，在固定主體部分的位置時，通過緩慢調(diào)節(jié)升降臺，使底面支撐體下降，即側(cè)面靜摩擦力達到最大靜摩擦力.然后使支撐體下降很小的高度，此時堆積的顆粒將有下降的趨勢，故此時產(chǎn)生的摩擦力接近于最大靜摩擦力，在整體堆積處于Janssen模型的狀態(tài)后，使用壓力傳感器測量顆粒對糧倉產(chǎn)生的底部壓力.

2)側(cè)壁壓力測量

在研究糧倉效應(yīng)時，側(cè)壁壓力的精確測量是整個實驗和驗證模型的正確性的關(guān)鍵.已有采用在側(cè)壁的不同高度上放置不同的壓力測量裝置，測量側(cè)壁的壓力[8]，這種測量方式的缺點在于，只能測量固定高度點的側(cè)壁壓強，不能連續(xù)測量.為了測量更多高度的側(cè)壁壓力，本文設(shè)計了能連續(xù)測量不同高度側(cè)壁壓力的實驗裝置.如圖3所示，在裝置的側(cè)面，糧倉的側(cè)壁和測力裝置作為整體.具體做法是在側(cè)壁中切割出圓形區(qū)域，在此圓形區(qū)域，制作不與側(cè)壁接觸的圓片，將圓片與測力裝置相連.調(diào)整該組件的高度，可以連續(xù)測量出不同深度時糧倉的側(cè)壁壓力值.該實驗裝置不僅能夠?qū)崿F(xiàn)沉降法測量底部顆粒壓力，還能夠連續(xù)地測量側(cè)壁壓力.

3 實驗數(shù)據(jù)采集

3.1 不同堆積高度下的底部壓力測量

實驗測量時，將壓力傳感器與數(shù)碼顯示器連接.顆粒半徑分別為3 mm和5 mm的均勻球形陶粒，成分主要為高嶺土、長石和黏土，密度為1.22 g/cm3.將陶粒注入方筒中，達到實驗所需高度，將底部支撐升降臺旋轉(zhuǎn)固定小角度，顆粒達到極限應(yīng)力狀態(tài)時，測量出陶粒的堆積高度和糧倉底部正壓力的對應(yīng)關(guān)系.

如圖6所示，測量出當(dāng)陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時，陶粒的堆積高度和糧倉底面所受壓力大小的關(guān)系，圖中實心圓點表示在同一位置進行10多次實驗測量的底部壓力的平均值，實線表示的是式(3)使用Matlab軟件計算模擬出的理論曲線.其中3 mm陶粒的κ為0.41，5 mm陶粒的κ為0.56，在彈性理論計算的范圍(0.33～2.50)內(nèi)[11]，且與其粒徑變化的規(guī)律相同[8].從圖6中可以看出，隨著陶粒高度的增加，糧倉的底部壓力增大，當(dāng)高度增加到一定值時候，底部壓力的大小趨于平穩(wěn).從圖6(a)中可以看出，半徑為3 mm的陶粒高度達到大約12 cm后，糧倉底部壓力趨于平穩(wěn)，達到定值.如圖6(b)中所示，當(dāng)半徑為5 mm的陶粒高度達到大約10 cm后，糧倉底部壓力趨于平穩(wěn).即，當(dāng)堆積高度達到方倉底邊邊長(4 cm)約2倍以上以后，糧倉的底部壓力達到飽和.從圖6的測量結(jié)果可以看出，對于不同粒徑的陶粒，糧倉的底部壓力達到飽和的陶粒高度不同，這是由于2種半徑不同的陶粒具有不同的轉(zhuǎn)向系數(shù)和堆積密度，所以，造成了同樣深度下的底部壓力不同.從圖6中還可以看出，實驗測量值與理論計算模擬值存在偏差，這是由于每次測量時，難以形成完全相同的極限應(yīng)力狀態(tài)造成的，但是，理論曲線和實驗測量值的變化趨勢都相同.

(a)3 mm

3.2 不同高度的側(cè)壁壓力測量

實驗測量糧倉側(cè)壁壓力時，先將測力面置于裝置能達到的最低處，在保持底部正壓力為Janssen模型的狀態(tài)下，旋轉(zhuǎn)控制側(cè)壁升降臺的旋鈕，使側(cè)壁裝置整體上升，通過壓力傳感器測量，讀出相同堆積高度的情況下，不同測量深度處的側(cè)壁壓力大小，2種不同的陶粒不同深度的實驗測量結(jié)果如圖7所示.

圖7測量出了當(dāng)陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時，陶粒在相同堆積高度16.1 cm下不同深度的側(cè)壁壓力傳感器所受壓力的大小.圖7中的實心圓點表示在多次側(cè)壁整體上升過程中不同深度的測量值的平均值，雖然圓片有一定的面積，但仍能代表這個深度的側(cè)壁壓力.圖7中實線表示的是根據(jù)式(5)，用Matlab積分計算模擬的理論曲線.從圖7中可以看出，在相同堆積高度的糧倉中，隨著測量深度的增加，側(cè)壁壓力逐漸增大，隨著深度的繼續(xù)增加，側(cè)壁壓力的增長趨勢越來越緩，最后趨于定值.理論模擬值和實驗測量值符合得比較好.

(a)3 mm

4 結(jié)論與討論

通過本文的討論得出：隨著方形糧倉中倒入顆粒的高度的增加，糧倉底部的壓力會逐步增大，最后會趨于某定值；當(dāng)陶粒的堆積高度一定時，隨著測量深度的增加，方形糧倉的側(cè)壁壓力逐漸增加，且會趨于定值，出現(xiàn)糧倉效應(yīng).

實驗使用自制的實驗裝置能明顯地演示出糧倉效應(yīng)，并能較精確地測量底部正壓力和側(cè)壁壓力，驗證了Janssen模型的正確性.同時，該實驗裝置能夠連續(xù)測量側(cè)壁壓力，能較好地反映側(cè)壁壓力變化的趨勢，驗證了產(chǎn)生糧倉效應(yīng)的原因，即，由于顆粒物質(zhì)間的相互作用，重力方向的力被分解到了水平方向，糧倉的側(cè)壁支撐了顆粒的部分重力，使得糧倉的底部壓力趨于飽和.但由于在改變側(cè)壁裝置整體高度時裝置的晃動很容易改變原本的堆積應(yīng)力狀態(tài)，所以側(cè)壁壓力的測量誤差偏大，但并不影響對整個趨勢變化的判斷.