利用Mathematica改進懸絲耦合彎曲共振法測量彈性模量實驗

秦月婷，張貴清，明成國

(天津科技大學(xué) 理學(xué)院 物理系，天津 300457)

懸絲耦合彎曲共振法測量彈性模量[1]，因其共振易判別，支撐的影響易排除，實驗結(jié)果穩(wěn)定，且有較寬的溫度適用范圍，而成為世界各國廣泛采用的測量方法，也是我國推薦的動態(tài)法測量金屬材料彈性模量的測定方法[2]，該實驗項目在各高?；A(chǔ)物理實驗中廣泛開設(shè).由于大學(xué)物理實驗的教學(xué)對象是本科低年級的學(xué)生，因此在實際教學(xué)中，通常有2方面的原因使學(xué)生無法深刻理解和把握該實驗原理而產(chǎn)生困惑，一是不清楚實驗中所提及的基本概念；二是在實驗理論中涉及梁的橫向彎曲振動的動力學(xué)方程、微分方程求解及超越方程等復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算.為了幫助學(xué)生更好地理解基本概念和數(shù)學(xué)計算，本文對實驗中的基本概念進行了詳盡闡述，將解析計算和圖形演示相結(jié)合，并利用Mathematica求解微分方程數(shù)值解.在教學(xué)中降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有效地增加對該實驗的實驗原理的理解，同時提供了可以利用數(shù)學(xué)軟件解決物理問題的直觀方法和手段.

1 實驗理論中的基本概念

1.1 梁的概念和分類

梁是一種承受垂直于軸線的橫向載荷的桿件.將彎曲變形時的梁的軸線，即各截面形心連線取做x軸；垂直于梁的方向取做y軸.若梁在對稱平面內(nèi)做彎曲振動時，梁的軸線只有橫向位移η(x,t)，這種模型的梁稱作歐拉-伯努利梁，也稱細(xì)梁;如果與梁的長度相比，橫截面的尺寸并不很小，則需要考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切形變的影響，這種梁稱為鐵木辛柯梁，也稱粗梁[3].本實驗中采用的試樣為細(xì)直圓桿，為細(xì)梁.

1.2 梁的橫向彎曲振動的動力學(xué)方程

對于連續(xù)介質(zhì)的細(xì)梁，根據(jù)微元的受力分析，利用牛頓第二定律推導(dǎo)梁的橫向振動的微分方程.這部分雖有些復(fù)雜，但只要清楚細(xì)梁橫向彎曲時應(yīng)力和應(yīng)變發(fā)生的位置及其關(guān)系，即可明晰其動力學(xué)方程的來由.梁的橫向彎曲振動的示意圖如圖1所示.圖1中，虛線部分表示中性層L，半徑為ρ，梁的彎曲橫振動時，其線應(yīng)變εx和正應(yīng)力σx均為零，這意味著在中性層上根本不存在拉伸或壓縮，而在中性層的兩邊，形變具有相反的符號；彎曲層L′，其半徑為r.圖2中O點稱為形心，即截面圖形的幾何中心,z軸為中性軸.由圖1可知

圖1 梁的橫向彎曲自由振動示意圖

L=ρθ,L′=rθ=(ρ-y)θ,

其彎曲層的形變量δ為

δ=L′-L=-yθ,

其縱向線應(yīng)變εx為

(1)

當(dāng)梁的形變在彈性限度內(nèi)，根據(jù)胡克定律[4]有

(2)

其中E為彈性模量，即待測物理量.

圖2 圖1的右視圖

(3)

其中“-”表示與M正方向相反，M正方向為z軸正方向，M稱為彎矩，表示作用在梁的給定截面上的內(nèi)應(yīng)力之力矩.將式(2)代入式(3)中，得

(4)

(5)

其中η稱為撓度，表示中性層上一點的垂直位移(如圖3所示).由式(5)可寫出彈性曲線控制微分方程為[3]

圖3 圖1正視圖

(6)

圖4中f(x,t)表示單位長度上微元所受的作用力，V為微元所受的剪切力，剪切力的定義如圖5所示.因為

圖4 微元的受力分析圖

圖5 微元的切應(yīng)力分析圖

(7)

微元中各力對過C點在軸方向上的力矩

∑Mz=0,

(8)

根據(jù)式(7)列微分方程有

(9)

其中，ρ為密度，A為梁的橫截面積.根據(jù)式(8)，得

(10)

將式(10)展開后，略去高階小項，得：

(11)

將式(11)和(6)代入式(9)中，得動力學(xué)方程：

(12)

當(dāng)梁自由振動時f(x,t)=0，動力學(xué)方程為

(13)

1.3 梁的橫截面慣性矩的概念

截面所在平面上關(guān)于z軸的截面慣性矩的積分為

這個概念與轉(zhuǎn)動慣量類似，二者的區(qū)別僅在于用面元dA代替質(zhì)量元[5].這里計算慣性矩的方法像力學(xué)中用到的垂直軸定理，即

Iz+Iy=Ix,

(14)

坐標(biāo)軸方向如圖5所示.

2 運用Mathematica求解兩端自由的橫向彎曲振動梁的動力學(xué)方程及相關(guān)的數(shù)值計算

2.1 運用Mathematica求解橫向彎曲振動的動力學(xué)方程

把計算機輔助手段引入物理學(xué)各科教學(xué)之中，已成為提升物理教學(xué)水平的新增長點.Mathematica既能進行符號運算，又能進行數(shù)值求解，有豐富的矢量運算函數(shù)、統(tǒng)計運算函數(shù)、表型數(shù)據(jù)處理函數(shù)和作圖函數(shù)，功能非常強大[6]，因此選用該數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)值計算.

梁的彎曲振動的動力學(xué)方程(13)中，令η(x,t)=X(x)T(t)，分離變量[2,6]得

(15)

其中，K為待定常數(shù).由此得

(16)

(17)

式(16)的解為梁彎曲振動的模態(tài)方程.根據(jù)式(17)，得梁的彎曲振動的固有角頻率為

(18)

式(18)對處于各種邊界條件下的任意形狀截面的試樣都成立[7-8].只要根據(jù)特定的邊界條件定出常數(shù)K，代入特定截面的慣性矩I，即可得到具體條件下的頻率計算公式，其中求解常數(shù)K是關(guān)鍵，這也是實驗教學(xué)中學(xué)生理解困難的主要方面.

現(xiàn)在利用Mathematica 軟件對(15)式進行微分方程求解和數(shù)值計算，進而得出常數(shù)K.具體計算過程及命令語句如下：

In：=ExpToTrig[DSolve[{X''''[x]-K4X[x]==0},

X[x],x]]/.Rule→Equal

Out：=X[x]==C[1]Cos[Kx]+C[2]Cosh[Kx]+C[4] Cosh[Kx]+C[3]Sin[Kx]-C[2]Sinh[Kx]+C[4]Sinh [Kx]

In：=%/.{C[1]→c1,C[2]+C[4]→c2,C[3]→c3,-C

[2]+C[4]→c4}

Out：=X[x]==c1Cos[Kx]+c2Cosh[Kx]+c3Sin[Kx]

+c4Sinh[Kx]

(19)

式(19)為式(16)的通解，也是梁彎曲振動的模態(tài)方程.

兩端自由的梁懸掛在試樣的節(jié)點處，則相應(yīng)的邊界條件為：橫向作用力V為零，彎矩M為零，即

輸入邊界條件：

In：=MatrixForm[Flatten[{{Solve[?{x,2}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,2}%==0]/.x→l},{Solve[?{x,3}}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,3}%==0]/.x→l}}]]

Out：=Cos[Kl]Cosh[Kl]==1

Cos[Kl]Cosh[Kl]-1=0,

(20)

此式即為通解式(19)加入邊界條件后的特解，也稱為兩端自由梁的頻率方程.

2.2 運用Mathematica對動力學(xué)方程特解求根

利用Mathematica尋找滿足式(20)的Kl值的方法.首先，利用圖像法判斷根的范圍.

In：=Show[Plot[Cos[Kl]*Cosh[Kl]-1,{Kl,0,10}]

Out：=

由圖6可知，第1個根和第2個根分別在4.7和7.8附近.依此方式，尋找到一系列滿足方程(20)的根.

圖6 cos(Kl)·cosh(Kl)-1隨Kl的變化曲線

In：=FindRoot[-1+Cos[Kl]*Cosh[Kl]==

0,{x,{4.7,7.8,11.0,14.1,17.3,20.4,23.5,26.7,29.8,33.0,36.2,39.2,42.4,45.5,48.7,51.8,54.97,58.1,61.2,64.4,67.5,70.5,73.8,77.2,80.0,83.2,86.4,89.2,92.6,95.5,99.2,102.0,105.5,108.4,111.7,114.7}},WorkingPrecision→7]

Out：=Kl->{ 4.730041, 7.853205, 10.99561,

14.13717, 17.27876, 20.42035, 23.56194, 6.70354,

29.84513, 32.98672, 36.12832, 39.26991, 42.41150,

45.55309, 48.69469, 51.83628, 54.97787, 58.11946,

61.26106, 64.40265, 67.54424, 70.68583, 73.82743,

76.96902, 80.11061, 83.25221, 86.39380, 89.53539,

92.67698, 95.81858，98.96017, 102.1018, 105.2434,

108.3849, 111.5265, 114.6681}}

然后進行擬合Kl與正整數(shù)n的函數(shù)關(guān)系，并繪圖(見圖7).

In：=FindFit[{4.730041, 7.853205, ……,114.6681},

a+bn,{a,b},n]

Out: =Kl=1.572678+3.141516n

Kl值與正整數(shù)n之間關(guān)系的擬合方程為Kl=3.141 516n+1.572 678，擬合方程近似為

(21)

這一結(jié)論與文獻[9]一致.表1給出Knl的數(shù)值解和擬合解的數(shù)值及相對偏差.

表1 Knl數(shù)值解和擬合解的數(shù)值對比表

2.3 兩端自由梁的彎曲振動的角頻率公式及模態(tài)函數(shù)

根據(jù)(20)式可知，兩端自由的梁的彎曲振動的各階固有角頻率公式可寫為

(22)

代入(14)式，得出細(xì)直圓桿的彈性模量公式為

n=1，2，3…

(23)

表2 數(shù)值解和擬合解下的值對比

+c4[sin(Knx)+sinh(Knx)]，n=1，2，3…

2.4 兩端自由梁在基頻振動時的節(jié)點位置計算和振形圖

兩端自由梁在基頻振動K1l=4.730 041時，節(jié)點處X(x)=0，得

[sin(K1x)+sinh(K1x)]=0,

(24)

In：=Plot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

Sinh[4.730041y],{y,0,1},Epilog→

{PointSize[Medium],Point[{{0.224,0},{0.7758,0}}]}

Out：=

由圖8可知，y值在0.2和0.8附近，因此利用數(shù)值計算尋找滿足式(24)的數(shù)值解為

圖8 當(dāng)K1l=4.730 04時試樣彎曲基頻振動的振形圖

In：=FindRoot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

Sinh[4.730041y]==0,{y,{0.2,0.7}},

WorkingPrecision->7]

Out：={y→{0.2241575,0.7758425}}

求出y值的數(shù)值解.

當(dāng)K1=4.730 041/l時，節(jié)點位置為x=0.224 137 5l和0.775 842 5l.依此方式，可計算出一系列Kl值相對應(yīng)的節(jié)點位置x/l及其振形圖,如圖9所示.

(a)Knl=4.730 041

3 結(jié)束語

綜上，對懸絲耦合彎曲共振測量彈性模量的實驗原理，從基本理論出發(fā)詳細(xì)地推導(dǎo)出梁的橫向彎曲振動的動力學(xué)方程.利用Mathematica對微分方程求解兩端自由梁的橫向彎曲振動動力學(xué)方程中頻率方程的根和相應(yīng)的節(jié)點位置，并擬合了節(jié)點位置及其變化規(guī)律，得出新的固有圓頻率公式和模態(tài)函數(shù)；詳細(xì)地給出彎曲振動的基振振形求解過程及二階、三階振形圖.為更好地理解本實驗，這部分理論內(nèi)容可以在實驗內(nèi)容中給以補充和豐富.

在大學(xué)物理實驗的教學(xué)中，面對一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算的時候，引導(dǎo)學(xué)生借助計算軟件化解知識難點，可使物理實驗原理的闡述更加明晰，物理概念得到深化，同時拓寬了物理實驗課程的內(nèi)容，也促使物理實驗課程的進一步改進和拓展.對于學(xué)生而言，學(xué)懂弄通是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵，引入計算恰恰是使學(xué)生對實驗原理理解更加透徹的一種有效途徑，且培養(yǎng)了學(xué)生利用現(xiàn)代化手段解決問題的能力.因此，這種教學(xué)模式的改進在進一步提升物理實驗課程的學(xué)術(shù)水平和教學(xué)水平，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣方面，起到了極大地促進作用.