例談二項式定理的應用

劉立強 杜紅全

(1.甘肅省康縣第一中學 746500；2.甘肅省康縣教育局教研室 746500)

一、用于求展開式中的特定項或系數

(1)求展開式中的有理項；

(2)求展開式中的有理項的二項式系數；

(3)求展開式中的有理項的系數.

例2(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數是( ).

A.56 B.84 C.112 D.168

點評解此問題的關鍵是求(1+x)8的展開式中x2的系數與(1+y)4的展開式中y2的系數的積.若是求一個三項式的系數問題，則應利用公式把三項轉化為二項(可因式分解)或把兩項看成一項，然后利用二項式定理展開求解.

二、用于求二項式定理中的相關元素

三、用于確定展開式中系數最大項

解析由題意，得22n-2n=992.即(2n-32)(2n+31)=0.所以2n=32，解得n=5.

設第r+1項的系數的絕對值最大.

因為r∈Z，所以r=3.

點評(1)解決此類問題的關鍵是要區(qū)分“二項式系數最大的項”“系數最大的項”“系數的絕對值最大的項”這三個不同的概念，“二項式系數最大的項”一定是中間項，而“系數最大的項”“系數的絕對值最大的項”不一定居中.

(3)二項展開式中有四個特殊項，即常數項、有理項、二項式系數最大項、系數最大項，要掌握它們的求法.

四、用于求展開式中各項系數的和

例5 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求

(1)a1+a2+…+a7；

(2)a1+a3+a5+a7；

(3)a0+a2+a4+a6；

(4)a2+a5.

解析(1)令x=0，則a0=-1.

令x=1，則a7+a6+…+a1+a0=27=128.

①

所以a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1，則-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7.

②

點評本題的解法是賦值法，這是一種重要的方法，它適用于恒等式.對展開式的系數和的求解，一般采用賦值法，賦值的選擇要根據展開式系數和特征靈活賦值，通常令x=0，1，-1.

五、用于證明組合數恒等式

點評解此問題的關鍵是結合二項式定理，注意觀察數列1,2,22，…，2n的規(guī)律性，令二項展開式中a=1，b=2，聯想二項式定理展開式，構造左=(1+2)n=3n=右.

點評解此問題的關鍵是構造(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，比較等號兩邊的展開式中含xn項的系數.

六、用于證明不等式

所以原不等式成立.

七、用于解決整除性問題

例9 求證：9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

證明因為9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

所以9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

點評解此問題的關鍵是將所給的多項式通過恒等變形變?yōu)槎検降男问?，使其展開后各項均含有除式.利用二項式定理證明整除性問題，通常需要將底數化成兩數和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切關系.

八、用于求余數問題

例109192除以100的余數是____.

所以9192除以100的余數是81.

點評解此問題的關鍵是從9192的式子結構出發(fā)，利用9192=(90+1)92展開后再分析即可，但要注意余數的范圍是[0,90)；當然本題也可以利用9192=(100-9)92展開.利用二項式定理求余數，通常需要將底數化成兩數和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切關系.

九、用于求近似值

例11 求1.056的近似值，使結果精確到0.01.

點評解此問題的關鍵是展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.在選取展開式中保留項時，以最后一項小數位超過精確度即可，少了不符合要求，多了無用，且增加麻煩.對于估算求值問題，常利用二項式定理.