排列組合中的圍坐圓桌問題

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

排列和組合一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，一直是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，一直是高考的一個(gè)熱點(diǎn).在排列組合問題中，有一類圍坐圓桌問題，許多學(xué)生感到很難求解、很難理解求解思路、很難看懂解答過程.究其原因，筆者認(rèn)為關(guān)鍵是教者沒有講深、講透、講清楚、講明白排列的定義，學(xué)者沒有理解深、理解透排列的定義.下面試舉幾例，權(quán)作拋磚引玉之用，旨在希望能幫助讀者突破學(xué)習(xí)難關(guān).

一、圍坐圓桌不限制問題

例1 10名同學(xué)圍成一個(gè)圓圈唱歌，有多少種不同的圍站方法？

解析當(dāng)10個(gè)人圍成一圈時(shí)，每個(gè)人都以順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)位置得到的排列與原排列只能算一種排列；于是再依同方向連續(xù)轉(zhuǎn)2，3，4，…，9個(gè)位置得到的排列與原排列也只能算一種排列，因此10個(gè)人圍成一圈的一種排列在普通的排列(也稱直線排列)中就是10種，所求的排列數(shù)是10個(gè)人排成直線排列的十分之一.

此題的解析和評(píng)注，筆者認(rèn)為說得很清楚了，但是，仍然有許多學(xué)生看不懂、不理解.下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子.

例2 若一張圓桌有3個(gè)座位，現(xiàn)安排3個(gè)學(xué)生去坐，每人坐一個(gè)座位，有幾種不同的入座方法？

解析我們先看排列的定義，一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

下面我們先用列舉法解答此題.用A，B，C表示這3個(gè)人，用圓圈表示3個(gè)座位，如圖1中的圖(1)至圖(6)，我們從順時(shí)針方向來看(從逆時(shí)針方向來看也可以)，圖(1)、圖(2)、圖(3)入座的順序都沒有變，都是ABC，所以由排列的定義知，圖(1)、圖(2)、圖(3)是同一種排列，也就是同一種入座方法.同理，圖(4)、圖(5)、圖(6)是同一種入座方法.于是所求有2種不同的入座方法.

二、圍坐圓桌相鄰問題

例3A，B，C，D四人圍著一張圓桌就坐，如果A，B二人相鄰，有多少種不同的入座方法？

三、圍坐圓桌不相鄰問題

例4 (2018年北京大學(xué)博雅計(jì)劃自主招生考試題)15個(gè)人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是( ).

例5 一圓形餐桌依次有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)座位.現(xiàn)讓3個(gè)大人和3個(gè)小孩入座進(jìn)餐，要求任何兩個(gè)小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數(shù)為( ).

A. 12 B. 36 C. 72 D. 144

解析注意到這里的座位不同，應(yīng)分兩類入座.

四、珠子穿成手鐲問題

例6 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？

解析這是6個(gè)人圍坐圓桌問題，同時(shí)還要考慮“鉆石圈”可以翻轉(zhuǎn).