一階微分方程的積分因子研究

安 然,田十方,劉曉薇

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,濟(jì)南 250353

常微分方程是一個(gè)有著長(zhǎng)期歷史而又不斷發(fā)展的學(xué)科,不僅具有理論研究意義而且有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持,也為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù),促進(jìn)了時(shí)代的發(fā)展進(jìn)步。

積分因子概念是由瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)提出來(lái)的,他還確定了采用積分因子方法的微分方程類型,證明了只要是可用變量分離求解的微分方程都可以用積分因子進(jìn)行求解,但是反之不然。隨著微分方程理論的不斷深入研究和探索,積分因子的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。經(jīng)過(guò)許多科學(xué)家的研究證明,不僅僅是分離變量求解的微分方程可以用積分因子法求解,甚至只要微分方程的解存在都可以采用積分因子法求解,只是有些方程求積分因子比求方程的解本身更為復(fù)雜。目前國(guó)內(nèi)學(xué)者寸得偶、潘鶴鳴等分別對(duì)積分因子的求法作了比較詳細(xì)的研究[1]。本文在前人研究的基礎(chǔ)上,給出了一些微分方程存在某些特殊類型積分因子的求解方法。

1 常微分方程的基本概念

1.1 問(wèn)題準(zhǔn)備

定義1: 將自變量、未知函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起的關(guān)系式稱為微分方程。若這種微分方程自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè),稱為常微分方程[2]。例如:xdy-y2dx=0。

定義2 : 考慮對(duì)稱形式的微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

(1)

如果存在一個(gè)可微函數(shù)u(x,y),使得它的全微分為

du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

(2)

亦即它的偏導(dǎo)數(shù)

則稱(1)為恰當(dāng)方程或全微分方程。

定義3: 若方程(1)不滿足恰當(dāng)方程的條件,但是方程(1)兩端乘以一個(gè)非零的函數(shù)μ(x,y)后能成為一個(gè)恰當(dāng)微分方程,這樣的函數(shù)μ(x,y)稱為方程(1)的積分因子。

(注:可以證明,微分方程只要解存在,那么積分因子一定存在,而且不是唯一的。)

1.2 關(guān)于恰當(dāng)方程求解的一般方法

定理1:若M(x,y),N(x,y)在某個(gè)單連通區(qū)域上連續(xù),而且具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),那么方程(1)是恰當(dāng)方程的充要條件是:

(3)

顯然,恰當(dāng)方程的通解為u(x,y)=c,c為任意常數(shù)。恰當(dāng)方程可以通過(guò)積分

(4)

求其通解,這里的φ(y)是y的任意可微函數(shù)[4]。

2 幾類特殊積分因子存在的充要條件

情形1:

證明:一般函數(shù)μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(5)

現(xiàn)若μ=μ(x2+y2)=μ(z)是積分因子,則

(6)

故要使方程有形如μ(x2+y2)的積分因子的充要條件是

同理,可證方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

有特殊積分因子μ=μ(x2-y2)的充要條件是

例:

求方程(x-y)dx+(x+y)dy=0的積分因子[7]。

解:因?yàn)?/p>

僅為z=x2+y2的函數(shù),所以原方程有積分因子

推論1:

在推論1的基礎(chǔ)上得到了推論2的結(jié)論,證明方法同情形1。

推論2:

方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有特殊積分因子μ=μ(pxa+qyb)的充要條件是

情形2:

證明:一般函數(shù)μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(7)

現(xiàn)若μ=μ(xayb)=μ(z)是積分因子,則

(8)

因此有

(9)

故要使方程有形如μ(xayb)的積分因子的充要條件是

是xayb的函數(shù)[9]。

在情形2的基礎(chǔ)上,可以推導(dǎo)出推論3。

推論3:

情形3:

方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有特殊積分因子μ=μ(pxa+qxayb+ryb)的充要條件是

f(pxa+qxayb+ryb)=

證明:一般函數(shù)μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(10)

現(xiàn)若

μ(pxa+qxayb+ryb)=μ(z)

(11)

因此有

(12)

(13)

即

故要使方程有形如

μ=μ(pxa+qxayb+ryb)

的積分因子的充要條件是

是f(pxa+qxayb+ryb)的函數(shù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)一階微分方程的積分因子的存在性進(jìn)行研究。到今天,積分因子在一階微分方程的求解中發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。本文主要對(duì)非恰當(dāng)微分方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程的紐帶——“積分因子”進(jìn)行研究,介紹了幾類特殊積分因子存在的充要條件,以后我們將持續(xù)關(guān)注積分因子在其他類型常微分方程中的作用,以及積分因子在證明等式等方面的應(yīng)用。