非對(duì)稱聲學(xué)超材料的各向異性反射特性及等效參數(shù)

徐宜才,吳九匯

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

聲學(xué)超材料是具有亞波長(zhǎng)尺寸特征的人工復(fù)合結(jié)構(gòu),其主要的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)具有新穎聲學(xué)特性的人工超結(jié)構(gòu)[1-6]。最近,非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的各向異性反射特性成為研究熱點(diǎn),該特性是由于非對(duì)稱結(jié)構(gòu)具有Willis耦合效應(yīng)。彈性波的Willis耦合是指應(yīng)力與速度或者動(dòng)量與應(yīng)變的耦合[7]。Willis首次在不均勻彈性介質(zhì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中描述了這種耦合特性,從此研究者把這種耦合關(guān)系稱為Willis耦合[7]。Muhlestein等推導(dǎo)了假設(shè)Willis材料具有互易性、被動(dòng)性和因果性時(shí),材料特性所受到的約束條件[7]。Xiang等證明了非均勻預(yù)應(yīng)力材料的線彈性行為可以用Willis方程來描述[8]。Liu等在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了彎曲波的Willis耦合,他們利用懸臂梁的彎曲共振證明了Willis耦合引起非對(duì)稱的反射幅值和反射相位[9]。Liu等利用被動(dòng)宇稱-時(shí)間對(duì)稱超材料晶體在二維空間實(shí)現(xiàn)了單向波矢量的操縱[10]。被動(dòng)宇稱-時(shí)間對(duì)稱系統(tǒng)的不對(duì)稱反射特性類似于Willis耦合形成的各向異性。Merkel等將聲Willis耦合與宇稱-時(shí)間對(duì)稱系統(tǒng)的特性統(tǒng)一在同一框架下,表明一個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn)在任何情況下都具有顯著的散射不對(duì)稱性并伴隨著聲波的單向零反射[11]。

許多研究者提出了不同的設(shè)計(jì)方案來實(shí)現(xiàn)聲學(xué)超材料的Willis耦合[12-15]。Muhlestein等提出了一維非對(duì)稱聲學(xué)系統(tǒng),并用實(shí)驗(yàn)和理論證明了非對(duì)稱系統(tǒng)的局域行為產(chǎn)生了非對(duì)稱的等效參數(shù),他們還提出了改進(jìn)的反演法來計(jì)算非對(duì)稱系統(tǒng)的統(tǒng)一等效參數(shù),然而反演法默認(rèn)求解的模型是質(zhì)心對(duì)稱結(jié)構(gòu),并不適用于幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料[12]。此外Willis耦合還產(chǎn)生各向異性反射特性,而Muhlestein等沒有研究這部分內(nèi)容。Ma等研究了雙層非對(duì)稱聲學(xué)超材料的聲學(xué)特性,并利用改進(jìn)的反演法計(jì)算了考慮Willis耦合的等效參數(shù)[13]。然而Ma等沒有研究材料損耗對(duì)聲學(xué)特性的影響,對(duì)各向異性反射特性的形成機(jī)理也揭示的不清楚。Quan等推導(dǎo)了聲散射體Willis耦合的一般邊界,表明在適當(dāng)設(shè)計(jì)的散射體中可以達(dá)到這些邊界,并為最大各向異性內(nèi)含物的實(shí)現(xiàn)勾勒出一個(gè)系統(tǒng)的場(chǎng)所[14]。Craig等利用反轉(zhuǎn)對(duì)稱破壞的聲光柵系統(tǒng)地實(shí)現(xiàn)了非對(duì)稱波傳播時(shí)壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)之間任意給定的各向異性耦合[15]。打破非對(duì)稱性不僅會(huì)產(chǎn)生各向異性的反射特性,還會(huì)產(chǎn)生各向異性的透射特性。Li等利用梯度超表面實(shí)現(xiàn)了聲波的各向異性折射,通過局部控制元胞的各向異性響應(yīng)來確保對(duì)折射波的完全控制[16]。Li等還設(shè)計(jì)了3個(gè)折射超表面,可以將法向入射的平面波在透射側(cè)分別重新定向到60°、70°和80°方向[16]。

為揭示各向異性反射特性的形成機(jī)理,本文研究了材料非對(duì)稱、幾何非對(duì)稱和共振非對(duì)稱3種結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性,通過仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了材料損耗對(duì)聲學(xué)特性的影響。提出了直接法來求解幾何非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的等效參數(shù),進(jìn)一步提出了改進(jìn)的直接法來求解考慮Willis耦合的統(tǒng)一等效參數(shù),并利用透射幅值和被動(dòng)材料的要求驗(yàn)證了求解的等效參數(shù)的正確性。

1 材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料

1.1 幾何模型

典型的雙層薄板聲學(xué)超材料如圖1所示,該圖是三維結(jié)構(gòu)在rz平面的截面,該結(jié)構(gòu)是由兩層圓形薄板耦合一層空氣組成[13]。當(dāng)兩層薄板的材料和尺寸完全相同時(shí),該結(jié)構(gòu)在z軸方向是一個(gè)完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)。雙層薄板聲學(xué)超材料的幾何參數(shù)包括:薄板的半徑r0為20 mm,薄板的厚度t為0.2 mm,空氣層厚度d為10 mm。當(dāng)上層薄板選用聚對(duì)苯二甲酸乙二醇酯材料(PET),下層薄板采用尼龍材料,該模型是一個(gè)材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料,對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)見表1。

圖1 材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料

表1 非對(duì)稱聲學(xué)超材料的材料參數(shù)

1.2 各向異性的反射特性

為探究非對(duì)稱聲學(xué)超材料兩側(cè)聲學(xué)特性的差異,利用有限元軟件Comsol Multiphysic分別計(jì)算了平面波從結(jié)構(gòu)兩側(cè)法向入射的結(jié)果。計(jì)算時(shí)采用二維軸對(duì)稱模型,圓形薄板的外邊界設(shè)置為固定邊界。通過設(shè)置材料的各向同性損耗因子,還研究了材料損耗對(duì)聲學(xué)特性的影響。

圖2是材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗聲學(xué)特性的仿真結(jié)果。平面波從PET薄板一側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為P側(cè)的聲學(xué)特性,平面波從尼龍薄板一側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為N側(cè)的聲學(xué)特性。兩側(cè)的反射幅值|R|和透射幅值|T|完全相同,兩側(cè)的反射相位arg(R)完全不同。各向異性的反射特性具體是:在透射幅值的第1個(gè)峰值處,兩側(cè)的反射相位都發(fā)生突變,P側(cè)的相位突變?yōu)?π,而N側(cè)的相位突變小于2π;在透射幅值的第2個(gè)峰值處,只有N側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變;在透射幅值的第3個(gè)峰值處,只有P側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變。上述分析表明材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料在無材料損耗下具有各向異性的反射相位。

(b)反射相位圖2 材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗的聲學(xué)特性的仿真結(jié)果

將PET材料和尼龍材料的各向同性損耗因子分別設(shè)置為0.115和0.15,材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性的仿真結(jié)果如圖3所示。兩側(cè)的透射幅值完全相同,兩側(cè)的反射幅值和反射相位完全不同。兩側(cè)的透射幅值有無損耗下始終是相同的,這是由于本文研究的非對(duì)稱聲學(xué)超材料都是線性時(shí)不變系統(tǒng),具有互易的傳輸特性。各向異性的反射特性具體是:在透射幅值的第1個(gè)峰值處,兩側(cè)的反射幅值都出現(xiàn)谷值,但是P側(cè)的反射幅值小于N側(cè)的反射幅值;兩側(cè)的反射相位都發(fā)生突變,P側(cè)的相位突變大于N側(cè)的相位突變,受材料損耗的影響,P側(cè)的相位突變也小于2π。在透射幅值的第2個(gè)峰值處,兩側(cè)的反射幅值都出現(xiàn)谷值,但是N側(cè)的反射幅值遠(yuǎn)小于P側(cè)的反射幅值;只有N側(cè)的反射相位發(fā)生突變,受材料損耗的影響,相位突變小于2π。在透射幅值的第3個(gè)峰值處,只有P側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值;也只有P側(cè)的反射相位發(fā)生突變,受材料損耗的影響,相位突變小于2π。對(duì)比圖2可知,材料損耗產(chǎn)生了各向異性的反射幅值并且減小了反射相位的突變幅值。考慮材料損耗不僅能獲得各向異性的反射幅值,還可獲得各向異性的吸聲特性。在透射幅值的第2個(gè)峰值處,N側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值,該處的透射幅值也較小,經(jīng)計(jì)算該處的吸聲系數(shù)為0.908,呈現(xiàn)良好的吸聲特性。在透射幅值的第3個(gè)峰值處,P側(cè)的反射幅值具有較小的谷值,該處的透射幅值也較小,經(jīng)計(jì)算該側(cè)的吸聲系數(shù)為0.985,呈現(xiàn)完美的吸聲特性[17]。上述計(jì)算結(jié)果表明材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料具有各向異性的反射相位,考慮材料損耗下還具有各向異性的反射幅值。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖3 材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性的仿真結(jié)果

透射幅值的峰值是結(jié)構(gòu)的共振形成的,此外,共振還引起了反射相位的突變。為揭示各向異性反射相位的形成原因,圖4給出了材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗的特征模態(tài)位移場(chǎng)。由于計(jì)算的模型是二維軸對(duì)稱模型,特征模態(tài)圖中虛線表示z方向的對(duì)稱軸,下層薄板是尼龍材料,上層薄板是PET材料。圖4a是第1階特征模態(tài),對(duì)應(yīng)透射幅值的第1個(gè)峰值。圖中上層PET薄板處于一階共振模態(tài),導(dǎo)致該側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變;下層尼龍薄板的位移場(chǎng)類似于共振模態(tài),該側(cè)也發(fā)生相位突變,但是突變幅值小于2π。PET薄板處于共振模態(tài),其共振位移大于尼龍薄板的共振位移,考慮材料損耗下PET薄板的能耗大于尼龍薄板的能耗,因此P側(cè)的反射幅值小于N側(cè)的反射幅值。圖4b是第2階特征模態(tài),對(duì)應(yīng)透射幅值的第2個(gè)峰值。圖中下層尼龍薄板處于一階共振模態(tài),所以該側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變;上層PET薄板處于非共振模態(tài),位移場(chǎng)是以半徑中點(diǎn)S點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)的反共振模態(tài),該側(cè)的反射相位不發(fā)生突變。尼龍薄板處于共振模態(tài),考慮材料損耗下其變形能耗遠(yuǎn)大于PET薄板的變形能耗,因此N側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值。圖4c是第3階特征模態(tài),對(duì)應(yīng)透射幅值的第3個(gè)峰值。圖中下層尼龍薄板處于非共振模態(tài),該側(cè)的反射相位不發(fā)生突變;上層PET薄板處于二階共振模態(tài),該側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變。PET薄板處于共振模態(tài),考慮材料損耗下其變形能耗遠(yuǎn)大于尼龍薄板的變形能耗,因此P側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值。共振模態(tài)還影響著透射幅值,兩層薄板都處于共振模態(tài)時(shí),結(jié)構(gòu)具有較高的透射幅值,如第1個(gè)透射峰值遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)透射峰值;高階共振模態(tài)的透射能力低于低階共振模態(tài)的透射能力,如第3個(gè)透射峰值小于第2個(gè)透射峰值。由特征模態(tài)分析可知,反射相位在薄板的共振頻率處發(fā)生突變,結(jié)構(gòu)兩側(cè)不同的共振模態(tài)導(dǎo)致了各向異性的反射相位,考慮材料損耗下共振模態(tài)的能耗遠(yuǎn)大于非共振模態(tài)的能耗,進(jìn)一步產(chǎn)生了各向異性的反射幅值。

(a)第1階特征模態(tài)位移場(chǎng)

(b)第2階特征模態(tài)位移場(chǎng)

(c)第3階特征模態(tài)位移場(chǎng)圖4 材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗的特征模態(tài)位移場(chǎng)

2 幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料

材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料所用的幾何模型在z軸方向是完全對(duì)稱的。本節(jié)將非對(duì)稱角引入薄板結(jié)構(gòu)中設(shè)計(jì)幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料,其模型圖和聲學(xué)測(cè)試圖如圖5所示,該模型是折板結(jié)構(gòu),圖5a是三維結(jié)構(gòu)在rz平面的截圖。折板的厚度t為1 mm,折板的外徑r1為50 mm、內(nèi)徑r2為30 mm,折板與半徑方向的夾角θ是結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱角,θ為π/18。兩層折板結(jié)構(gòu)組成的幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料如圖5b所示,兩層折板間的距離d為10 mm,折板的外邊界為固定邊界。利用3D打印技術(shù)對(duì)如圖5d所示的三維幾何模型進(jìn)行加工,加工的樣件如圖5c所示,選用的材料為光敏樹脂,具體的材料參數(shù)見表1。由于采用方形阻抗管測(cè)量樣件的聲學(xué)特性,為了便于在實(shí)驗(yàn)中安裝樣件,樣件的外框架是方形。圖5e是阻抗管測(cè)試系統(tǒng)示意圖,該系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)發(fā)聲和處理軟件、信號(hào)采集卡、功率放大器、揚(yáng)聲器、前管、后管和傳感器等。利用前管中安裝的兩個(gè)傳感器來測(cè)試反射系數(shù),利用后管中安裝的傳感器來測(cè)試透射系數(shù),測(cè)試樣件安裝在前、后管之間。

(a)元胞示意圖 (b)計(jì)算雙側(cè)聲學(xué)特性的示意圖

(c)實(shí)驗(yàn)樣件(d)幾何模型

(e)阻抗管測(cè)試系統(tǒng)示意圖圖5 幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料及阻抗管測(cè)試系統(tǒng)示意圖

2.1 幾何模型及實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)

2.2 各向同性的反射特性及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖6是幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性,仿真中光敏樹脂材料的各向同性損耗因子為0.06。平面波從凹側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為左側(cè),平面波從凸側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為右側(cè)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料具有各向同性的反射和透射幅值?？紤]材料損耗下該結(jié)構(gòu)具有各向同性的反射幅值,這說明結(jié)構(gòu)兩側(cè)的共振特性完全相同。由此可知,如果幾何非對(duì)稱不能形成共振非對(duì)稱,就不能獲得各向異性的反射特性。對(duì)比材料非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的研究結(jié)果,進(jìn)一步明確了非對(duì)稱的共振特性是形成各向異性反射特性的根本原因。

(a)反射和透射幅值的仿真結(jié)果

(b)反射和透射幅值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖6 幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性

2.3 直接法求解等效參數(shù)

等效參數(shù)是描述聲學(xué)超材料物理特性的一種有效手段,它從材料參數(shù)角度揭示了特殊聲學(xué)特性的形成原因。本文中采用直接法求解幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的等效參數(shù),該方法是根據(jù)材料參數(shù)的定義推導(dǎo)而來[18-19]。

等效質(zhì)量密度ρeff的表達(dá)式為

(1)

(2)

(3)

式中:p是模型受到的壓力;r是模型的半徑;L1和L2分別是模型反射側(cè)和透射側(cè)的積分邊界;S是模型的外表面面積。

等效體積模量κeff的表達(dá)式為

κeff=-VTc/ΔV

(4)

其中法向壓力Tc和體積變化量ΔV的具體形式分別為

(5)

(6)

式中:w是模型的位移。

等效阻抗比Zeff和等效折射率neff分別為

(7)

(8)

式中:ρ0是空氣的質(zhì)量密度;c0是空氣中聲速。

圖7是利用直接法計(jì)算的幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的等效參數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料具有完全對(duì)稱的等效參數(shù)。等效質(zhì)量密度在400～604 Hz范圍內(nèi)為負(fù)值,等效體積模量在712～1 200 Hz范圍內(nèi)為負(fù)值。聲學(xué)超材料的等效參數(shù)特性和聲學(xué)特性間具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系:零值等效質(zhì)量密度對(duì)應(yīng)透射幅值的第1個(gè)峰值,零值等效體積模量對(duì)應(yīng)透射幅值的第2個(gè)峰值。零值等效質(zhì)量密度是由偶極共振產(chǎn)生的,因此透射幅值的第1個(gè)峰值也是由偶極共振形成的;零值等效體積模量是由單極共振產(chǎn)生的,因此透射幅值的第2個(gè)峰值也是由單極共振形成的。被動(dòng)材料要求阻抗的實(shí)部為正值,聲速的虛部為正值。該要求也可以表示為等效阻抗比的實(shí)部為正值,等效折射率的虛部為負(fù)值。如圖7b所示,雙側(cè)等效阻抗比的實(shí)部完全相同并且始終為正值,雙側(cè)等效折射率的虛部完全相同并且始終為負(fù)值,計(jì)算的等效參數(shù)完全滿足被動(dòng)材料的要求。上述分析說明直接法計(jì)算的等效參數(shù)是準(zhǔn)確的、有意義的,因此該方法對(duì)于求解幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的等效參數(shù)具有指導(dǎo)意義。

(a)等效質(zhì)量密度和等效體積模量的實(shí)部

(b)等效阻抗比的實(shí)部和等效折射率的虛部圖7 幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的等效參數(shù)

3 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料

3.1 幾何模型

在2.3節(jié)研究的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料,圖8是其結(jié)構(gòu)示意圖,右側(cè)折板的厚度是左側(cè)折板的2倍,其他的幾何參數(shù)和幾何非對(duì)稱型聲學(xué)超材料相同。共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料中兩側(cè)的厚度不同,所以具有非對(duì)稱的共振特性。

圖8 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)示意圖

3.2 各向異性的反射特性及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖9是共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗聲學(xué)特性的仿真結(jié)果。平面波從較薄折板一側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為左側(cè),從較厚折板一側(cè)法向入射得到的聲學(xué)特性記為右側(cè)。兩側(cè)的反射和透射幅值完全相同,兩側(cè)的反射相位完全不同。在透射幅值的第1個(gè)峰值處,左側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變,在透射幅值的第2個(gè)峰值處,右側(cè)的反射相位發(fā)生2π的突變。根據(jù)前面特征模態(tài)分析可知,左側(cè)的相位突變是左側(cè)的折板發(fā)生共振引起的,右側(cè)的相位突變是右側(cè)的折板發(fā)生共振引起的。雖然非對(duì)稱的共振特性產(chǎn)生了各向異性的反射相位,但是不考慮材料損耗下兩側(cè)的反射幅值是相同的。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖9 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料無損耗的聲學(xué)特性的仿真結(jié)果

圖10是共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗聲學(xué)特性的仿真結(jié)果。兩側(cè)的透射幅值完全相同,兩側(cè)的反射幅值和反射相位完全不同。在透射幅值的第1個(gè)峰值處,左側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值,左側(cè)的反射相位發(fā)生突變;在透射幅值的第2個(gè)峰值處,右側(cè)的反射幅值出現(xiàn)谷值,右側(cè)的反射相位發(fā)生突變。折板的共振引起了反射相位突變,考慮材料損耗下折板共振位移變小,所以兩側(cè)反射相位突變的幅值都小于2π?？紤]材料損耗下折板共振將產(chǎn)生能耗,左側(cè)折板共振時(shí),左側(cè)折板的能耗高于右側(cè)折板,所以左側(cè)產(chǎn)生反射幅值的谷值;右側(cè)折板共振時(shí),右側(cè)折板的能耗高于左側(cè)折板,所以右側(cè)產(chǎn)生反射幅值的谷值。圖11是實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)中具有各向異性的反射幅值和反射相位。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明,僅當(dāng)幾何非對(duì)稱形成共振非對(duì)稱時(shí),結(jié)構(gòu)中才會(huì)產(chǎn)生各向異性的反射相位,考慮材料損耗下還能獲得各向異性的反射幅值。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖10 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的聲學(xué)特性的仿真結(jié)果

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖11 共振非對(duì)稱型結(jié)構(gòu)有損耗的聲學(xué)特性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.3 各向異性的等效參數(shù)

圖12是利用直接法求解的共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的等效參數(shù)。共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料具有各向異性的等效參數(shù)。左側(cè)等效質(zhì)量密度在400～656 Hz范圍內(nèi)和1 346～1 400 Hz范圍內(nèi)是負(fù)值,右側(cè)等效質(zhì)量密度在400～665 Hz和705～1 029 Hz范圍內(nèi)是負(fù)值。左側(cè)等效體積模量在658～1 400 Hz范圍內(nèi)是負(fù)值,右側(cè)等效體積模量在1 031～1 400 Hz范圍內(nèi)是負(fù)值。左側(cè)的等效參數(shù)在657 Hz都為0,該頻率對(duì)應(yīng)著透射幅值的第1個(gè)峰值,這是由于左側(cè)折板在該處產(chǎn)生共振;右側(cè)的等效參數(shù)在1 030 Hz都為0,該頻率對(duì)應(yīng)著透射幅值的第2個(gè)峰值,這是由于右側(cè)折板在該處產(chǎn)生共振。上述分析表明各向異性的等效參數(shù)也是由非對(duì)稱的共振特性形成的,然而各向異性的等效參數(shù)違背了被動(dòng)材料的一般要求,即被動(dòng)材料的材料參數(shù)是一個(gè)統(tǒng)一值[12]。

(a)等效質(zhì)量密度的實(shí)部

(b)等效體積模量的實(shí)部圖12 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的等效參數(shù)

圖13是共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的等效阻抗比和等效折射率。雙側(cè)等效阻抗比的實(shí)部均為正值,滿足被動(dòng)材料的要求;然而左側(cè)等效折射率的虛部在391～451 Hz范圍內(nèi)為正值,不滿足被動(dòng)材料的要求。等效參數(shù)的計(jì)算結(jié)果表明共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的等效參數(shù)受到入射方向的影響,雙側(cè)的等效參數(shù)是各向異性的,不滿足被動(dòng)材料的要求。需要將平面波入射方向的影響考慮到等效參數(shù)的求解中,給出統(tǒng)一的等效參數(shù),并使得求解的結(jié)果滿足被動(dòng)材料的要求。

(a)等效阻抗比的實(shí)部

(b)等效折射率的虛部圖13 共振非對(duì)稱型結(jié)構(gòu)有損耗的等效阻抗比和折射率

3.4 求解統(tǒng)一等效參數(shù)

為獲得共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的統(tǒng)一等效參數(shù),需要對(duì)直接法進(jìn)行改進(jìn)?？紤]到等效參數(shù)受平面波入射方向的影響,將模型在兩個(gè)入射方向下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)都帶入等效參數(shù)的計(jì)算。統(tǒng)一的等效參數(shù)可寫為

(9)

(10)

圖14是利用改進(jìn)的直接法計(jì)算的共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料的統(tǒng)一等效參數(shù)。統(tǒng)一等效質(zhì)量密度在400～656 Hz和896～1 028 Hz范圍內(nèi)為負(fù)值,統(tǒng)一等效體積模量在658～834 Hz和1 030～1 400 Hz范圍內(nèi)為負(fù)值。統(tǒng)一等效參數(shù)在657 Hz和1 029 Hz都為0,這是由于該頻率處單極共振和偶極共振產(chǎn)生了疊加。零值等效參數(shù)對(duì)應(yīng)著透射幅值的峰值,這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系確保求解的等效參數(shù)是正確的。如圖14b所示,統(tǒng)一等效阻抗比的實(shí)部始終為正值,統(tǒng)一等效折射率的虛部始終為負(fù)值,兩者都滿足被動(dòng)材料的要求。

(a)等效質(zhì)量密度和等效體積模量的實(shí)部

(b)等效阻抗比的實(shí)部和等效折射率的虛部圖14 共振非對(duì)稱型聲學(xué)超材料有損耗的統(tǒng)一等效參數(shù)

4 結(jié) 論

本文研究了非對(duì)稱聲學(xué)超材料的聲學(xué)特性及等效參數(shù),利用材料非對(duì)稱、幾何非對(duì)稱和共振非對(duì)稱3種模型揭示了非對(duì)稱共振特性是形成各向異性反射特性和等效參數(shù)的根本原因。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明非對(duì)稱共振特性產(chǎn)生了各向異性的反射相位和等效參數(shù),考慮材料損耗下還可獲得各向異性的反射幅值。本文還提出了改進(jìn)的直接法用于計(jì)算非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一等效參數(shù)。求解的統(tǒng)一等效參數(shù)和透射幅值間有對(duì)應(yīng)關(guān)系并且滿足被動(dòng)材料的要求,驗(yàn)證了該方法的正確性。本研究工作對(duì)設(shè)計(jì)具有各向異性反射特性的聲學(xué)超材料具有指導(dǎo)意義,并提供了一種新方法來求解非對(duì)稱幾何結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)。