淺談數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

楊麗麗

(江蘇省揚(yáng)州市高郵市臨澤中學(xué) 225600)

一、設(shè)置開放性問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出來的學(xué)生的思維比較固化、單一.比如，用函數(shù)單調(diào)性判斷大小、用向量坐標(biāo)法計(jì)算線面角、用正余弦定理來計(jì)算三角形的面積等等.但對(duì)于導(dǎo)數(shù)證明這種開放性的問題，大部分學(xué)生就無從下手了.這就是日常學(xué)習(xí)活動(dòng)不注重培養(yǎng)開放性思維的后果.數(shù)學(xué)老師仔細(xì)研究課本，提出一些開放性的問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維.

例如高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列》這一課的學(xué)習(xí).老師先向?qū)W生們講述等比數(shù)列的概念和定義，做好本節(jié)課基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué).隨后，數(shù)學(xué)老師結(jié)合高考考點(diǎn)給出幾道具體的題目，給學(xué)生們訓(xùn)練，讓學(xué)生們內(nèi)化本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí).這時(shí)，學(xué)生們接觸到了等比數(shù)列、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、首項(xiàng)、公比等數(shù)學(xué)概念.還接觸了和等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)公式.老師提出一個(gè)問題，“現(xiàn)在，我們對(duì)等比數(shù)列已經(jīng)比較了解了，請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們?nèi)绾闻袛嘁粋€(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列呢？”這就是一個(gè)開放性的問題，老師沒有給出學(xué)生具體的數(shù)字和題干，學(xué)生不需要通過計(jì)算，算出唯一的正確答案，而是表達(dá)自己的思想.不同學(xué)生的思考角度不同，給出的答案也不相同.

生1：我們已經(jīng)知道等比數(shù)列的定義:.如果題目給出了一個(gè)具體的數(shù)列，我們看它是否符合定義中的內(nèi)容，如果符合，我們認(rèn)為這是一個(gè)等比數(shù)列，如果不符合，我們認(rèn)為這不是一個(gè)等比數(shù)列.

生2：我們還學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果我們能把一個(gè)數(shù)列整理為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式，可以看出公比和首項(xiàng)，那它肯定是一個(gè)等比數(shù)列.如果不能整理出這種特殊的形式，那它就不是一個(gè)等比數(shù)列.

生3：我覺得化簡(jiǎn)為通項(xiàng)公式的形式并不簡(jiǎn)單，可能會(huì)用到很多運(yùn)算的技巧.如果題目中給出了前n項(xiàng)和，我們可以非常容易的算出通項(xiàng)公式，這樣判斷也會(huì)容易一些.

生4：如果題目中給出的是選擇題或者是判斷題，讓我們來判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列.我們也可以采用反證法.如果我能夠舉出一個(gè)例子，說明它不是等比數(shù)列，那我就不用利用數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理證明了.這樣的話也比較簡(jiǎn)單.

師：我現(xiàn)在來總結(jié)一下學(xué)生們的答案.有定義法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法以及反證法.今后我們遇到這樣的題目，要學(xué)會(huì)多種方法并用.一種方法解決不了問題時(shí)，及時(shí)的使用另一種方法，不要給自己的解題過程增加困擾.

老師先設(shè)置開放性的問題，學(xué)生給出了開放性的回答，隨后老師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié).這也是在幫助學(xué)生梳理思維，創(chuàng)造思維培養(yǎng)的空間.

二、設(shè)置趣味性問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

當(dāng)然，在實(shí)際教學(xué)中，有一些同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)問題不敏感.上課時(shí)有些老師會(huì)按照提出問題-分析問題-解決問題的過程來教授新知.下課時(shí)，同學(xué)們完成作業(yè)的過程也可以視為分析問題-解決問題的過程.所以，有些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題并不“感冒”，沒有興趣解決數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)老師還應(yīng)當(dāng)設(shè)置一些趣味性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例如高中數(shù)學(xué)《橢圓》這一節(jié)的教學(xué).這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是讓同學(xué)們理解并掌握橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.老師在導(dǎo)入新課時(shí)，提出了一個(gè)和橢圓有關(guān)的趣味問題.“同學(xué)們，你們了不了解開普勒第一定律.開普勒第一定律是這樣說的：所有的行星都圍繞著太陽(yáng)運(yùn)動(dòng).所有行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡都是橢圓.太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.而我們能不能在紙上畫出這一定理呢？如何在紙上畫出一個(gè)漂亮的橢圓呢？”想要畫出橢圓，就得了解橢圓的定義.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.我們?cè)诋嫷臅r(shí)候怎么樣才能夠保證平面上的點(diǎn)到定點(diǎn)F1、F2的距離的和不變呢？老師又向?qū)W生們介紹了一種橢圓的畫法.橢圓曲線可以用圖釘(每個(gè)焦點(diǎn)上各釘一個(gè)圖釘)、一段線和一支鉛筆把它畫出來.我們可以保證點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù).學(xué)生紛紛開始驗(yàn)證.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣非常濃厚.隨后，老師和學(xué)生一起開始了橢圓方程的推導(dǎo).

數(shù)學(xué)老師在教學(xué)時(shí)先用物理上行星的運(yùn)動(dòng)引出橢圓的概念，讓學(xué)生們對(duì)橢圓產(chǎn)生興趣.接著，提出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生們從物理故事又回到數(shù)學(xué)課本上，了解橢圓的定義.老師并沒有就此結(jié)束，而是窮追不舍，提出了一個(gè)動(dòng)手操作的問題，再度的提升學(xué)生的興趣.學(xué)生會(huì)認(rèn)為橢圓的性質(zhì)和定理都非常的奇妙，和原先學(xué)過的幾何圖形不太一樣.這時(shí)，再進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)就會(huì)顯得非常容易.其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)本身就是有趣的.只是在同學(xué)們看來，他的表現(xiàn)形式是無趣的.很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是由枯燥、乏味的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理展現(xiàn)的.學(xué)生們一直和這些數(shù)學(xué)字母、數(shù)學(xué)符號(hào)打交道.長(zhǎng)此以往，學(xué)生就認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥無聊的.老師借助一些有趣的故事，有趣的問題能夠讓學(xué)生們挖掘出定理和公式背后的趣味.目前，數(shù)學(xué)教學(xué)越來越注重突出學(xué)生的主體地位，越來越以學(xué)生為中心，越來越滿足學(xué)生的要求.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)也要實(shí)現(xiàn)“樂學(xué)”的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，樂于思考，有進(jìn)步，樂于成長(zhǎng).

三、設(shè)置啟發(fā)性問題，活化學(xué)生的探究意識(shí)

有時(shí)，數(shù)學(xué)老師為了讓課堂變得更加生動(dòng)，會(huì)開設(shè)一些探究活動(dòng).但總有一些小插曲的出現(xiàn).比如，學(xué)生不按老師的探究流程走、學(xué)生的思維和老師的思維有出入.啟發(fā)性問題則能引導(dǎo)學(xué)生按部就班的完成老師的探究活動(dòng).老師可以設(shè)置一連串的啟發(fā)性問題，活化學(xué)生的探究意識(shí)，在探究活動(dòng)中不“迷路”.

例如高中數(shù)學(xué)《合情推理與演繹推理》這一節(jié)的教學(xué).演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程.但是數(shù)學(xué)結(jié)論和證明過程的發(fā)現(xiàn)主要是靠合情推理.所以，學(xué)生們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想.本節(jié)課的重要教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生們掌握合情推理與演繹推理的概念和內(nèi)容，并且找到合情推理和演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系.在教學(xué)的初始，老師設(shè)置了一個(gè)和推理有關(guān)的探究活動(dòng).由于同學(xué)們對(duì)推理不太熟悉，所以老師和學(xué)生之間展開了較為激烈的互動(dòng).

師：在平面內(nèi)，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.同學(xué)們認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？

生：這個(gè)結(jié)論當(dāng)然是正確的啦，是我們?cè)葘W(xué)過的定理.

師：那如果把它類比到空間中，我們能夠得到什么結(jié)論呢？

生：這該如何類比呢？

師：在平面中，我們經(jīng)常研究線的問題.在空間里我們經(jīng)常會(huì)研究什么問題呢？我們經(jīng)常會(huì)研究面的問題.那我們就可以把這個(gè)結(jié)論中的線類比為空間中的面.請(qǐng)給出你的答案.

生：在空間里，若平面a⊥平面c，平面b⊥平面c，則平面a∥平面b.

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出三張白紙.通過操作驗(yàn)證你的結(jié)論.

同學(xué)們將一張白紙放在桌面上，當(dāng)作平面a.移動(dòng)剩余兩張白紙，更換平面b和平面c的位置，使其滿足“平面a⊥平面c，平面b⊥平面c”的位置關(guān)系，最后得出平面a和平面b的之間的關(guān)系.

這時(shí)，同學(xué)們清晰的認(rèn)識(shí)到推理的嚴(yán)密性和合理性.在推理中要找到前提和結(jié)論.缺少條件，我們沒有辦法推理出結(jié)論.當(dāng)我們從常見的結(jié)論出發(fā)，推理出一個(gè)新的結(jié)論時(shí)，我們要判斷它的正確性.因?yàn)檫@個(gè)新的結(jié)論沒有經(jīng)過驗(yàn)證，是單純的由我們自身得來的.經(jīng)過這個(gè)鋪墊活動(dòng)，學(xué)生們能更好的接受合情推理和演繹推理.老師能夠更好的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).其實(shí)，同學(xué)們?cè)谀X海中想一想，并不能夠完成探究活動(dòng)，還是要?jiǎng)邮植僮?動(dòng)腦又動(dòng)手.

問題本身就具有質(zhì)疑因素.所以問題能夠培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上更好的思考，完成課程學(xué)習(xí)活動(dòng).總而言之，問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值很大，值得老師仔細(xì)研究.老師應(yīng)當(dāng)探討問題拋出的時(shí)機(jī)，設(shè)計(jì)并且選擇合適的問題類型，運(yùn)用并且展現(xiàn)問題的價(jià)值.