數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：從“知識立意”轉(zhuǎn)向“思想立意”

曹 建

(江蘇省南通市通州區(qū)二窎中學(xué) 226342)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、以外顯的“做”為特征、以內(nèi)隱的“思”為核心的一種數(shù)學(xué)活動(dòng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，我們必須從“知識立意”轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)立意”，這是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)必然的價(jià)值取向.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心、關(guān)鍵特征是“手腦協(xié)同”“啟思明理”.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地觀察、操作、思考、交流，從而對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行自主、能動(dòng)、有意義的建構(gòu)、創(chuàng)造.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，培育學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

一、數(shù)學(xué)理解的重要載體

理解數(shù)學(xué)知識，知曉其內(nèi)涵與外延，洞察數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，對于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成來說至關(guān)重要.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地變“聽數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”、變“機(jī)械接受”為“主動(dòng)探究”，從而讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要載體.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效地發(fā)展學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)知識發(fā)現(xiàn)的樂趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

比如教學(xué)《探索多邊形的內(nèi)角和》，筆者賦予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的充分時(shí)空，讓學(xué)生開展主體性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).由于這一部分內(nèi)容學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)有所涉獵，因而能夠展開積極主動(dòng)地探索.比如學(xué)生用撕紙法進(jìn)行探究，比如有學(xué)生用測量法進(jìn)行探究，有學(xué)生用分成三角形的方法等進(jìn)行推理.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，學(xué)生能夠經(jīng)歷自我否定，即撕紙法、測量法等不適合四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和探索，而分割法則適用于任意多邊形的內(nèi)角和探索.在轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生形成了兩種基本的實(shí)驗(yàn)路向：其一是通過探索四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內(nèi)角和，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，即“多邊形的邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和就相應(yīng)地增加180°”；其二是直接將n邊形分成若干個(gè)三角形，進(jìn)而有效地推理、計(jì)算出多邊形的內(nèi)角和.在實(shí)驗(yàn)方法上，學(xué)生也形成了這樣的兩種路向：一是從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，將多邊形進(jìn)行分割；另一種是從多邊形的內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)，對多邊形進(jìn)行分割，等等.通過實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生建構(gòu)了多邊形的內(nèi)角和公式，形成了這樣的深刻認(rèn)識，即“從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n-3)條對角線，將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形，因而n邊形的內(nèi)角和公式就是“(n-2)×180°”.在學(xué)生探索“多邊形的內(nèi)角和”的基礎(chǔ)上，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生探索“多邊形的外角和”，學(xué)生先通過量角器測量，感性認(rèn)識多邊形的外角和不隨著邊數(shù)的變化而變化.通過拼圖實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)多邊形的外角揭下來后都可以拼成一個(gè)周角.最后我們用鉛筆一次圍繞多邊形的外角旋轉(zhuǎn)，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)，鉛筆正好旋轉(zhuǎn)了一個(gè)周角.由此學(xué)生通過轉(zhuǎn)筆實(shí)驗(yàn)，證明了多邊形的外角和就是360°.

多元化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識獲得了多元化的理解.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能夠刺激大腦并展開積極的思維.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅能幫助學(xué)生理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，更能通過親身實(shí)踐，讓學(xué)生感受到發(fā)現(xiàn)知識的快樂.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，改變了學(xué)生被動(dòng)接受知識、結(jié)論的教學(xué)現(xiàn)狀，形成了學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的教學(xué)新樣態(tài).

二、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要載體

從“知識立意”走向“素養(yǎng)立意”，不僅需要促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更需要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同樣是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要載體.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是指“共同素養(yǎng)”，而是指“關(guān)鍵素養(yǎng)”“必要素養(yǎng)”“重要素養(yǎng)”等.其中，數(shù)學(xué)猜想、發(fā)現(xiàn)能力是一個(gè)重要的維度.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被認(rèn)為是培養(yǎng)人最為重要的“DNA”分子.一個(gè)善于猜想的學(xué)生，一定是一個(gè)懂得如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的大腦分析問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題的學(xué)生.數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最為重要的確證與表征.

從根本上來說，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有兩件事情比較重要：其一是猜想方案，形成解決問題的思路；另一種是從實(shí)際的問題情境中獲得解決的路向、思路、策略等.比如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——“折紙與含有30°角的直角三角形”，可以讓學(xué)生體會(huì)折紙的神奇.這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以分為兩個(gè)“子實(shí)驗(yàn)”，即“折出含有30°角的直角三角形”“探索含有30°的直角三角形的性質(zhì)”.在做第一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，先讓學(xué)生觀看折紙視頻，然后一邊動(dòng)手操作一邊思考，并完成證明過程.在折紙的過程中，教師要適度介入，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生.比如“過一條邊的中點(diǎn)對折”，比如“過一個(gè)角的平分線對折”，等等.通過折角，學(xué)生能直觀感知30°的角所對應(yīng)的直角邊與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系.折紙只要過程正確，折出的角度是非常標(biāo)準(zhǔn)的，在折紙的過程中，學(xué)生能夠體會(huì)到幾何學(xué)的力量.最后可以通過證明，形成“30°角所對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半”.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生深刻感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生建構(gòu)幾何知識的數(shù)學(xué)模型.在這里，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有一種引導(dǎo)猜想的作用、功能，同時(shí)又兼具一種證明、驗(yàn)證的效用.通過發(fā)現(xiàn)性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，能有效地驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

著名科學(xué)家愛因斯坦說，“提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題只是一種技能而已，而提出一個(gè)問題卻需要新的視角.”數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映, 它反映各種事物、各種現(xiàn)象的本質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而催生學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).教師的作用，就是要引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證的過程，從而有效地培育學(xué)生的探究力、創(chuàng)造力.

三、數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要載體

數(shù)學(xué)創(chuàng)新是一種高級的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)最具活力的表征.從某種意義上說，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就是要培育學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格.創(chuàng)新能力是一種關(guān)鍵能力，也是一種必備品格.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅是學(xué)生創(chuàng)新的載體，更構(gòu)建了發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識的課程環(huán)境.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生敢于奇思妙想，能夠積極質(zhì)疑、超越常規(guī)、主動(dòng)創(chuàng)新.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生能夠帶著質(zhì)疑的種子、創(chuàng)新的種子走進(jìn)課堂.

比如教學(xué)《探索三角形全等的條件》，許多教師都是采用演繹證明的方法，提供給學(xué)生的都是“數(shù)學(xué)成品”，很少賦予教學(xué)時(shí)空讓學(xué)生進(jìn)行探究.因而學(xué)生沒有嘗試、實(shí)驗(yàn)、探究的機(jī)會(huì).三角形的全等的條件，主要有“角邊角”“邊角邊”“角角邊”“邊邊邊”.為了深化學(xué)生對判定方法的理解、掌握，筆者在教學(xué)中，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究.首先給學(xué)生提供一個(gè)剪好的三角形紙板，然后撕下其中的一個(gè)角，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用其中的一塊，還原成和原來完全重合的三角形，即全等三角形；其次給學(xué)生提供一個(gè)只有一條邊被破壞的殘缺三角形，引導(dǎo)學(xué)生還原和原來完全重合的三角形，即全等三角形；再次是給學(xué)生提供一個(gè)三角形紙板，然后給學(xué)生提供與三角形紙板三條邊對應(yīng)相等的小棒，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用小棒圍成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形與原來的三角板全等嗎？通過這一個(gè)個(gè)的小實(shí)驗(yàn)，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，活化學(xué)生的數(shù)學(xué)想象.由于學(xué)生不再是一味地聽教師講、看教師做，而是在充分、充足的時(shí)空范圍內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因而能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的方案設(shè)計(jì)、操作，形成了學(xué)生深度思考、深度探究的能力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給學(xué)生提供了充分的探索發(fā)現(xiàn)、嘗試錯(cuò)誤、猜想驗(yàn)證的機(jī)會(huì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要教師善于發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的閃光點(diǎn)，及時(shí)捕捉學(xué)生的思維的“偏差”，就能通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，催生學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、引導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)新.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維發(fā)展的載體、媒介，更是學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新的催化劑、動(dòng)力引擎.實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓展了學(xué)生的思維活動(dòng)空間，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更有深刻性、批判性，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的發(fā)展.

從“知識立意”轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)立意”，吁求教師的深度教學(xué)，吁求學(xué)生的深度學(xué)習(xí).作為教師，要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這樣的一個(gè)載體，超越單一的線性安排，給學(xué)生提供一個(gè)多元化的實(shí)踐平臺.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生不僅能獲得數(shù)學(xué)知識，更能感悟數(shù)學(xué)的思想方法.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不僅關(guān)心學(xué)生“知道了多少”，更關(guān)心學(xué)生“怎樣知道的”.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，追求的不僅僅是對問題的解決，對知識的理解，更追求對數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造！