平面連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的三角形解法

（山東科技職業(yè)學(xué)院，山東 濰坊 261053）

前言

連桿機(jī)構(gòu)的連桿往往作平面復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，有時(shí)需要分析連桿平面上某點(diǎn)的位移、速度和加速度。用解析法作機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析，以四桿機(jī)構(gòu)為例，如圖1所示，各桿長l1、l2、l3、l4、主動(dòng)件l1角速度ω1和p點(diǎn)位置a、b，寫出閉環(huán)向量方程L1+L2=L3+L4，其投影代數(shù)方程為：

圖1

（1-1）（1-2）兩式組成的方程組中只有θ2、θ3兩個(gè)未知數(shù)，理論上可以求出，根據(jù)幾何關(guān)系，寫出連桿平面上P點(diǎn)的坐標(biāo)：

把前面求出的θ2代入，可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)（Xp，Yp），將（1-1）、（1-2）式對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，可得到：

將（1-3）（1-4）式對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)可得到P點(diǎn)速度，對(duì)（1-3）（1-4）（1-5）（1-6）繼續(xù)對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)，可求出P點(diǎn)的加速度，致此完成P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。該過程的第一步求解θ2、θ3是整個(gè)運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，但（1-1）（1-2）組成的方程組是一個(gè)超越方程組，用基本的數(shù)學(xué)變換是不能解出的，這就需要一個(gè)更好地求解θ2、θ3的方法[1]。

一、解法與思路

為了解決求解θ2、θ3的方法，以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，構(gòu)造出如圖2所示的多個(gè)三角形。

圖2

在△ABE、△ABD、△BDE中，根據(jù)三角形邊角關(guān)系可得到：

再利用余弦定理求出BD長度，則△BDC各邊長成為已知數(shù)，在△BDC中，利用余弦定理與反正切函數(shù)結(jié)合可求出∠CBD、∠BDC，從而得到：

由式（2-1）到（2-6）即是求解θ2、θ3的過程，主動(dòng)桿轉(zhuǎn)到其他象限或轉(zhuǎn)過特殊位置時(shí)各三角形的形狀、相互位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，式（2-1）到（2-6）是否仍然成立呢？下面分四種情形進(jìn)行分析。

1.如圖3所示，曲柄在第二象限時(shí)，ED的長度為l4加AE長度，因?yàn)棣?＞90°， cosθ1＜0，AE＜0，所以式（2-3）成立，其他關(guān)系式與第一象限完全一樣。

圖3

2.曲柄處于第三象限且在左極限位置之前時(shí)，如圖4所示。

圖4

此時(shí)θ2成為△BFD的一個(gè)外角，其大小等于∠CBD與∠BDE的和，因?yàn)棣?＞180°，根據(jù)式（2-1）到（2-4）計(jì)算出的∠BDE＜0，所以式（2-5）成立，按圖θ3=π-（∠CDB-∠BDE）=π+∠BDE-∠CDB，考慮到∠BDE的符號(hào)，所以式（2-6）成立。

3.曲柄位于左極限位置之后或第四象限時(shí)，如圖5所示。

圖5

分析此時(shí)的圖形關(guān)系與各代數(shù)量的符號(hào)，其與情形（2）完全一致，（2-1）到（2-6）式都成立。如果曲柄與BC重合（兩個(gè)極限位置），其圖形位置關(guān)系與計(jì)算結(jié)果同樣如此。

4.對(duì)于曲柄處于特殊位置時(shí)，與AD重合時(shí)（圖形略），此時(shí)按圖形得到θ2=∠CBD，θ3= π-∠BDC，按（2-4）計(jì)算則得到∠BDE=0，所以（2-5） （2-6）成立式。

由此可得到計(jì)算θ2、θ3的通項(xiàng)公式（2-1）到（2-6），可據(jù)此編制程序?qū)B桿平面上的任意一點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，θ1在0—360°以一定間隔連續(xù)取值，經(jīng)過計(jì)算后可繪出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線、速度曲線、加速度曲線[2]。

二、結(jié)論與展望

通過構(gòu)造三角形的辦法，將用解析法對(duì)連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的計(jì)算過程簡化，為程序編制提供了簡易可行的算法。

本文僅對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)圖形變化關(guān)系其結(jié)論可用于雙搖桿機(jī)構(gòu)，對(duì)于雙曲柄機(jī)構(gòu)，其桿長關(guān)系，運(yùn)動(dòng)圖形變化情形更為復(fù)雜，結(jié)論是否適用尚需進(jìn)一步探討。