含吸聲層和阻尼層疊層板的動力學建模研究

陸 靜，王 青，陳 莎，王宇翔

(1. 廣西科技大學 機械與交通工程學院，廣西 柳州 545006；2.廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，廣西 柳州 545006)

多孔介質(zhì)材料可以高效可靠地控制結構的噪聲，而阻尼材料具有良好的減振性能，因此，同時敷設多孔介質(zhì)材料和黏彈性阻尼材料的復合結構可以有效提高結構的抗振性、穩(wěn)定性，并大幅降低結構噪聲，減振降噪的效果非常顯著。另一方面，含吸聲層和阻尼層的疊層結構還具有簡單可靠、價格低廉等特點，因此，此類復合結構在工程中有廣泛的應用。但是，現(xiàn)有文獻的研究對象多是僅含多孔介質(zhì)材料或僅含黏彈性材料的簡單疊層結構，對于同時敷設多孔介質(zhì)材料和黏彈性阻尼材料復合板的研究較少。目前，分析層合板動力學特性常用的方法為解析法、有限元法和半數(shù)值半解析方法。1994年，Theodorakopoulos等[1]采用傅里葉級數(shù)展開的方式求解了四邊形簡支多孔介質(zhì)薄板的彎曲振動問題。Kerwin[2]首次建立了含黏彈性阻尼材料普通夾芯板的動力學方程，但是該理論僅在黏彈性阻尼材料的阻尼系數(shù)較小并且約束層厚度較薄時才適用。解析法具有非常高的求解精度和穩(wěn)定性，但它僅適用于簡單規(guī)則的結構和特定的邊界條件，應用范圍很小，有限元法逐漸成為分析層合板的主要手段。Johnson[3]將復合板分為三層夾芯結構，用有限元軟件NASTRAN分析了夾層板結構頻率和損耗因子。Yamaguchi等[4]通過多孔介質(zhì)薄板內(nèi)部流體的三維離散方程得出內(nèi)部流體的位移表達式，結合骨架的控制方程建立了多孔介質(zhì)薄板的整體動力學方程，進而建立了疊層多孔介質(zhì)薄板的有限元近似模型，對含多孔介質(zhì)疊層板的阻尼振動特性進行了分析。鄧年春等[5]基于虛功原理和層合理論，采用四節(jié)點板單元構建出一種新型的含黏彈性阻尼層疊層板的復合板單元。劉天雄等[6]充分考慮黏彈性阻尼層縱向位移對整體復合板結構的影響，通過引入虛擬自由度，推導出疊層板的標準二階常線性系統(tǒng)模型，避免了因黏彈性材料性能屬性導致的高階非線性方程。然而，敷設阻尼層和吸聲層后結構趨于復雜，有限元法的處理也更為困難。而且，有限元法的計算精度主要依賴于網(wǎng)格的劃分，隨著頻率的增加，在計算工作量與計算精度控制上都無法得到有效的保證。因此，鄒元杰等[7-10]提出了半解析半數(shù)值方法。李軍強等[11]通過擴充狀態(tài)變量, 基于精細積分法提出了一種彈性-黏彈性復合結構動力響應的分析方法。唐國金等[12]基于能量原理提出了一種傳遞函數(shù)法，建立約束阻尼層矩形薄板的系統(tǒng)運動方程，對拓展傳遞矩陣或傳遞函數(shù)法的應用起到了積極的作用。但由于狀態(tài)向量采用位移及其高階導數(shù)，在應力邊界條件時處理較復雜。在此方法的基礎上，向宇等[13-14]借助高精度的精細積分法提出一種分析含黏彈性阻尼層疊層結構動力學特性的半數(shù)值半解析方法，該方法可以方便地應用于各種邊界條件。隨后，向宇等[15]又將該方法用于多孔介質(zhì)薄板動力學特性的分析，該方法充分考慮了流體在三個方向上的位移及其與骨架的耦合作用，具有較高的精度和穩(wěn)定性。

本文結合經(jīng)典的薄板理論和三維Biot理論，利用分層理論建立了含吸聲層和阻尼層疊層板的整合動力學控制方程，并結合邊界條件和齊次擴容精細積分方法提出了一種分析此類疊層板結構動力學特性的半解析半數(shù)值方法。該方法的狀態(tài)向量包含了位移、應力和聲學分量，可直接應用多種邊界條件，具有較高的計算精度，且由于避免了單元劃分，可適用于較高的頻率范圍。本文的建模方法、求解方法和研究成果可望為此類疊層板的動力學特性研究提供一定的理論基礎和技術支撐。

1 含吸聲層阻尼層疊層板的動力學建模

為了便于推導，文中采用以下假設：①不計板橫向變形，且三層橫向位移(撓度) 相同；②各層之間沒有滑移，層間位移連續(xù)；③基層和約束層采用Kirchhoff 假設；④只考慮黏彈層的剪切效應，忽略其縱向剛度( Kerwin 假設) ;⑤忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響。

1.1 基層板控制方程

設基板為一個矩形薄板，其x和y方向長度分別為L和b，y方向的邊界條件為兩端簡支，將物理量進行傅里葉變換并無量綱化后，可導出諧激勵作用下基層板的一階常微分方程為

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

(1g)

(1h)

式中：上標(1)為基板；ξ=x/L；u，v，w，φx分別為x，y，z三個方向的位移及轉(zhuǎn)角；Nx，Sx，Mx，Vx分別為單位長度上沿x方向的軸力、等效面內(nèi)剪力、等效橫向剪力和彎矩；px，py，pz分別為x，y，z三個方向的載荷，包括外載荷和層間的相互作用力；上標“～”為相應物理量的幅值；上標“—”為相應物理量幅值的無量綱值，系數(shù)gij(i,j=1，…，8)的表達式詳見文獻[16]。

1.2 多孔介質(zhì)薄板控制方程

采用與1.1節(jié)相同的方法，可導出諧激勵作用下多孔介質(zhì)薄板的一階常微分方程為

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2f)

(2g)

(2h)

(2i)

(2j)

(2k)

(2l)

1.3 層間相互作用力

1.3.1 法向相互作用力

基層板、黏彈性阻層、多孔介質(zhì)層之間的法向受力分析受力圖如圖1所示。

圖1 層合板之間的法向相互作用力Fig.1 Interaction normal force between laminates

由圖1可以看出，黏彈層法向的受力平衡為

1.3.2 黏彈層的切向力與偏心力矩

對于基層板和多孔介質(zhì)薄板，由kirchhoff平面假設與薄板理論，可得

(4)

對于黏彈層內(nèi)任意點的位移，采用一階剪切形變理論

w(x,y,z)=w(x,y)

(5)

由式(5)可寫出黏彈層中面的剪切應變

(6)

由胡克定律和層間的位移連續(xù)性條件可求出黏性層內(nèi)沿x和y方向的剪應力，將其進行無量綱化后可得

(7)

由圖2可知，疊層板中的黏性層剪切力對基板和多孔介質(zhì)板中面所產(chǎn)生的偏心力矩為

(8)

式中，e1,e2分別為黏彈性層中面到基層中面和多孔介質(zhì)層中面的偏心距，e1=(h1+h2)/2,e3=(h3+h2)/2。

結合式(8)，可求出偏心距所產(chǎn)生的z方向等效剪力為

(9)

圖2 黏彈性層的剪力Fig.2 Shear force of the viscoelastic layer

1.4 含吸聲層阻尼層疊層板控制方程

考慮黏性阻尼層的自重及剪切力作用的影響，式(1)和式(2)中的非齊次載荷可以寫為

(10)

結合式(1)～式(3)、式(7)～式(10)可消去層間未知的相互作用力，經(jīng)整理后可導出疊層板的動力學方程，寫成一階常微分方程的形式為

(11)

2 求解方法

2.1 邊界條件的處理

將疊層板在整個求解域劃分為NN個單元，每個單元內(nèi)通過齊次擴容精細積分法求解式(11)，可求出端點處的狀態(tài)向量，移項整理后可得

-TjZj-1+Zj=Qj

(12)

式中：j=1～NN;Zj,Zj-1為第j個單元的兩個節(jié)點的狀態(tài)向量;Tj為傳遞矩陣;Qj為外激勵引起的非齊次項。在整個求解域內(nèi)可列出NN個類似的矩陣方程。在板的兩個邊界上各有8個已知的邊界條件，將其加入后即可得出16(NN+1)個方程，求解該整合矩陣方程即可求出每個單元節(jié)點的狀態(tài)向量，以此為邊值條件，再次利用精細積分法可求出疊層板上任意點的狀態(tài)向量。

2.2 外載荷的處理

若外載荷為作用于點(x=x0,y=y0)的集中力F，該載荷可用奇異函數(shù)表示，將其沿y方向進行傅里葉展開后可得

(13)

0 0 0 0 0 0 0 0 0}T，將其代入式(11)并積分得

(14)

式中，Z+,Z-為補充單元兩端的狀態(tài)向量。

將式(13)和式(12)聯(lián)立即可求出各點的狀態(tài)向量。

若外載荷為均布載荷q，將其沿y方向傅里葉級數(shù)展開可得

將式(15)代入式(11)，可求解出結構在外載荷下域內(nèi)各點的狀態(tài)向量。

3 數(shù)值算例

表1 基層板和阻尼層的材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of the base plate and damping layer

表2 多孔介質(zhì)的材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of the porous media

表3 本文模型與有限元模型固有頻率的對比Tab.3 Comparison of nature frequencies between the present model and FEM model

圖3 本文模型與有限元模型頻響曲線的對比Fig.3 Comparison of frequency response curves between the present model and the FEM model

算例2疊層板的結構和參數(shù)同算例1，在基板上施加幅值為1 Pa的均布諧激勵，單層彈性薄板和疊層板頻率響應曲線對比如圖4所示。

圖4 疊層板和單層板頻響曲線的對比Fig.4 Comparison of frequency response curves between laminated and single-layer plate

從圖4可以明顯看出，敷設吸聲層和阻尼層后各階共振頻率都降低，共振頻率處的位移峰值也明顯下降，說明在彈性薄板上敷設多孔介質(zhì)吸聲層和阻尼層可以有效抑制結構的振動。

算例3參數(shù)、邊界條件和載荷與算例2相同，改變孔隙率、阻尼層厚度、多孔介質(zhì)層厚度，計算出的頻率響應函數(shù)如圖5～圖7所示。由圖5可知，在不同的頻率范圍，孔隙度對阻尼特性的影響不同，并不是孔隙度越大越好。其原因在于，當孔隙率增大時，多孔材料所消耗的振動能量增加，疊層板總體的結構等效質(zhì)量減小，導致振動時的響應幅值下降。但是，孔隙率增大的同時，多孔介質(zhì)薄板作為約束材料的剛度下降，導致阻尼層的剪切變形減小，從而對應共振頻率處的位移響應幅值就隨之下降。因此，需要針對不同的頻率范圍和參數(shù)討論孔隙率對材料的阻尼特性和振動特性的影響。由圖6可知，阻尼層厚度的增加可使結構的固有頻率降低，在低頻范圍內(nèi)阻尼層的厚度變化對固有頻率影響不明顯，隨著頻率增大，阻尼層厚度的影響逐漸增強?？傮w來說，隨著阻尼層的厚度增加，振動時的位移幅值也隨之下降。但是，在某些情況下，增加阻尼層厚度，結構的阻尼特性反而下降。文獻[18-19]指出，隨著黏彈性阻尼材料厚度的增加，疊層板的剛度減小，但慣性會隨之增加，導致阻尼層對結構阻尼特性的影響規(guī)律較為復雜。由圖7可知，多孔介質(zhì)層厚度的增加的影響規(guī)律與圖6類似。

圖5 不同孔隙率時疊層板頻響曲線的對比Fig.5 Comparison of frequency response curves of laminated plate with different porosity

圖6 不同阻尼層厚度時疊層板頻響曲線的對比Fig.6 Comparison of frequency response curves of laminated plate with different h2

圖7 不同多孔介質(zhì)層厚度時疊層板頻響曲線的對比Fig.7 Comparison of frequency response curves of laminated plate with different h3

4 結 論

本文利用薄板理論和Biot 理論，考慮黏彈層的法向平衡方程，以及切向作用力和偏心矩產(chǎn)生的等效力，推導含吸聲層和阻尼層疊層板的一階常微分整合控制方程。結合該模型和高精度的精細積分法，提出了一種分析疊層板結構動力學特性的半解析半數(shù)值方法，編制相應 Matlab 程序分析了此類疊層板的諧激勵響應，并采用有限元法驗證模型的正確性。相對于有限元法，本文方法不需要進行網(wǎng)格劃分，可在中高頻內(nèi)保持較高的精度和穩(wěn)定性，可為后續(xù)此類復雜結構的聲學和動力學研究提供一種新的思路，具有一定的理論參考價值。