懸吊結(jié)構(gòu)體系優(yōu)化設(shè)計及減震性能研究

譚 平，蘭 李，賀 輝，向 越，鄭曉君

(1. 廣州大學(xué)土木工程減震防災(zāi)省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心，廣東廣州 510405； 2. 廣州大學(xué)廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點實驗室，廣東廣州 510405； 3. 廣州大學(xué)工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣東廣州 510405)

0 引 言

建筑結(jié)構(gòu)隔震技術(shù)歷經(jīng)了數(shù)次地震的考驗，已發(fā)展成一種成熟的結(jié)構(gòu)減震控制方法[1]。Kelly等[2-3]對世界上隔震系統(tǒng)的歷史發(fā)展和動力反應(yīng)分析進行總結(jié)，指出鉛芯橡膠支座和摩擦擺系統(tǒng)屬于基礎(chǔ)隔震中的領(lǐng)先技術(shù)，但仍有強震過后產(chǎn)生永久殘余變形及制造和維護費用高等問題。Bakhshi等[4]提出了一種新的隔震技術(shù)，即懸掛擺隔震(SPI)系統(tǒng)。將上部結(jié)構(gòu)安裝在懸掛擺上，形成隔震體系，使整個系統(tǒng)幾乎按擺長所決定的基本周期作剛體運動。SPI系統(tǒng)的優(yōu)點是不管位移幅值多大，豎向荷載作用下是穩(wěn)定的；另外，其設(shè)計、制造和安裝過程都比較簡單。通過實際震害調(diào)查可知，懸吊部分的空間擺動能改變了建筑結(jié)構(gòu)的振動頻率，使得懸吊結(jié)構(gòu)體系能有效控制振動[5-6]。

針對懸吊結(jié)構(gòu)體系，學(xué)者們對懸吊調(diào)諧及基礎(chǔ)懸吊隔震進行了許多研究。懸吊調(diào)諧結(jié)構(gòu)體系中，Gerges等[7]對一種鋼索彈簧擺式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的相關(guān)參數(shù)進行了試驗研究，結(jié)果表明鋼索彈簧應(yīng)用于懸吊擺式調(diào)諧是一種經(jīng)濟可行的方案。Roffel等[8-9]通過對懸吊結(jié)構(gòu)進行等效線性化，研究了有無阻尼情況下懸吊調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的最優(yōu)參數(shù)。李宏男等[10-12]提出了利用懸吊質(zhì)量擺來減小結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的方法，研究了懸吊質(zhì)量擺-結(jié)構(gòu)體系參數(shù)變化的影響，利用數(shù)值分析方法探討了擺的不同懸吊方式及擺與結(jié)構(gòu)質(zhì)量比等因素對高層建筑結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響。對于基底懸吊隔震體系，Bakhshi等[4]針對一個由鉛阻尼器支撐的SPI系統(tǒng)的比例模型進行了振動臺試驗，表明其能夠有效地降低峰值加速度或峰值位移響應(yīng)。王開才等[13]采用STAAD-Ⅲ有限元計算程序?qū)Φ刃幚砗蟮膽覕[隔震結(jié)構(gòu)模型進行了動力計算分析，驗證了懸擺隔震結(jié)構(gòu)的減震效果是明顯的。魯亮等[14]在桿處設(shè)置豎向減震彈簧和耗能阻尼器，通過振動臺試驗驗證了基底懸擺隔震結(jié)構(gòu)三向隔震的有效性和可行性。

隨著隔震層位置由上往下，結(jié)構(gòu)體系表現(xiàn)出由調(diào)諧轉(zhuǎn)變至基礎(chǔ)隔震的減震機理[15]。Chai等[16]從控制角度對巨型子結(jié)構(gòu)在地震和風(fēng)荷載作用下的控制作用進行研究。譚平等[17]從巨-子結(jié)構(gòu)控制體系的能量出發(fā)，對減震機理進行了驗證。由于隔震層參數(shù)的選擇對控制效果有很大影響，Tasake等[18]經(jīng)分析得出結(jié)構(gòu)層間位移隨隔震層阻尼比的增大而減小。Ryan等[19]對不同隔震層位置及參數(shù)的層間隔震結(jié)構(gòu)的隔震效率進行了比較；宋曉等[20]對其做進一步研究，通過十層框架結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真，對比分析了基礎(chǔ)隔震、層間隔震結(jié)構(gòu)的減震效果。Villaverde等[21-22]對層間隔震結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化等相關(guān)問題進行了探討。王雪亮等[23]基于多性能目標(biāo)，對混合結(jié)構(gòu)的層間隔震進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，確定了木制隔震層的關(guān)鍵參數(shù)。

目前懸吊隔震結(jié)構(gòu)理論研究大多涉及的是傳統(tǒng)層間隔震及基底懸吊隔震，懸吊隔震層位于層間的研究還不充分。因此，本文對隔震層采用懸吊擺的懸吊結(jié)構(gòu)體系進行研究，首先推導(dǎo)兩自由度懸吊結(jié)構(gòu)體系的運動方程及其等效線性化方程，綜合考慮了上下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，對結(jié)構(gòu)體系進行參數(shù)優(yōu)化。然后定義懸吊結(jié)構(gòu)體系性能目標(biāo)函數(shù)，以性能目標(biāo)函數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)，推導(dǎo)懸吊結(jié)構(gòu)體系最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解。對相應(yīng)系統(tǒng)進行參數(shù)分析，研究不同性能指數(shù)下，最優(yōu)參數(shù)隨質(zhì)量比變化的關(guān)系。最后以某兩層剪切型框架結(jié)構(gòu)作為工程算例，通過數(shù)值分析進行驗證。

1 懸吊結(jié)構(gòu)體系分析模型

(1)

以x軸為重力勢能零勢能位置，則體系總勢能V可表示為

(2)

式中：g為重力加速度。

進一步將非保守力做功δW表示為

(3)

將式(3)代入如下拉格朗日方程

(4)

式中：qi為廣義坐標(biāo)，即(x1，θ)，x1與θ均為時間t的函數(shù)，隨t變化；Qi為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義力。

聯(lián)立上述各式，不設(shè)置線性彈簧[5]，僅考慮結(jié)構(gòu)自定心剛度，可得懸吊結(jié)構(gòu)體系非線性運動方程如下

(5)

由式(5)可知，地震作用下上部結(jié)構(gòu)會存在一個擺角θ。隨著擺角θ的增大，懸吊結(jié)構(gòu)體系上部子結(jié)構(gòu)將會形成一個較大的傾覆力矩，一旦傾覆力矩大于懸吊隔震支座極限承載能力，將會威脅到整個結(jié)構(gòu)體系的安全。因此，通常情況下懸吊隔震支座擺角θ不應(yīng)過大。在擺角θ較小的情況下，可將式(5)進一步等效線性化為以下形式

(6)

懸吊隔震層等效剛度k2為

(7)

以式(6)表示的懸吊結(jié)構(gòu)體系等效線性運動方程為基礎(chǔ)，對結(jié)構(gòu)體系進行參數(shù)分析；以式(5)表示的懸吊結(jié)構(gòu)體系非線性運動方程為基礎(chǔ)，對結(jié)構(gòu)體系進行時程響應(yīng)分析，通過時程響應(yīng)分析來驗證等效線性化的正確性。

2 結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)分析

(8)

(9)

將表1中上下部子結(jié)構(gòu)頻率比f及外激勵與下

表1 體系參數(shù)定義Tab.1 Definition of System Parameters

部子結(jié)構(gòu)頻率比λ代入式(8)，由此可得下部子結(jié)構(gòu)與上部子結(jié)構(gòu)的位移動力放大系數(shù)H1(iλ)，H2(iλ)分別為

(10)

(11)

(12)

(13)

3 懸吊隔震層優(yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化設(shè)計方法

由懸吊結(jié)構(gòu)體系力學(xué)模型可知，地震作用下，上部子結(jié)構(gòu)會存在一個擺角θ，由于擺角θ不能過大，即上部子結(jié)構(gòu)相對位移x2有一定限制，因此提出一種綜合考慮上下部子結(jié)構(gòu)位移的優(yōu)化方法。優(yōu)化方法流程見圖3，其中，α為性能目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)，[x2]為隔震支座的水平位移限值。

首先，綜合考慮上下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，定義含衡量懸吊結(jié)構(gòu)體系上部子結(jié)構(gòu)權(quán)重的性能指數(shù)α的性能目標(biāo)函數(shù)，以性能目標(biāo)函數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)，推導(dǎo)懸吊結(jié)構(gòu)體系最優(yōu)頻率比fopt與最優(yōu)阻尼比ζopt的理論解。然后，初始化α，根據(jù)質(zhì)量比及α的值，可計算懸吊層最優(yōu)阻尼比ζopt及上下部結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比fopt，由此換算得到懸吊隔震層參數(shù)(擺長L與阻尼器阻尼系數(shù)c2)。對結(jié)構(gòu)進行地震響應(yīng)分析，并對上部子結(jié)構(gòu)位移(或擺角)進行驗算，滿足要求則說明α取值合理，反之則增大α值進一步驗算。通過上述過程，可使得隔震層位移滿足要求的前提下，保證下部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)最小。

3.2 性能目標(biāo)函數(shù)定義

本文在進行懸吊隔震層優(yōu)化設(shè)計過程中，同時將下部子結(jié)構(gòu)與上部子結(jié)構(gòu)位移作為優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮上下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。事實上，根據(jù)工程實際情況確定隔震層位置之后，μ與ζ1等參數(shù)均已確定，懸吊隔震層優(yōu)化設(shè)計本質(zhì)上是計算上下部子結(jié)構(gòu)頻率比f與隔震層阻尼比ζ2的過程，由此可將層間懸吊隔震體系性能目標(biāo)函數(shù)定義為

(14)

嚴(yán)格意義上來說，根據(jù)α的取值可將懸吊結(jié)構(gòu)體系的減震目標(biāo)劃分為以下3個階段：

(1)第1階段：0<α<1時，懸吊結(jié)構(gòu)體系主要用于控制下部子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。

(2)第2階段：α=1時，懸吊結(jié)構(gòu)體系同時將上下部子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)作為控制目標(biāo)，且上下部子結(jié)構(gòu)重要性相同。

(3)第3階段：α>1時，懸吊結(jié)構(gòu)體系主要用于控制上部子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。

總體來說，隨著性能指數(shù)α的增大，上部子結(jié)構(gòu)所占性能權(quán)重比增大，懸吊結(jié)構(gòu)體系對上部子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的控制力度也將加大，地震作用下，上部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)相應(yīng)減小更多。

3.3 最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解

為使層間懸吊隔震體系性能目標(biāo)函數(shù)G(f,ζ2)最小，f與ζ2應(yīng)滿足以下條件

(15)

令下部子結(jié)構(gòu)阻尼比ζ1=0，可進一步將式(15)整理為

(16)

(17)

(18)

聯(lián)立式(16)～(18)可求得懸吊隔震層最優(yōu)阻尼比為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

同樣可求得上下部子結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比為

(24)

(25)

3.4 參數(shù)分析

為了驗證本文推導(dǎo)的懸吊隔震層最優(yōu)阻尼比ζopt及上下部子結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比fopt理論解的正確性，有必要進行相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)分析。圖4為性能指數(shù)α與質(zhì)量比μ取不同值時，懸吊隔震層最優(yōu)阻尼比ζopt及上下部子結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比fopt的理論解與數(shù)值解。其中，ζopt與fopt數(shù)值解的取值范圍分別為[0，1.6]和[0，1]，計算步長均為0.01。從圖4可以看出，ζopt與fopt的理論解和數(shù)值解基本吻合。

需要注意的是，ζopt數(shù)值解的計算精度通常會受參數(shù)取值范圍與計算步長等因素的影響，因此ζopt數(shù)值解可能在局部區(qū)域內(nèi)離散度較大。例如μ大于10時，ζopt數(shù)值解離散度較大，導(dǎo)致ζopt數(shù)值解與理論解之間存在較大的差別；計算fopt的最大相對誤差為3.42%，ζopt的最大相對誤差為4.72%，說明本文推導(dǎo)的ζopt與fopt理論解是正確的。由此可見本文推導(dǎo)ζopt與fopt理論解具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點。從圖4還可以觀察到以下現(xiàn)象：

(1)隨著性能指數(shù)α的增大，ζopt與fopt均會增大，結(jié)構(gòu)體系所需的最優(yōu)擺長減小。這是由于α的增大導(dǎo)致上部子結(jié)構(gòu)所占性能權(quán)重比也隨之增大，此時需要更大的隔震層剛度與阻尼系數(shù)來降低上部子結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

(2)最優(yōu)阻尼比ζopt與質(zhì)量比μ呈正相關(guān)關(guān)系；最優(yōu)頻率比fopt與質(zhì)量比μ呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

(3)ζopt與fopt在質(zhì)量比為1附近尤其是小于1時，斜率較大，說明質(zhì)量比較小時，懸吊結(jié)構(gòu)體系對阻尼比及頻率比更為敏感。

4 算例驗證及分析

以某兩層剪切型框架結(jié)構(gòu)作為工程算例，對層間懸吊隔震體系減震性能進行數(shù)值分析。其中無懸吊隔震層的結(jié)構(gòu)模型如圖5所示；設(shè)置有懸吊隔震層的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示(其中上部子結(jié)構(gòu)簡化為單層質(zhì)量塊)。結(jié)構(gòu)第1層與第2層質(zhì)量均為1×103t，剛度系數(shù)均為6.17×104kN·m-1，結(jié)構(gòu)阻尼比取0.05。性能指數(shù)α分別為0.5，1，2，根據(jù)本文推導(dǎo)的理論公式，計算得到不同情況下的懸吊隔震層最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，如表2所示。

根據(jù)懸吊隔震層優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，對結(jié)構(gòu)位移動力放大系數(shù)進行分析，結(jié)果如圖6所示。從圖6可以觀察到，隔震結(jié)構(gòu)上部子結(jié)構(gòu)與下部子結(jié)構(gòu)位移動力放大系數(shù)峰值均小于非隔震結(jié)構(gòu)，說明懸吊隔震層位于層間能同時降低上部子結(jié)構(gòu)與下部子結(jié)構(gòu)

表2 懸吊隔震層優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Tab.2 Optimal Design Results of Suspension Isolation Layer

的位移響應(yīng)峰值。值得一提的是，隨著性能指數(shù)α的增大，下部子結(jié)構(gòu)位移動力放大系數(shù)峰值會增大，而上部子結(jié)構(gòu)位移動力放大系數(shù)峰值會減小，這一現(xiàn)象與α的定義是相符的。

為了對懸吊結(jié)構(gòu)體系減震性能進行時程驗證，以El Centro(EW,1940年)和Taft(EW,1952年)兩組經(jīng)典地震記錄作為輸入，并將地震記錄幅值調(diào)整為70 cm·s-2。以式(5)表示的懸吊結(jié)構(gòu)體系非線性運動方程為基礎(chǔ)，基于MATLAB/Simulink平臺使用Runge-Kutta法對體系進行時程響應(yīng)分析。

圖7為El Centro地震作用下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)時程。從圖7可以看出，結(jié)構(gòu)響應(yīng)均在0～15 s內(nèi)占據(jù)一定的成分，隨后逐漸衰減并在25 s后又出現(xiàn)一定成分，主要是由于El Centro地震記錄在0～15 s初始階段有相對較強烈的脈沖運動。相對于非隔震結(jié)構(gòu)，懸吊結(jié)構(gòu)體系的上部子結(jié)構(gòu)與下部子結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)明顯減小。其中，上部子結(jié)構(gòu)減震機理類似隔震，因此相對于下部子結(jié)構(gòu)來說，位移減小更多；上部子結(jié)構(gòu)位移滿足小于0.2L的要求[4]，驗證了等效線性化的正確性。圖8為El Centro地震作用下結(jié)構(gòu)懸吊隔震層擺角大小。從圖8可以看出，采用層間懸吊結(jié)構(gòu)體系進行優(yōu)化設(shè)計后的結(jié)構(gòu)，最大擺角不超過2.5°。

圖9為Taft地震作用下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)時程。從圖9可以看出，相對于非隔震結(jié)構(gòu)，懸吊結(jié)構(gòu)體系的上部子結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)明顯減小，下部子結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)在地震動初始階段減震效果不明顯。隔震結(jié)構(gòu)在0～8 s內(nèi)位移響應(yīng)相對于非隔震結(jié)構(gòu)還略有增大，主要原因是上部子結(jié)構(gòu)對下部子結(jié)構(gòu)起到一定的調(diào)諧作用，其在地震剛發(fā)生的短時間內(nèi)沒有發(fā)揮，能量還來不及向上部轉(zhuǎn)移；上部子結(jié)構(gòu)位移滿足小于0.2L的要求[4]，驗證了等效線性化的正確性。圖10為Taft地震作用下結(jié)構(gòu)懸吊隔震層擺角大小。從圖10可以看出，采用層間懸吊結(jié)構(gòu)體系進行優(yōu)化設(shè)計后的結(jié)構(gòu)最大擺角不超過1°。

綜上可知，懸吊隔震結(jié)構(gòu)體系對于不同場地類型的地震記錄均有一定的減震效果，且對于隔震層位于層間的懸吊隔震結(jié)構(gòu)體系，上部子結(jié)構(gòu)減震效果更好，并且可以通過改變性能指數(shù)α的值來調(diào)整上下部結(jié)構(gòu)減震性能。

為了對懸吊結(jié)構(gòu)體系減震性能進行定量分析，表3給出了性能指數(shù)α取不同值情況下的結(jié)構(gòu)位移減震率(非隔震結(jié)構(gòu)與隔震結(jié)構(gòu)位移差值與非隔震結(jié)構(gòu)位移的比值)，其中Taft地震記錄下前期控制效果還未發(fā)揮段在計算峰值減震時不考慮。從表3

表3 地震作用下懸吊層間隔震體系位移減震率Tab.3 Displacement Attenuation Rate of Suspension Interlayer Isolation System Under Earthquakes

可以直觀地看出，隨著α的增大，懸吊隔震體系下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值與均方差的減震率會下降，但是上部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值與均方差減震率略有上升。以結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值為例，α由0.5增加至2.0時，El Centro地震記錄及Taft地震記錄下懸吊隔震體系下部子結(jié)構(gòu)位移減震率分別下降了19.51%和26.16%，而上部子結(jié)構(gòu)位移減震率分別上升了9.52%和11.82%，可見上部子結(jié)構(gòu)位移減震率的上升速度小于下部子結(jié)構(gòu)位移減震率的下降速度。盡管α的增大會降低下部子結(jié)構(gòu)的位移減震率，但是只要α取值合理，懸吊結(jié)構(gòu)體系能同時有效控制上部子結(jié)構(gòu)與下部子結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)。以α=1.0為例，兩地震作用下下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值減震率分別為25.16%和26.97%，上部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值減震率高達67.45%和74.02%。

5 結(jié) 語

(1)提出了懸吊結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方法，通過定義性能指數(shù)α，同時將懸吊結(jié)構(gòu)的下部子結(jié)構(gòu)與上部子結(jié)構(gòu)反應(yīng)作為優(yōu)化目標(biāo)，推導(dǎo)了懸吊隔震層最優(yōu)設(shè)計參數(shù)理論解，參數(shù)分析結(jié)果表明，理論解具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點。

(2)隨著性能指數(shù)α的增大，上部子結(jié)構(gòu)所占性能權(quán)重比增大，懸吊結(jié)構(gòu)體系對上部子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的控制力度也將加大。

(3)懸吊隔震層最優(yōu)阻尼比ζopt與質(zhì)量比μ呈正相關(guān)關(guān)系；上下部子結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比fopt與質(zhì)量比μ呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。ζopt與fopt在μ為1附近尤其是小于1時，斜率較大，變化較快，即此時懸吊結(jié)構(gòu)體系對阻尼比及頻率比更為敏感。

(4)通過算例分析可得，當(dāng)性能指數(shù)α=1.0時，El Centro地震記錄結(jié)構(gòu)體系上下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值減震率分別為67.45%和25.16%，Taft地震記錄下結(jié)構(gòu)體系上下部子結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值減震率分別為74.02%和26.97%。結(jié)果表明，懸吊隔震層位于層間的懸吊結(jié)構(gòu)體系對于不同場地類型的地震記錄下，均能同時有效控制上部子結(jié)構(gòu)與下部子結(jié)構(gòu)地震位移響應(yīng)。