內(nèi)波的相似律及其實驗室量化模擬關系

姚志崇，馬向能，趙 峰，劉 樂

（中國船舶科學研究中心a.深海載人裝備國家重點實驗室；b.水動力學重點實驗室，江蘇無錫214082）

0 引 言

試驗研究是最重要的內(nèi)波研究手段，包括海洋實測和實驗室模擬。由于海洋實測耗費巨大、周期長，因此，有關內(nèi)波的大量研究是在分層流實驗室中開展的。為了試驗的方便或分析的方便，實驗室中往往對實際分層環(huán)境做了大量的簡化和近似。分層形式采用躍變分層或線性分層，以方便與理論分析結果比較，分層的密度差值或密度梯度比實際海洋的大了若干倍，以獲得更強的內(nèi)波信號方便觀察和測量[1～2]。然而，一直以來,人們對能否在實驗室的條件下模擬海洋中大尺度大范圍傳播的內(nèi)波心存疑慮。

在研究內(nèi)波的基本特性和一般規(guī)律時，這些簡化或近似的影響往往沒有考慮。但水下航行體激發(fā)內(nèi)波問題，以及內(nèi)波對海洋結構物的作用力問題，有明確的工程應用需求，在實驗室中開展縮比模擬試驗研究時，必須考慮海洋的實際分層環(huán)境[3～6]。海洋分層環(huán)境如何縮比模擬，縮比后實驗測量結果與實尺度的對應關系如何,分層簡化近似后試驗結果的合理性如何，簡化近似對試驗結果的影響如何，在研究內(nèi)波傳至水面的尾跡信號特征時,還有表面波的干擾問題，在以往的研究中，鮮有深入的探討分析。

本研究從流動的力學相似條件出發(fā)，分析了內(nèi)波的相似關系，并采用內(nèi)波預報模型[7～9]分析了分層結構和分層密度差對內(nèi)波特征的影響，闡明了內(nèi)波相似的條件，還分析了內(nèi)波和表面波相似的制約關系，厘清了實驗室量化模擬關系，為內(nèi)波尾跡的實用化研究打下了基礎[10]。

1 分層流中內(nèi)波相似關系分析

分層流中內(nèi)波仍然是流體力學現(xiàn)象，仍然遵守流動的力學相似原理。分層流中內(nèi)波相似主要涉及海洋分層結構相似問題和重力場相似問題。

1.1 海洋分層結構相似問題

幾何相似是指模型與實型的全部對應線性長度的比例相等。在船舶流體力學中，模型縮尺比一般指的是試驗物理船模的縮尺比，即船模與實船幾何相似。實際上，幾何相似還應包括船舶周圍水體的相似。但由于船行流場是擾流流場，周圍的水域一般較大，水體的邊界對流場影響可以忽略，水體的幾何相似通常可以不考慮。然而，內(nèi)波是由水下航行體擾動分層流體產(chǎn)生，且內(nèi)波的尺度較大，內(nèi)波的波長或波幅相對于水深以及分層參數(shù)（躍層厚度、躍層深度等）不是一個小量。因此，研究水下航行體擾動分層流體產(chǎn)生的內(nèi)波時，必須考慮分層流體分層結構的幾何相似。

海洋分層情況因季節(jié)不同和海域不同而各異?？s比模擬試驗研究水下航行體在分層海洋中產(chǎn)生的內(nèi)波時，為了滿足分層結構的幾何相似，需要針對具體海域的實際分層情況進行分層流體的模擬。

典型的海洋分層結構由密度梯度很小的上均勻?qū)印⒚芏溶S層和密度梯度很小的下均勻?qū)咏M成，如圖1所示。

為了分析的方便，將海洋躍層做一些簡化，如圖2所示，上均勻?qū)用芏染|(zhì)不變，躍層為密度梯度很大的線性分層，下均勻?qū)用芏纫簿|(zhì)不變。描述這種分層結構的控制參數(shù)有：上均勻?qū)雍穸萮1，密度ρ1；躍層厚度Δh，密度差Δρ；下均勻?qū)雍穸萮2，密度ρ2；總水深H。其中，H = h1+ Δh+ h2，Δρ= ρ2- ρ1。

圖1 海洋分層結構示意圖Fig.1 Sketch of the structure of the stratified ocean

圖2 三分層結構示意圖Fig.2 Sketch of three sections of the stratified ocean

在研究內(nèi)波時，為了分析的方便，還經(jīng)常采用線性分層和兩層分層。躍層的厚度若很大，擴展至水體上邊界和下邊界，則演變?yōu)榫€性分層；躍層的厚度若很小，則演變?yōu)閮蓪臃謱印?/p>

1.2 重力場相似問題

由于內(nèi)波是重力作用下產(chǎn)生的力學現(xiàn)象，分層流體中，產(chǎn)生內(nèi)波的作用力確切地說應該是重力和浮力形成的合力，俗稱“約化重力”。因此，內(nèi)波必須考慮重力場相似，即傅氏數(shù)必須相等，區(qū)別于自由面表面波，重力場相似準則又稱為內(nèi)傅氏準則。

對于兩層流體，內(nèi)傅氏數(shù)為

式中，L為特征長度，v為航行速度，g′為約化重力加速度，表達式為

式中，Δρ為分層密度差，為ρ0分層流體當?shù)氐拿芏取?/p>

可以看到，式（1）與我們熟知的表面波傅氏數(shù)的表達形式很相近。唯一的區(qū)別是表面傅氏數(shù)表達

式中的重力加速度是g,而內(nèi)傅氏數(shù)表達式中的約化重力加速度是g′。

對于連續(xù)分層流體（也可以是線性分層，甚至是任意分層），內(nèi)傅氏數(shù)為

式中，N為浮力頻率，表達式為

由內(nèi)傅氏數(shù)動力相似準則可知，約化重力作用下相似的內(nèi)波流場、速度、尺度和約化重力（也可以說是密度差或密度梯度）的比例尺受式（1）或式（3）制約，不能任意選取。

2 分層結構對內(nèi)波尾跡特征的影響分析

上一章分析的是內(nèi)波相似的嚴格條件，但在實際縮比模型試驗時，往往不能完全滿足上述相似條件。這就需要了解內(nèi)波隨有關參數(shù)的變化關系，確定哪些因素是主要因素，哪些是次要因素。

本章將采用內(nèi)波理論預報模型[7-9]分析分層環(huán)境參數(shù)對內(nèi)波尾跡的影響關系，為海洋分層環(huán)境的實驗室模擬提供參考和指導。內(nèi)波尾跡遙感探測技術研究中，比較關心內(nèi)波傳至水面的尾跡特征，內(nèi)波水面尾跡流場的散度值反映了尾跡的強弱。因此，下面的分析中著重給出了內(nèi)波水面尾跡流場的散度值隨有關參數(shù)的變化關系。

按照圖2所示的三分層結構示意圖，近似模擬海洋躍層結構。參考海洋分層數(shù)據(jù)，總水深H取為90 m，上均勻?qū)雍穸萮1為25 m，密度ρ1為1 021.26 kg/m3；躍層厚度Δh為10 m，密度差Δρ為3.13 kg/m3；下均勻?qū)雍穸萮2為55 m，密度ρ2為1 024.39 kg/m3。

為了分析分層結構對內(nèi)波尾跡特征的影響，改變躍層厚度、密度差等參數(shù)，進行對比分析。研究對象水下航行體的長L取為100 m，直徑D為10 m，位于躍層中心30 m處。

圖3（a）是躍層密度差相同、厚度不同時，內(nèi)波水面尾跡隨航行速度U變化的曲線對比。躍層厚度取5 m、10 m、30 m 和60 m 不等，圖中縱坐標是航行體下游10L橫斷面處水面尾跡流場散度最大值（下同）。從圖中可以看出，臨界速度（指散度取得最大值時的水下航行體速度）隨躍層厚度變大逐漸變小，對應的尾跡最大值逐漸變大?？梢姡S層密度差相同、躍層厚度不同時，內(nèi)波尾跡的臨界速度不同，對應的尾跡最大值也不同。這說明躍層厚度對尾跡特征有影響。

圖3（b）是躍層厚度相同、密度差不同時，內(nèi)波水面尾跡隨航行速度v 變化曲線對比，密度差取3.13 kg/m3和6.26 kg/m3。從圖中可以看出，臨界速度隨密度差變大逐漸變大，對應的尾跡最大值也逐漸變大。這說明躍層的密度差對尾跡特征有影響。

圖3 內(nèi)波水面尾跡隨航行速度變化曲線對比Fig.3 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature versus moving velocity

改變躍層厚度和密度差都可以改變躍層處的密度梯度，而描述內(nèi)波重力相似的內(nèi)傅氏數(shù)取決于密度梯度。因此，將航行速度用內(nèi)傅氏數(shù)無量綱表達，同時將水面尾跡流場散度用浮力頻率無量綱表達，進一步分析分層結構對內(nèi)波尾跡的影響規(guī)律。圖4（a）和圖4（b）分別是與圖3（a）和圖3（b）對應的尾跡變化曲線。

從圖4（a）可以看出，密度差相同、躍層厚度不同時，內(nèi)波水面尾跡的臨界內(nèi)傅氏數(shù)不同。躍層厚度不同，意味著分層結構的幾何相似不滿足。這說明內(nèi)波相似必須滿足幾何相似。因此，模擬分層環(huán)境時必須保證分層結構幾何相似。

但是從圖4（b）中可以看出，躍層厚度相同、密度差不同時，內(nèi)波水面尾跡的臨界內(nèi)傅氏數(shù)基本相同。這說明雖然改變躍層厚度和密度差都可以改變躍層處的密度梯度，但是密度差的不同對尾跡隨航行速度變化規(guī)律的影響，可以通過內(nèi)傅氏數(shù)無量綱化處理表達，即躍層厚度相同、密度差不同仍滿足內(nèi)傅氏數(shù)重力相似準則。內(nèi)傅氏數(shù)相等意味著對應的內(nèi)波波形相似，但同樣的躍層厚度時，密度差值越大，尾跡信號越強。這一認識對于實驗室中模擬內(nèi)波非常重要。實驗室模型尺度下內(nèi)波信號尾跡很弱，為了方便測量或者使信號能夠達到可被測量的強度，可在保持分層水體結構幾何相似的前提下，采用增加分層流的密度差值來實現(xiàn)。

圖4 內(nèi)波水面尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化曲線對比Fig.4 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature versus internal Froude number

3 實驗室縮比模擬換算關系分析

為了論證實驗室中如何縮比模擬分層環(huán)境，下面分析不同尺度時分層流體中內(nèi)波尾跡的特征。將幾何尺度縮小100倍，此時總水深為0.9 m，與分層流實驗水池能夠模擬的總水深相當?？s比后采用的水下航行體模型長為1 m，直徑為0.1 m，潛深0.3 m。

圖5 是密度差值相等、不同幾何尺度時內(nèi)波水面尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化的曲線對比。圖中水面尾跡流場散度值采用浮力頻率進行無量綱化處理?？梢钥吹?，不同尺度時內(nèi)波尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化曲線吻合良好。這說明不同尺度時，內(nèi)波滿足內(nèi)傅氏數(shù)重力相似準則，對分層流進行縮比模擬研究內(nèi)波是可行的，可按內(nèi)傅氏數(shù)相似準則進行模型尺度到實尺度內(nèi)波尾跡的換算。

圖6是三種不同的密度差值時，縮比模型幾何尺度下，內(nèi)波水面尾跡隨水下航行體運動速度變化的曲線對比。密度差值分別采用3.13 kg/m3、12.52 kg/m3和25.04 kg/m3（實驗室中可以配置濃鹽水，分層密度差可以遠大于實際海洋的密度差）。從圖6 可以看出，相同的分層結構下，躍層的密度差值越大，臨界速度越大，對應的尾跡信號也越強。除了尾跡信號強利于測量外，臨界速度越高也越便于開展試驗。這是因為激發(fā)內(nèi)波的臨界速度并不是太高，如圖6所示，密度差為3.13 kg/m3時臨界速度只有0.07 m/s 左右，如此低的航速，需要驅(qū)動電機處于很低頻的狀態(tài)才能獲得，而特別低頻的時候，電機運行不穩(wěn)定，導致模型拖曳速度不穩(wěn)定。

圖5 不同幾何尺度時內(nèi)波水面尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化曲線對比Fig.5 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different scales versus internal Froude number

圖6 不同密度差值時內(nèi)波水面尾跡隨航行速度變化曲線對比Fig.6 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different densities versus moving velocity

如圖7所示，運動速度采用內(nèi)傅氏數(shù)無量綱化表達?？梢钥吹?，三種不同密度差的工況對應的臨界內(nèi)傅氏數(shù)是相等的，只是尾跡信號強度的大小不一樣。

如圖8所示，內(nèi)波水面尾跡采用分層流體的浮力頻率歸一化表達。可以看到，三種工況下內(nèi)波水面尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化規(guī)律基本一致。這意味著分層流體躍層處密度差的不同帶來的內(nèi)波尾跡也不同，可以通過無量綱的方法進行歸一化處理，這為試驗室中采用大密度差分層流試驗研究內(nèi)波提供了依據(jù)。

圖7 不同密度差值時內(nèi)波水面尾跡隨內(nèi)傅氏數(shù)變化曲線對比Fig.7 Comparison of the graphs of internal wave surface wake signature with different densities versus internal Froude number

圖8 不同密度差值時內(nèi)波水面尾跡無量綱值隨內(nèi)傅氏數(shù)變化曲線對比Fig.8 Comparison of the graphs of dimensionless internal wave surface wake signature with different densities versus internal Froude number

4 內(nèi)波和表面波重力相似的制約關系

在研究水下航行體內(nèi)波傳至水面的尾跡特征時，水下航行體也會不可避免地擾動自由面激發(fā)表面波。實際問題中，水下航行體的水面尾跡既有內(nèi)波傳至水面的尾跡，又有表面波的尾跡。內(nèi)波和表面波的重力相似關系能夠同時滿足嗎？同時滿足的條件是什么？這些問題還從未有人考慮過，下面對其加以分析說明。

表面波重力相似須滿足表面傅氏數(shù)相似準則。表面傅氏數(shù)表達式為

若要求實型與模型滿足表面傅氏數(shù)相等，則有

式中，下標m表示模型，下標s表示實型（下同）。

對于兩層流體中的內(nèi)波，由式（1）和式（2）可知，若要求實型與模型滿足內(nèi)傅氏數(shù)相等，則有

式（6）和式（7）同時成立，即表面波和內(nèi)波同時滿足重力相似律，須有

又知，無論模型還是實型，密度差值相對于密度值是一個小量，所以有ρ0s≈ρ0m。式（8）可化為

因此，兩層流體中表面波和內(nèi)波重力相似準則同時成立的條件，是模型和實型的分層密度差相等。

對于連續(xù)分層流體中的內(nèi)波，由式（3）和式（4）可知，滿足內(nèi)傅氏數(shù)相似準則，有

式（6）和式（10）同時成立，即表面波和內(nèi)波同時滿足重力相似律，須有

同樣，ρ0s≈ρ0m。式（11）可化為

因此，連續(xù)分層流體中表面波和內(nèi)波重力相似準則同時成立的條件，是模型和實型的密度梯度比與幾何縮尺比成反比關系。

而且在幾何相似的前提條件下，式（12）可化為

因此，在幾何相似的前提條件下，連續(xù)分層流體中表面波和內(nèi)波重力相似準則同時成立的條件，也是模型和實型的密度差相等。

前面講到為提高內(nèi)波尾跡信號的強度，在保持分層水體結構幾何相似的前提下，可采用增加密度差值來實現(xiàn)。這樣勢必導致內(nèi)波和表面波重力相似準則不能同時滿足。這一矛盾如何解決呢？

5 內(nèi)波尾跡和表面波尾跡特征對比分析

內(nèi)波和表面波都是重力作用下產(chǎn)生的水波，都是重力波。理論分析時可以把二者分開來表達，但實驗室或?qū)嶋H海洋中水下航行體運動時二者會同時存在。

采用理論分析方法，對模型尺度下（總水深0.9 m，密度差為25.04 kg/m3）的內(nèi)波和表面波尾跡進行分析。圖9 給出了內(nèi)波和表面波水面尾跡隨水下航行體運動速度變化的對比曲線?？梢钥闯?，內(nèi)波尾跡對應的運動速度較低，在較高的速度時才產(chǎn)生明顯的表面波尾跡。

中等速度時，內(nèi)波尾跡和表面波尾跡并存。圖10給出了速度為0.7 m/s時內(nèi)波和表面波水面尾跡波形分布圖。可以看出，此工況下內(nèi)波尾跡由散波組成，而表面波主要由橫波組成，二者的差異非常明顯。

圖9 內(nèi)波和表面波水面尾跡隨水下航行體運動速度變化規(guī)律對比曲線Fig.9 Comparison of the graphs of internal waves and surface waves signature versus moving velocity

圖10 速度為0.7 m/s時內(nèi)波和表面波水面尾跡波形特征對比Fig.10 Comparison of the figures of internal waves and surface waves at the velocity of 0.7 m/s

因此，采用大密度差進行內(nèi)波尾跡縮比試驗模擬，表面波和內(nèi)波重力相似準則不能同時滿足時，低速工況表面波很弱，水面尾跡以內(nèi)波尾跡為主，可按內(nèi)波傅氏數(shù)相似準則進行尾跡的縮比換算；高速工況內(nèi)波很弱，水面尾跡以表面波尾跡為主，可按表面波傅氏數(shù)相似準則進行尾跡的縮比換算；中等速度時，根據(jù)內(nèi)波和表面波特征的差異，通過圖像信號處理將內(nèi)波和表面波分離開來，分別按內(nèi)波傅氏數(shù)和表面波傅氏數(shù)進行換算。

6 結 論

本文梳理了內(nèi)波的相似律以及內(nèi)波和表面波的制約關系，在分析不同分層參數(shù)和不同尺度下內(nèi)波尾跡特征的基礎上，論證了實驗室中模擬海洋分層環(huán)境需要滿足的條件。研究結果表明：

（1）分層結構的幾何特征對內(nèi)波尾跡有明顯的影響，內(nèi)波研究中必需保持分層結構的幾何相似；

（2）躍層的密度差大小對尾跡有影響，但分層結構幾何相似的流體，內(nèi)波尾跡信號的強度可以通過浮力頻率無量綱化處理，這為實驗室研究中獲得較強的內(nèi)波信號以方便測量而采用較大的密度差提供了依據(jù)；

（3）內(nèi)波尾跡和表面波尾跡有一定的可區(qū)分性，模型尺度下尾跡研究結果可按內(nèi)傅氏數(shù)和表面傅氏數(shù)分別換算對應的實尺度結果。

上述認識很好地回答了實驗室縮比模擬內(nèi)波研究結果，以及如何換算給出海上實尺度結果，并且消除了實驗室中通常采用大密度差能否模擬海洋分層環(huán)境的疑惑。

本文的研究成果是采用勢流理論針對體效應內(nèi)波而開展的，對速度較高時尾流效應激發(fā)的內(nèi)波沒有進行分析，這方面涉及湍流效應內(nèi)波激發(fā)機理及傳播演化特性問題，目前理論預報方法還不成熟，有待進一步研究。