解三角形中的最值、范圍問題

◇ 山東 馮海俠

在新高考形勢(shì)下,“解三角形”應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)在第17題或第18題的位置,一般都屬于中等或中等偏下難度的題目,是學(xué)生必拿分的題．高考對(duì)正弦定理和余弦定理的考查較為靈活,題型多變、綜合性強(qiáng),有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．這類問題簡單,但部分學(xué)生卻拿不到滿分,尤其是求最值或范圍的問題．下面筆者以兩道高考題為例來歸納這類問題的解答方法及技巧,希望能幫助讀者突破瓶頸,提高學(xué)習(xí)效率．

例1(2019年全國卷Ⅲ理18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinA．

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形,且c＝1,求△ABC面積的取值范圍．

解析

又因?yàn)锽∈(0,π),所以,則0,所以,則,即

所以

又因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,故且,所以則,即,所以

例2(2013年全國卷Ⅱ理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a＝bcosC＋csinB．

(1)求B；

(2)若b＝2,求△ABC面積的最大值．

解析

(1)由已知條件及正弦定理得

又因?yàn)锳＝π－(B＋C),故

由①②得sinB＝cosB,又B∈(0,π),所以

(2)△ABC的面積,由已知條件及余弦定理得,故當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí),等號(hào)成立．因此,即△ABC面積的最大值為

解三角形中的最值及范圍問題主要有兩種方法,其一是利用基本不等式求最大值或最小值,這類問題多與余弦定理相結(jié)合,常見形式如下．

(1)a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2bccosA,從而求出bc的最大值；

在使用基本不等式時(shí)一定不要忘了等號(hào)的驗(yàn)證,同時(shí),要將所求式子轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的函數(shù),大多情況下是轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個(gè)角的函數(shù),利用三角函數(shù)性質(zhì)及角的條件求解,有時(shí)也轉(zhuǎn)化為某個(gè)邊的函數(shù),再結(jié)合邊的范圍求解．解三角形中的最值和范圍問題是重點(diǎn)也是難點(diǎn),綜合性較強(qiáng),所以學(xué)生不僅要有扎實(shí)的基本功,還要靈活應(yīng)變,掌握做題技巧,這樣在高考中才能取得滿意的成績．