小學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)準(zhǔn)備

徐文彬

“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”，毫無(wú)疑問(wèn)，應(yīng)該是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的應(yīng)有之義，也應(yīng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)然追求。那么，什么是數(shù)學(xué)思維呢？小學(xué)數(shù)學(xué)教師又需要做好哪些功課或準(zhǔn)備工作呢？

一、什么是數(shù)學(xué)思維

思維指的是“人們的理性認(rèn)識(shí)活動(dòng)”。思維“作為對(duì)客觀存在、物質(zhì)及其規(guī)律性的反映”，它是“以概念、判斷、推理、假說(shuō)和理論等形式，反映客觀世界的能動(dòng)的過(guò)程”。因此，從哲學(xué)認(rèn)識(shí)論的視角來(lái)看，數(shù)學(xué)思維應(yīng)該是指，人們借助數(shù)學(xué)概念、判斷或命題、推理、假說(shuō)和理論等形式，對(duì)客觀世界的量（包括數(shù)與形兩個(gè)層面）的這一側(cè)面及其規(guī)律性的理性的和能動(dòng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程與活動(dòng)。

鑒于數(shù)學(xué)思維對(duì)象的“客觀世界的量”這一獨(dú)特性，數(shù)學(xué)思維具有抽象性、建構(gòu)性和過(guò)程的二重性，以及結(jié)果的雙重性。具體而言，其思維的抽象性是指，數(shù)學(xué)思維之抽象的間接性、結(jié)果的多樣性和某種程度上的“任意性”（思想的自由創(chuàng)造）；其思維的建構(gòu)性是指，相較于“客觀世界的量”而言，數(shù)學(xué)思維之對(duì)象的“思想建構(gòu)”（數(shù)學(xué)的對(duì)象是思想事物）或“形式建構(gòu)”（數(shù)學(xué)的對(duì)象也是形式符號(hào)）；其思維過(guò)程的二重性是指，就實(shí)際發(fā)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)而言，不僅存在著由“非形式”到“形式”的過(guò)渡（抽象或概括）過(guò)程，同時(shí)也存在著由“形式”到“非形式”的“具體化”（表象和直覺(jué)）過(guò)程；其思維結(jié)果的雙重性是指，不論是數(shù)學(xué)的陳述性知識(shí)還是數(shù)學(xué)的程序性知識(shí)，其實(shí)質(zhì)上都包含著對(duì)象和過(guò)程這兩個(gè)層面。

由此可見(jiàn)，“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”這一應(yīng)然追求并非易事。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要想在課堂教學(xué)中真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而不是僅僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)與技巧，就應(yīng)該至少要做好以下幾項(xiàng)功課或準(zhǔn)備工作，其中深刻領(lǐng)會(huì)“數(shù)學(xué)課標(biāo)”中的課程目標(biāo)，應(yīng)該是開(kāi)展“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”活動(dòng)的首要任務(wù)。

二、深刻領(lǐng)會(huì)“數(shù)學(xué)課標(biāo)”中的課程目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確指出，數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是，“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力；了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度”。而且還從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度等四個(gè)方面給予了具體闡述。

其實(shí)，上述總目標(biāo)和具體闡述可以概括為“四基”“四能”和“必備品格”（或情感態(tài)度），而其中的數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決則是其核心。因?yàn)椋绻麤](méi)有這貫穿“數(shù)學(xué)的過(guò)程與方法”始終的數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決，那么，所謂的“四基”就是僵硬的死知識(shí)，“四能”就是某些程序的機(jī)械模仿甚至機(jī)械套用，而所謂的情感態(tài)度或“必備品格”則必定是虛假的替代表演。而數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決的核心就是上述所明確的數(shù)學(xué)思維，即借助數(shù)學(xué)概念、判斷或命題、推理、假說(shuō)和理論等形式，對(duì)客觀世界的量（包括數(shù)與形兩個(gè)層面）的這一側(cè)面及其規(guī)律性的理性的和能動(dòng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程與活動(dòng)。

因此，深刻領(lǐng)會(huì)“數(shù)學(xué)課標(biāo)”中的課程目標(biāo)，即數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值，就其實(shí)質(zhì)而言，就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維”的極其必要的前提條件，也是極其重要的“政策”依據(jù)或保障。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維則是培養(yǎng)或提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必由之路。所以，努力提煉教材內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維，應(yīng)該是開(kāi)展“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維”活動(dòng)的核心任務(wù)。

三、努力提煉教材內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容主要包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等內(nèi)容。而“數(shù)與代數(shù)”的整合，不僅是算術(shù)知識(shí)和代數(shù)知識(shí)的簡(jiǎn)單合并，更是算術(shù)思維和代數(shù)思維的有機(jī)融合。

算術(shù)思維的核心是程序或步驟及其遵守或運(yùn)用，其思維目的是求得一個(gè)結(jié)果（數(shù)字），所以它是程序思維；而代數(shù)思維的核心則是關(guān)系及其轉(zhuǎn)換，其思維目的是尋求各種數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)變或轉(zhuǎn)化，所以它是關(guān)系思維。但是，由于關(guān)系思維比程序思維對(duì)學(xué)生心智發(fā)展的成熟水平要求要高許多，所以直接在小學(xué)引入甚至滲透大量的代數(shù)內(nèi)容可能是不可取的，也是行不通的。因此，可行的滲透方式應(yīng)該是能夠兼顧算術(shù)的程序思維和代數(shù)的關(guān)系思維的綜合方式，而“準(zhǔn)變量思維”的引入便是這種滲透方式。

所謂準(zhǔn)變量思維，其實(shí)質(zhì)就是把“常數(shù)”視為“變量”，進(jìn)而把數(shù)量關(guān)系視為是變量之間的關(guān)系，并以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生“在算術(shù)中學(xué)習(xí)代數(shù)”（也在代數(shù)中運(yùn)用算術(shù)）。因?yàn)?，代?shù)就是字母（變量）的算術(shù)，而算術(shù)則是數(shù)字（常量）的代數(shù)。譬如，21-9 = 21-10+1（=11+1=12）就蘊(yùn)含著這樣一個(gè)代數(shù)恒等式：a-b=a-（b+1）+1，而前者則可看作是后者的一個(gè)特例。其實(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)中存在著大量的準(zhǔn)變量及其思維。譬如，各種豎式計(jì)算的橫式改寫就是例證，如32×13=32×3+32×10（=96+320=416），而32×3=2×3+30×3（=6+90=96），它們都是運(yùn)用運(yùn)算律的恒等變換。因此，準(zhǔn)變量思維的引入可望打通算術(shù)學(xué)習(xí)和代數(shù)學(xué)習(xí)之間的障礙。

“圖形與幾何”的整合，不僅是立體幾何和平面幾何的簡(jiǎn)單聯(lián)手，更是綜合幾何（強(qiáng)調(diào)幾何直觀）和分析幾何（強(qiáng)調(diào)幾何推理）的相互滲透。

譬如，“圖形認(rèn)識(shí)”一般包含直觀認(rèn)識(shí)概念、定義、構(gòu)成要素、特點(diǎn)、關(guān)系等五個(gè)維度。但是，小學(xué)階段的圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)實(shí)踐卻主要集中于前三個(gè)維度，卻較少涉及后兩個(gè)維度。其實(shí)，關(guān)于“圖形認(rèn)識(shí)”的前三維度（幾何直觀為主）的教學(xué)也可滲透后兩個(gè)維度的幾何推理。譬如，關(guān)于“多邊形內(nèi)角和的命題”的學(xué)習(xí)，就可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°”來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)（多邊形劃歸為三角形的方式多種多樣）；“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的推導(dǎo)則可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)用“兩點(diǎn)間的距離線段最短”這一公理來(lái)學(xué)習(xí)；而“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”的學(xué)習(xí)，如果不通過(guò)“長(zhǎng)方形的一般定義”和“正方形的定義”之間的邏輯關(guān)系來(lái)學(xué)習(xí)，將是無(wú)法理解的。

“統(tǒng)計(jì)與概率”的整合，不僅是統(tǒng)計(jì)過(guò)程（強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法與技巧）與可能性（強(qiáng)調(diào)隨機(jī)觀念）的簡(jiǎn)單嫁接，而是內(nèi)蘊(yùn)隨機(jī)觀念的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)。因此，統(tǒng)計(jì)思維的培養(yǎng)就應(yīng)該依據(jù)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過(guò)程結(jié)構(gòu)（參見(jiàn)圖1）來(lái)謀劃、設(shè)計(jì)和開(kāi)展，不能“掐兩頭、燒中段”。

但是，現(xiàn)實(shí)的小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)多是只關(guān)注“中段”，而較少涉及“問(wèn)題與目的”“判斷與決策”。所以，其教學(xué)效果并不理想，更無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維，亟須改變。因此，上述“統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過(guò)程結(jié)構(gòu)”的提出可望有助于這種改變的落實(shí)。

圖1 “統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過(guò)程結(jié)構(gòu)”示意圖

如果不借助于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，則數(shù)學(xué)思維無(wú)法彰顯其“認(rèn)識(shí)世界和改造世界”的強(qiáng)大的功效；如果沒(méi)有數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)，則數(shù)學(xué)知識(shí)與技能將不成體系，并因此有礙數(shù)學(xué)思維功效的發(fā)揮；而如果沒(méi)有必要的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，則數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的獲得與運(yùn)用都將受到極大的限制。所以，真正聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該是開(kāi)展“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維”活動(dòng)的重要任務(wù)。

四、真正聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

“新課改”近20 年來(lái)，我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)把“數(shù)學(xué)思想方法”的學(xué)習(xí)作為教學(xué)要點(diǎn)甚至重點(diǎn)，幾乎已經(jīng)是不爭(zhēng)的事實(shí)。但是，由于理解上的偏差，實(shí)際的效果可能是，數(shù)學(xué)方法得到了強(qiáng)化，而數(shù)學(xué)思想?yún)s沒(méi)有受到足夠的重視。

其實(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是一個(gè)有機(jī)整體。數(shù)學(xué)思想是統(tǒng)攝其相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的靈魂，而數(shù)學(xué)方法則是展現(xiàn)其相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的憑借；沒(méi)有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)方法極有可能淪落為“操作程序”，而沒(méi)有數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)思想也極有可能變質(zhì)為“空洞思辨”。譬如，就小學(xué)數(shù)學(xué)中的“解決問(wèn)題的策略”教學(xué)而言，應(yīng)該先理解其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，然后再行施教方有可能收獲其預(yù)期目的。否則，就極有可能得了芝麻（方法），失了西瓜（思想）。

譬如，“列表”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，對(duì)象的分類或概念的劃分以及相應(yīng)的分類或劃分的方法；“畫示意圖”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，數(shù)形結(jié)合思想與相應(yīng)的畫圖法；“列舉”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，分類思想以及相應(yīng)的分類方法；“倒推”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，過(guò)程或運(yùn)算的可逆性思想以及相應(yīng)的互逆運(yùn)算；“替換”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，過(guò)程中的不變量思想以及相應(yīng)的等量關(guān)系；“假設(shè)”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，不變量思想和逼近思想以及相應(yīng)的等量關(guān)系和逼近方法；“轉(zhuǎn)化”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法就是，不變量思想以及相應(yīng)的等量代換方法等。

由此可見(jiàn)，策略的相對(duì)性和多樣性。因此，那種在教學(xué)中把策略解釋為是“最好的方法或最有效的方法”的理解是不足為道的，而那種在教學(xué)中只關(guān)注一種策略卻不對(duì)多種策略進(jìn)行比較或分析的做法也是不值得提倡的。

再譬如，數(shù)形結(jié)合思想方法是貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)始終的一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，是我們培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀和邏輯推理能力的“高效材料”。其核心思想是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換、相互表達(dá)和相互解決，其具體方法則有數(shù)軸、數(shù)對(duì)表示位置（坐標(biāo)系）、示意圖等。就示意圖而言，其重在用圖來(lái)表達(dá)意蘊(yùn)，而非用圖來(lái)表示具體含義，而教學(xué)實(shí)踐中卻時(shí)常相反，值得注意。

但是，如果我們?nèi)我獍胃邤?shù)學(xué)思維的“含量”，而無(wú)法顧及兒童自身發(fā)展尤其是其數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般規(guī)律，那么，任何旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)活動(dòng)甚至數(shù)學(xué)課程改革或數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)，都無(wú)法收獲其預(yù)期的成效。譬如，數(shù)學(xué)教育發(fā)展歷史上的“新數(shù)學(xué)”教育改革運(yùn)動(dòng)的失敗，就是明證。因此，靈活運(yùn)用兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展一般規(guī)律，應(yīng)該是開(kāi)展“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維”活動(dòng)的必要任務(wù)和準(zhǔn)備。

五、靈活運(yùn)用兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般規(guī)律

依據(jù)皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論，8歲左右的兒童其認(rèn)知發(fā)展水平主要處于從前運(yùn)算階段到具體運(yùn)算階段的認(rèn)知發(fā)展階段。而身處此認(rèn)知發(fā)展階段的兒童，其學(xué)習(xí)心理尤其是其認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)主要是，通過(guò)對(duì)自身活動(dòng)的反身抽象，可達(dá)成對(duì)活動(dòng)對(duì)象的相關(guān)認(rèn)識(shí)，并獲得相應(yīng)的概念認(rèn)知。

譬如，就“一一間隔排列”的學(xué)習(xí)而言，三年級(jí)學(xué)生可通過(guò)自身具體的操作活動(dòng)與反省觀察，以形成“一一間隔排列”（排成一行）概念，并通過(guò)“社會(huì)協(xié)商”（即同伴之間的溝通、交流與研討）達(dá)成對(duì)“一一間隔排列”各種具體情況進(jìn)行分類的依據(jù)之認(rèn)同（排成一圈則僅是其中一類的“變形”）；至于“一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，三年級(jí)學(xué)生則可通過(guò)其已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（即此前的“一一對(duì)應(yīng)”操作活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)及其認(rèn)知）或?qū)唧w事例的量化觀察、抽象與概括而較為容易地得出。

具體而言，就三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)而言，“一一間隔排列”概念的獲得應(yīng)主要以概念形成的方式來(lái)達(dá)成，而“分類依據(jù)”的認(rèn)同則應(yīng)主要以“社會(huì)協(xié)商”活動(dòng)來(lái)求得，至于“一一間隔排列”中兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系則可通過(guò)再現(xiàn)“一一對(duì)應(yīng)”活動(dòng)來(lái)獲得。

由此可見(jiàn)，圖2 是小學(xué)三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“一一間隔排列”的一種可能的心理過(guò)程：圖2 中的“上半部分”只是小學(xué)生學(xué)習(xí)這類數(shù)學(xué)內(nèi)容的一般心理過(guò)程或認(rèn)知過(guò)程，而其“下半部分”則是學(xué)習(xí)“一一間隔排列”這一數(shù)學(xué)內(nèi)容可能的具體心理過(guò)程或認(rèn)知過(guò)程。

圖2 兩種物體“一一間隔排列”學(xué)習(xí)心理過(guò)程圖

因此，對(duì)“兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展一般規(guī)律”的運(yùn)用，不能直接或機(jī)械地搬用，必須結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和反思來(lái)建構(gòu)可能的學(xué)習(xí)過(guò)程，并據(jù)此設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，反思教學(xué)效果，不斷提升“學(xué)習(xí)過(guò)程建構(gòu)”的科學(xué)性及其可行性。

總之，只要小學(xué)數(shù)學(xué)教師想在自己的課堂教學(xué)中真正培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維”，就必須知曉“什么是數(shù)學(xué)思維”，并做好上述幾項(xiàng)功課或準(zhǔn)備工作。但是，這只是“教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維”的必要條件。想使其轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺浞謼l件”，還需要我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師不斷地研學(xué)數(shù)學(xué)與運(yùn)用數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)教育的“自立”之人；不斷地實(shí)踐嘗試與自我反思，成為數(shù)學(xué)教育的“自覺(jué)”之人；不斷地拓展自己的視野，溝通數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容及其之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科或領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)與兒童生活和社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)，堅(jiān)信“數(shù)學(xué)育人”，成為數(shù)學(xué)教育的“自新”之人。