立足類比推理，凸顯概念本質(zhì)
——以“一元二次方程的概念”為例

江蘇省太倉市沙溪鎮(zhèn)岳王學(xué)校 張 軍

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本成分，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)對學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力具有重要的意義。數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)的知識體系中處于基礎(chǔ)地位，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心。近期筆者全程參加了該地區(qū)的一次評優(yōu)課活動，課題為“一元二次方程”，筆者結(jié)合自己親身經(jīng)歷，談?wù)剬Ω拍罱虒W(xué)的幾點思考。

一、類比生活情景，激發(fā)概念學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的抽象概括，一些直接來源于日常生活中的實際情況，根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平出發(fā)，設(shè)計學(xué)生熟悉的問題情景，讓學(xué)生容易上手、易于完成問題，避免了與概念無關(guān)的干擾，幫助學(xué)生獲得初步的感性認(rèn)識。例如，在“一元二次方程”引入問題的設(shè)計上，筆者設(shè)計了如下的問題進行教學(xué)：

問題引入：用一根繩子圍成一個矩形。

（1）假設(shè)這個矩形的周長是20 米，長比寬多2 米，求這個矩形的寬？

（2）假設(shè)這個矩形的面積是12 平方米，長比寬多2 米，求這個矩形的寬？

（3）假設(shè)這個矩形的周長是20 米，面積為12 平方米，求這個矩形的寬？

二、類比已有經(jīng)驗，揭示概念本質(zhì)內(nèi)涵

1.形式類比，引出概念

數(shù)學(xué)概念里有些是核心概念，比如方程、函數(shù)等，但像一元二次方程這樣的概念則屬于派生概念。充分利用好一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生類比、感悟新知，提高學(xué)生的類比推理能力。

評析：學(xué)生經(jīng)過觀察、探索、分類等活動，總結(jié)經(jīng)驗，類比已學(xué)過的概念，大膽猜想一元二次方程的概念，體會概念的特征。類比已有的知識經(jīng)驗，總結(jié)方程的命名，依據(jù)未知數(shù)的位置、次數(shù)、個數(shù)，加深對概念特征的理解，強化概念本質(zhì)屬性。

2.經(jīng)驗類比，深化概念

通過辨析方程，發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考：在解決一元二次方程時需要整理成統(tǒng)一的形式，接著引出一元二次方程的一般形式。通過類比一元一次方程的一般形式，深刻體會“最高次數(shù)為二次”這一特征，理解一般形式“ax2＋bx＋c=0”中“a≠0”的本質(zhì)。

三、類比變式探究，固化概念發(fā)散思維

設(shè)計開放性問題，通過變式，層層深入，學(xué)生類比題型找到解決問題的方法，充分暴露學(xué)生的思維過程，營造思辨氛圍，讓不同的思維發(fā)生碰撞，推理能力不斷發(fā)展。

例2：已知關(guān)于x的方程(m2-4)x2+(m+2)x=8 。

（1）若這個方程是一元二次方程，則m滿足的條件是什么？

（2）若這個方程是一元一次方程，則m滿足的條件是什么？

變式1：已知關(guān)于x的方程（m+2）x|m|-5x+2=0 為一元二次方程，則求m的值。

變式2：若該方程為一元一次方程，m的值是多少？

變式3：已知關(guān)于x的方程（m+2）x|m|-5x2+2=0 為一元二次方程，求m的值。

評析：例題的設(shè)計由淺入深，圍繞概念多角度、多層次地設(shè)計問題，在類比分析中加深學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，找到解決問題的關(guān)鍵。通過追問：一般形式的a、b、c分別代表什么？在多次變與不變的練習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的整體意識和符號意識，“類比推理”落地開花，進一步推動了學(xué)生的思維發(fā)展。

四、類比研究過程，探討概念生成體系

通過類比的思想來研究一元二次方程，從學(xué)生已有的一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗入手，初步掌握如何研究一個新方程，教學(xué)中鼓勵學(xué)生大膽猜想、類比，進而提高學(xué)生研究問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過問題“接下來我們還會研究一元二次方程的哪些內(nèi)容”，引導(dǎo)學(xué)生理解認(rèn)知事物的規(guī)律，掌握研究方程問題的方法，建構(gòu)方程體系，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

五、教后反思，總結(jié)概念教學(xué)經(jīng)驗

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不是讓學(xué)生機械地接受、簡單地模仿，要讓學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，運用觀察發(fā)現(xiàn)、類比推理等數(shù)學(xué)思想方法進行新的概括與創(chuàng)造，自主建構(gòu)新概念。同時，在概念的生成過程中，通過分析、比較、概括等活動，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和概括問題的能力，進而訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們要讓學(xué)生獲得概念的過程變得自然、合理、有趣，充分利用新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有概念的聯(lián)系，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動過程，經(jīng)過類比推理，揭示概念本質(zhì)，體驗概念獲得的成就感，發(fā)展學(xué)生的思維。