基于集中濃度矩陣和精細(xì)積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散模型

余 波，凌干展，范志宏，楊綠峰

(1. 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004；2. 中交四航工程研究院有限公司，廣東，廣州 510230；3. 廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西，南寧 530004；4. 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西，南寧 530004)

受氯離子濃度梯度的作用，海洋環(huán)境中的氯離子不斷地向混凝土內(nèi)部擴(kuò)散。當(dāng)鋼筋表面的氯離子濃度達(dá)到臨界氯離子濃度時(shí)，鋼筋表面的鈍化膜就會(huì)發(fā)生破壞，從而引起鋼筋銹蝕、混凝土開(kāi)裂等耐久性劣化問(wèn)題[1?4]。因此，準(zhǔn)確分析混凝土中氯離子的擴(kuò)散過(guò)程和濃度分布規(guī)律，對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性分析與設(shè)計(jì)具有重要意義。

為了合理描述混凝土中氯離子的濃度分布規(guī)律，國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了氯離子擴(kuò)散分析的各種解析模型[5?10]。解析模型基于Fick 第二定律，通過(guò)理論推導(dǎo)建立氯離子濃度分布與暴露時(shí)間、氯離子擴(kuò)散系數(shù)和表面氯離子濃度等參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，但是解析模型只適用于規(guī)則的邊界條件和幾何外形情況，而且當(dāng)表面氯離子濃度和氯離子擴(kuò)散系數(shù)具有時(shí)變性時(shí)處理比較復(fù)雜[8]，實(shí)際工程應(yīng)用受到限制。為了克服上述缺陷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了氯離子擴(kuò)散分析的多種數(shù)值模型。其中，文獻(xiàn)[11 ? 13]利用中心差分法來(lái)求解微分方程組，建立了混凝土中氯離子常擴(kuò)散有限元模型，由于中心差分法對(duì)于氯離子擴(kuò)散過(guò)程是有條件穩(wěn)定的，導(dǎo)致該模型的計(jì)算精度和數(shù)值穩(wěn)定性較差；針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]基于Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，利用精細(xì)積分法來(lái)求解微分方程組，在一定程度上解決了中心差分法所存在的缺陷，但是上述模型均忽略了氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變特性[15?17]，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確分析混凝土中氯離子的濃度分布規(guī)律。對(duì)此，文獻(xiàn)[18 ? 19]考慮氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變性，建立了基于有限差分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型；文獻(xiàn)[20]在有限差分法的基礎(chǔ)上引入威爾遜常數(shù)，提出了基于直接積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的氯離子擴(kuò)散分析數(shù)值模型存在以下缺陷：首先，采用一致協(xié)調(diào)濃度矩陣來(lái)計(jì)算有限元方程，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果往往出現(xiàn)振蕩和負(fù)值等問(wèn)題，數(shù)值穩(wěn)定性難以保證；其次，采用Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)來(lái)求解有限元微分方程組，導(dǎo)致對(duì)尺度因子的依賴(lài)程度較大，難以兼顧計(jì)算精度和效率。因此，有必要研究建立一種能夠有效兼顧計(jì)算精度、效率和數(shù)值穩(wěn)定性的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型。

鑒于此，本文首先將氯離子的時(shí)變擴(kuò)散控制方程變換為等效常擴(kuò)散控制方程，然后建立了基于集中濃度矩陣的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型，進(jìn)而結(jié)合Padé級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，提出了基于集中濃度矩陣和精細(xì)積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型，并通過(guò)與傳統(tǒng)有限元模型、解析模型和自然暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該模型的有效性。

1 氯離子時(shí)變擴(kuò)散的控制方程

考慮氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變特性，混凝土中氯離子一維擴(kuò)散的控制方程可以描述為[5,21]：

圖 1 氯離子擴(kuò)散的邊界條件Fig. 1 Boundary conditions of chloride diffusion

圖 2 氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變特性Fig. 2 Time-varying behavior of chloride diffusion coefficient

2 基于 LCM 和 PTIM 的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型

3 對(duì)比驗(yàn)證分析

3.1 基于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證分析

利用文獻(xiàn)[27 ? 31]中海洋潮汐區(qū)的自然暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比驗(yàn)證本文提出的基于集中濃度矩陣和精細(xì)積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散模型的有效性?；炷猎嚰某叽鐬?00 mm×200 mm×200 mm，混凝土試塊在澆筑后24 h 進(jìn)行脫模處理并進(jìn)行養(yǎng)護(hù)，在海洋潮汐環(huán)境自然暴露2 a～10 a 后對(duì)混凝土試件進(jìn)行鉆芯取樣，得到直徑分別為50 mm[27,30?31]和100 mm[28?29]的芯樣，通過(guò)分層取樣(每層10 mm厚)，測(cè)試得到混凝土中的氯離子濃度分布數(shù)據(jù)。

首先利用暴露時(shí)間為2 a～4 a 的混凝土中氯離子濃度分布數(shù)據(jù)，通過(guò)非線性回歸分析擬合確定3 個(gè)模型參數(shù)，包括初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)、齡期衰減系數(shù)和混凝土表面氯離子濃度，見(jiàn)表1。然后基于所擬合的模型參數(shù)，利用本文提出的基于集中濃度矩陣和精細(xì)積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型(簡(jiǎn)記為L(zhǎng)CM)和基于一致協(xié)調(diào)濃度矩陣的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型(簡(jiǎn)記為CCM)，分別預(yù)測(cè)暴露時(shí)間為4 a、5 a、7 a 和10 a 時(shí)混凝土內(nèi)部的氯離子濃度分布情況，并與自然暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)記為T(mén)D)進(jìn)行對(duì)比分析，見(jiàn)表2 和表3。由表2和表3 可知，在不同的暴露時(shí)間、擴(kuò)散深度、水膠比和粉煤灰摻量條件下，LCM 的計(jì)算結(jié)果與自然暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，二者的相對(duì)誤差大部分控制在5%以?xún)?nèi)，而CCM 的計(jì)算結(jié)果與自然暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差大部分超過(guò)15%，甚至達(dá)到48%。由此可見(jiàn)，與CCM 相比，本文提出的LCM 的計(jì)算精度較高，具有較好的適用性。

表 1 不同類(lèi)型混凝土的模型參數(shù)Table 1 Model parameters for different types of concrete

3.2 集中濃度矩陣的有效性分析

當(dāng)暴露時(shí)間 t=10 a 、 D0=10×10?12m2/s ，n分別取 0.2、0.4 和 0.6 時(shí)，CCM 和 LCM 計(jì)算得到的氯離子濃度及其與AM 的相對(duì)誤差見(jiàn)表5。由表5 可知，隨著擴(kuò)散深度x 和齡期衰減系數(shù) n的增加，CCM 與AM 的相對(duì)誤差逐漸增大，當(dāng)n=0.6和x=50 mm 時(shí)，二者的相對(duì)誤差超過(guò)55%；對(duì)于不同的擴(kuò)散深度x 和齡期衰減系數(shù) n，LCM 與AM 的相對(duì)誤差均小于0.5%，說(shuō)明LCM 具有較高的計(jì)算精度。由此可見(jiàn)，與傳統(tǒng)的一致協(xié)調(diào)濃度矩陣相比，本文提出的集中濃度矩陣具有更高的計(jì)算精度。

表 2 模型計(jì)算值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)(I45)的對(duì)比分析Table 2 Comparison between calculated results and experimental data (I45)

表 3 模型計(jì)算值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)(I65)的對(duì)比分析Table 3 Comparison between calculated results and experimental data (I65)

表 4 初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)對(duì)CCM 和LCM 的計(jì)算精度的影響Table 4 Influence of initial chloride diffusion coefficient on computational accuracy of the CCM and the LCM

3.2.2 暴露時(shí)間和擴(kuò)散深度的影響

下面分析暴露時(shí)間 t和擴(kuò)散深度 x的不同取值對(duì)CCM 和LCM 計(jì)算精度的影響。當(dāng)D0=4×10?12m2/s 和 n=0.6時(shí)，CCM、LCM 和 AM 計(jì)算的氯離子濃度分布如圖3 所示。

表 5 齡期衰減系數(shù)對(duì)CCM 和LCM 的計(jì)算精度的影響Table 5 Influence of aging factor on computational accuracy of the CCM and the LCM

圖 3 暴露時(shí)間和擴(kuò)散深度對(duì)氯離子濃度分布的影響Fig. 3 Influences of exposure time and diffusion depth on distribution of chloride concentration

由圖3 可知，CCM 的計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)不同程度的振蕩，甚至出現(xiàn)負(fù)值，與氯離子濃度分布的實(shí)際情況不符；LCM 與AM 的計(jì)算結(jié)果吻合較好，且不存在振蕩和負(fù)值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。由此可見(jiàn)，本文提出的集中濃度矩陣可以克服傳統(tǒng)一致協(xié)調(diào)濃度矩陣所存在的振蕩和負(fù)值等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題。

3.2.3 空間離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)的影響

下面分析空間離散網(wǎng)格 ?x 和時(shí)間步長(zhǎng) ?t 對(duì)CCM 和LCM 的計(jì)算精度的影響。當(dāng)暴露時(shí)間t=10a 、D0=10×10?12m2/s 、 n=0.2、時(shí)間步長(zhǎng)?t=0.1a ，空間離散網(wǎng)格 ?x分別取5 mm、10 mm和20 mm 時(shí)(圖中分別用X1、X2 和X3 表示)，CCM和LCM 與AM 的計(jì)算相對(duì)誤差如圖4(a)所示。由圖4(a)可知，隨著擴(kuò)散深度 x 和空間離散網(wǎng)格?x的增加，CCM 與AM 之間的相對(duì)誤差逐漸增大，當(dāng)?x=20 mm和x=60 mm 時(shí)，二者的相對(duì)誤差達(dá)到23%左右；隨著空間離散網(wǎng)格 ?x的減小，LCM與AM 之間的相對(duì)誤差逐漸減?。划?dāng)x=60 mm，?x分別取 5 mm、10 mm 和 20 mm 時(shí)，CCM 與 AM 之間的相對(duì)誤差分別為5.54%、11.82%和23.50%，而LCM 與AM 之間的相對(duì)誤差分別為0.11%、0.30%和0.52%，說(shuō)明當(dāng)空間離散網(wǎng)格 ?x不大于20 mm時(shí)，LCM 的計(jì)算精度對(duì)空間離散網(wǎng)格 ?x的取值相對(duì)不敏感，且計(jì)算精度較高。

圖 4 空間離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算精度的影響Fig. 4 Influences of meshed sizes of spatial grids and time steps on computational accuracy

當(dāng)空間離散網(wǎng)格 ?x=10 mm 、時(shí)間步長(zhǎng) ?t分別取0.05 a、0.1 a 和0.5 a 時(shí)(圖中分別用A1、A2和 A3 表示)，CCM 和 LCM 與 AM 之間的計(jì)算相對(duì)誤差如圖4(b)所示。由圖4(b)所示，隨著擴(kuò)散深度 x 和時(shí)間步長(zhǎng) ?t的增加，CCM 與AM 之間的相對(duì)誤差逐漸增大，當(dāng) ?t=0.5 a和x=60 mm 時(shí)，二者的相對(duì)誤差達(dá)到18%左右；隨著時(shí)間步長(zhǎng)?t的減小，LCM 與解析模型之間的相對(duì)誤差逐漸減??；當(dāng)x=60 mm，時(shí)間步長(zhǎng) ?t分別取0.05 a、0.1 a 和 0.5 a 時(shí)，CCM 與 AM 之間的相對(duì)誤差分別為7.02%、11.82%和18.21%，而LCM 與AM 之間的相對(duì)誤差分別為0.07%、0.25%和0.43%，說(shuō)明當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng) ?t不大于0.5 a 時(shí)，LCM 的計(jì)算精度對(duì)時(shí)間步長(zhǎng) ?t的取值相對(duì)不敏感，且計(jì)算精度較高。

結(jié)合表4 和表5 以及圖3 和圖4 可知，本文提出的基于集中濃度矩陣的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型的計(jì)算結(jié)果與解析模型的計(jì)算結(jié)果較為吻合，具有較高的計(jì)算精度，且不存在振蕩和負(fù)值等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)空間離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)的依賴(lài)性相對(duì)較小，從而克服了傳統(tǒng)基于一致協(xié)調(diào)濃度矩陣的有限元模型所存在的缺陷。

3.3 Padé級(jí)數(shù)展開(kāi)的有效性分析

表 6 尺度因子對(duì)Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)和Padé級(jí)數(shù)展開(kāi)的計(jì)算精度的影響Table 6 Influences of scale factors on computational accuracy of Taylor series expansion and Padé series expansion

4 結(jié)論

結(jié)合伽遼金加權(quán)余量法和Padé級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，研究提出了一種基于集中濃度矩陣和精細(xì)積分法的氯離子時(shí)變擴(kuò)散有限元模型。分析結(jié)果表明：

(1)與傳統(tǒng)的一致協(xié)調(diào)濃度矩陣相比，采用集中濃度矩陣不僅可以避免振蕩和負(fù)值等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，而且對(duì)空間離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)的依賴(lài)性較小，可以同時(shí)兼顧計(jì)算精度、效率和數(shù)值穩(wěn)定性。

(2)當(dāng)齡期衰減系數(shù)、初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)、擴(kuò)散深度、暴露時(shí)間、空間離散網(wǎng)格和時(shí)間步長(zhǎng)等參數(shù)取不同值時(shí)，傳統(tǒng)模型與解析模型之間的相對(duì)誤差變化較大，甚至超過(guò)50%，而本文模型的相對(duì)誤差均控制在0.5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明本文模型的計(jì)算精度對(duì)上述參數(shù)的取值不敏感，計(jì)算精度較為穩(wěn)定。

(3)與傳統(tǒng)的Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)相比，采用Padé級(jí)數(shù)展開(kāi)只需較小的尺度因子就可以保證計(jì)算精度，計(jì)算效率大幅提高。

(4)在本文模型的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步考慮表面氯離子濃度的時(shí)變性和氯離子多維擴(kuò)散的影響，拓展本文模型的適用性，相關(guān)工作正在開(kāi)展中。