基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制的主動(dòng)夾具銑削顫振研究*

李香服，張文灼，溫彬彬，劉亞川

(1.河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造系，石家莊 050000；2.河北師范大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，石家莊 050031)

0 引言

機(jī)床主動(dòng)夾具作為機(jī)械加工過(guò)程中用來(lái)固定、支撐和夾緊工件的部件，在加工過(guò)程產(chǎn)生的振動(dòng)主要有強(qiáng)制振動(dòng)和自激振動(dòng)，其中強(qiáng)制振動(dòng)是在斷續(xù)銑削中隨著銑削力的強(qiáng)制變化而產(chǎn)生，而自激振動(dòng)則是在銑削過(guò)程中產(chǎn)生的[1-2]。銑削顫振是發(fā)生在銑削過(guò)程中刀具與工件間的動(dòng)態(tài)切削力周期性激勵(lì)著刀具和工件間的振動(dòng)現(xiàn)象。銑削顫振具有非穩(wěn)態(tài)和很強(qiáng)的銑削力波動(dòng)的特征，它損害了加工工件的表面質(zhì)量、降低銑削效率、縮短刀具和機(jī)床主軸的使用壽命。

當(dāng)前，對(duì)銑削顫振的研究方法有多種。例如：文獻(xiàn)[3-4]研究了自適應(yīng)控制技術(shù)對(duì)銑削顫振在線抑制，對(duì)集成在線參數(shù)采集、反饋控制的銑削控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，將在線抑制顫振的主軸轉(zhuǎn)速算法嵌入開(kāi)放式控制器中，并設(shè)計(jì)控制參數(shù)。文獻(xiàn)[5-7]研究了基于虛擬儀器分析在不同切削狀態(tài)下振動(dòng)信號(hào)的非線性特征的變化規(guī)律，進(jìn)而識(shí)別并預(yù)報(bào)切削顫振。

以往研究的銑削顫振控制系統(tǒng)控制效果較差，銑削過(guò)程中產(chǎn)生角加速度誤差最大值為16 mm/s2，導(dǎo)致機(jī)床銑削顫振較大。對(duì)此本文通過(guò)時(shí)域數(shù)值方法對(duì)銑削顫振的機(jī)理及其相關(guān)的影響因素進(jìn)行分析，引用了增量式PID控制方法并進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)，采用MATLAB軟件對(duì)銑床力和銑削深度進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并且與傳統(tǒng)控制方法進(jìn)行比較，為降低機(jī)床銑削顫振幅度提供了參考依據(jù)。

1 主動(dòng)夾具模型

1.1 銑削動(dòng)力學(xué)模型

用于銑削的主動(dòng)夾具，其最簡(jiǎn)化的設(shè)計(jì)是采用兩自由度兼容機(jī)構(gòu)，是基于串行運(yùn)動(dòng)學(xué)并結(jié)合了整體式撓性鉸鏈。內(nèi)部平臺(tái)通常用于固定工件，而外部框架則固定在機(jī)床工作臺(tái)上，將平臺(tái)的剛度和阻尼集中在一起，這種架構(gòu)如圖1所示。

圖1 主動(dòng)夾具簡(jiǎn)圖

圖中，kwx、kwy分別為X方向和Y方向彈簧剛度；cwx、cwy分別為X方向和Y方向阻尼系數(shù)；Fpx和Fpy分別為X方向和Y方向的力，是通過(guò)壓電執(zhí)行器利用壓電材料的逆壓電特性來(lái)實(shí)現(xiàn)控制工作臺(tái)的移動(dòng)，如果施加電場(chǎng)，則會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的位置變化。將驅(qū)動(dòng)力與輸入電壓相關(guān)聯(lián)的線性模型可用相關(guān)符號(hào)表示其特性，如下所示：

Mu″+Cu′+Kuuu+Kuψψ=f

(1)

(2)

式中，Kuu、C、M分別為機(jī)械剛度矩陣、阻尼系數(shù)矩陣和夾具質(zhì)量矩陣；Kψψ為彈性剛度矩陣；Kuψ為壓電耦合系數(shù)矩陣；u為節(jié)點(diǎn)位移向量；f為外部機(jī)械力向量；q為電荷向量；ψ為電勢(shì)向量。

考慮到切削過(guò)程的再生效果，其動(dòng)力學(xué)可以通過(guò)具有單個(gè)離散時(shí)間延遲的n維線性時(shí)間周期系統(tǒng)來(lái)描述。在不失一般性的前提下，對(duì)銑削過(guò)程可描述為具有4個(gè)自由度集成動(dòng)力學(xué)模型的壓電執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)主動(dòng)工件架，如圖2所示。實(shí)際上，銑刀和工件架是兩個(gè)正交的自由度組成的。

(a) X-Y平面圖 (b) Y-Z平面圖圖2 主動(dòng)工件架的動(dòng)態(tài)立銑刀系統(tǒng)

在銑削過(guò)程中需要對(duì)螺旋角進(jìn)行離散化，可以減少計(jì)算量，假定刀具具有N個(gè)齒且螺旋角為零。則圖2中所示的銑削控制過(guò)程可以用以下微分方程[8]表示：

(3)

式中，下標(biāo)t和w分別為工具和工件的標(biāo)識(shí)；ζ為阻尼系數(shù)；ω為角固有頻率；k為模態(tài)剛度；ψx、ψy分別為施加到沿X和Y方向的受控壓電執(zhí)行器的瞬時(shí)電勢(shì)；Fx、Fy分別為沿著X和Y方向的進(jìn)給力。

沿刀具和工件進(jìn)給力Fx(t)和Fy(t)，并分別引起動(dòng)態(tài)位移Δx和Δy的變化，這些都會(huì)導(dǎo)致銑削過(guò)程的顫振，其變化表達(dá)式為：

Δx(t)=[x(t)-xw(t)]-[xt(t-T)-xw(t-T)]

(4)

Δy(t)=[yt(t)-yw(t)]-[yt(t-T)-yw(t-T)]

(5)

式中，T為時(shí)間間隔。

在銑削過(guò)程中，切向和法向的銑削力表達(dá)式為：

Fck(t)=Ktcaphk(t)+Kteap

(6)

Frk(t)=Krcaphk(t)+Kreap

(7)

式中，F(xiàn)ck(t)和Frk(t)分別為第k個(gè)齒的切向和法向銑削力分量；Ktc、Kte、Krc和Kre為銑削系數(shù)；ap為銑削的軸向深度；hk(t)為瞬時(shí)銑削厚度。

瞬時(shí)銑削厚度hk(t)可以假定為運(yùn)動(dòng)學(xué)銑削厚度與動(dòng)態(tài)銑削厚度之和，在銑削厚度方向上的投影與動(dòng)態(tài)位移Δx(t)和Δy(t)的關(guān)系為：

hk(t)=[(fz+Δx(t))sin(φk(t))+ Δy(t)cos(φk(t))]g(φk(t))

(8)

(9)

式中，φst、φex分別為刀具的起始角和退刀角。

刀具在向上銑削時(shí)，刀具的起始角和退刀角為：

(10)

刀具在向下銑削時(shí)，刀具的起始角和退刀角為：

(11)

式中，2ar為徑向切削深度；D為刀具直徑。

在X和Y方向上的銑削力為：

(12)

通過(guò)重新排列前面的等式，可以減少銑削過(guò)程的動(dòng)力，參考方程(3)，得出等效耦合延遲微分方程式：

(13)

式中，X(t)為位移向量；K為剛度矩陣；Kc(t)為銑削力系數(shù)矩陣；Kψ為介電剛度矩陣。

1.2 時(shí)域數(shù)值方法

考慮到動(dòng)態(tài)銑削過(guò)程中通常具有單個(gè)離散時(shí)間延遲的線性時(shí)間周期系統(tǒng)的模型，可以使用解析或數(shù)值方法進(jìn)行求解。時(shí)域數(shù)值模擬方法非常強(qiáng)大。考慮到銑削過(guò)程中真實(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)因素，如銑削力，內(nèi)部和外部干擾，刀具的幾何形狀和跳動(dòng)等影響因素，計(jì)算過(guò)程太復(fù)雜，成本太高。本文提出了一種基于隱式直接積分的全離散化方法。它具有高效的計(jì)算率和二階精度。對(duì)數(shù)值求解方程式(13)，首先是進(jìn)行時(shí)間段T離散。因此，將T平均分為m個(gè)較小的時(shí)間間隔T=mΔt，m是整數(shù)。對(duì)于每個(gè)時(shí)間間隔tn=t0+nΔt，方程(13)中的Xn=X(tn)對(duì)初始響應(yīng)條件位置、速度和加速度，可以直接通過(guò)Newmark積分方案獲得，Newmark方法主要使用插值方法，將位置、速度和加速度從步驟n到步驟n+1使用插值計(jì)算[9]可得：

(14)

(15)

如果參數(shù)β=1/4和γ=1/2，則銑削過(guò)程中不僅可以節(jié)能，還可以達(dá)到很高的加工精度。同時(shí)，平均加速度參數(shù)在[tn，tn+1]范圍內(nèi)選擇。如果參數(shù)γ>1/2，β>1/4(1/2+γ)2，則可能導(dǎo)致能量和動(dòng)能損失。因此，參數(shù)取值為β=1/4和γ=1/2。

可以將式(14)和式(15)的插值直接引入到運(yùn)動(dòng)方程中，可達(dá)到一組線性或非線性代數(shù)方程。本文使用線性銑削力模型，則會(huì)獲得一組線性方程，并將Newmark方法應(yīng)用于直接時(shí)間積分方程式(13)中需要三步：

(1)在時(shí)間步長(zhǎng)為n+1時(shí)，估算系統(tǒng)的位移和速度(預(yù)測(cè)器階段)：

(16)

(17)

(2)對(duì)于上述方程組的解和Xn″，將方程式(14)和式(15)所得的結(jié)果代入方程式(13)：

(18)

如果時(shí)間步長(zhǎng)Δt是均勻的，方程(18)的系統(tǒng)矩陣可以分解一次。

(19)

(20)

2 控制設(shè)計(jì)

2.1 增量式PID控制

傳統(tǒng)PID控制大多采用增量式PID控制方式，其控制算法[10-11]如下所示：

Δu(k)=(Kp+Ki+Kd)e(k)- (Kp+2Kd)e(k-1)+Kde(k-2)

(21)

式中，Δu(k)為控制系統(tǒng)輸出值；k為第k次采樣值；Kp、Ki、Kd為PID控制調(diào)節(jié)系數(shù)；e(k)、e(k-1)、e(k-2)為不同次的采樣偏差。

2.2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用小波函數(shù)的前饋網(wǎng)絡(luò)，該模型具有很強(qiáng)的逼近能力。本文設(shè)計(jì)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID運(yùn)算模塊分為三層結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID運(yùn)算模塊

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制輸出關(guān)系式為：

(22)

式中，K=[Kp,Ki,Kd]；Xk=[r(k),y(k),e(k)]，r(k)為設(shè)置值，y(k)為輸出反饋值，e(k)為輸出誤差；ωli為輸出層和隱含層的連接權(quán)值；ωij為輸入層和隱含層的連接權(quán)值；θm為隱含層的閥值；ηi為輸出層的閥值。

采用小波函數(shù)Morlet作為隱含層神經(jīng)元的激勵(lì)函數(shù)，如下所示：

(23)

φ(x)=cos(1.75x)e-x2/2

(24)

采用Sigmoid函數(shù)[12]作為輸出層的激勵(lì)函數(shù)，如下所示：

(25)

控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)為：

(26)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值采用梯度下降法進(jìn)行調(diào)整，如下所示：

(27)

式中，δ為學(xué)習(xí)速率；α為慣性系數(shù)。

采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制步驟如下：

(1)初始化參數(shù)設(shè)置，主要包括各層的節(jié)點(diǎn)數(shù)，權(quán)值、學(xué)習(xí)速率和慣性系數(shù)等；

(2)在不同時(shí)刻，對(duì)輸入和輸出誤差進(jìn)行采樣；

(3)計(jì)算各層神經(jīng)元的輸出值和輸入值，輸出層對(duì)應(yīng)PID控制器調(diào)節(jié)系數(shù)Kp、Ki、Kd；

(4)計(jì)算PID控制器輸出值u(k)，計(jì)算公式如下：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(28)

(5)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)，不斷調(diào)整加權(quán)系數(shù)，達(dá)到PID控制器調(diào)節(jié)系數(shù)最佳值。

(6)令k=k+1，返回步驟(1)，循環(huán)執(zhí)行，直到達(dá)到最優(yōu)值為止。

3 仿真及分析

為了驗(yàn)證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制效果，采用MATLAB軟件對(duì)主動(dòng)夾具控制系統(tǒng)銑削力和銑削深度輸出誤差進(jìn)行仿真。仿真參數(shù)設(shè)置如下：ktc=1 000 N/mm2，kte=750 N/mm，krc=130 N/mm2，kre=33 N/mm，kwx=9.0×108N/m，kwy=1.5×109N/m，ζwx=2.9×10-2，ζwy=3.5×10-2。采用增量式PID控制，主動(dòng)夾具銑削力X軸和Y軸跟蹤效果分別如圖4、圖5所示，銑削深度跟蹤效果如圖6所示。采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制，主動(dòng)夾具銑削力X軸和Y軸跟蹤效果分別如圖7、圖8所示，銑削深度跟蹤效果如圖9所示。采用模具鋼進(jìn)行銑削實(shí)驗(yàn)，加工實(shí)驗(yàn)如圖10所示。采用測(cè)量?jī)x對(duì)兩種控制系統(tǒng)銑削的模具鋼表面粗糙度進(jìn)行測(cè)量，其微觀結(jié)果分別如圖11、圖12所示。

圖4 X軸方向仿真結(jié)果(改進(jìn)前) 圖5 Y軸方向仿真結(jié)果(改進(jìn)前)

圖6 銑削深度仿真結(jié)果(改進(jìn)前) 圖7 X軸方向仿真果(改進(jìn)后)

圖8 Y軸方向仿真結(jié)果(改進(jìn)后) 圖9 銑削深度仿真結(jié)果(改進(jìn)后)

圖10 模具鋼加工實(shí)驗(yàn)圖

圖11 改進(jìn)前粗糙度 圖12 改進(jìn)后粗糙度

分析圖4、圖5和圖6可知：采用增量式PID控制方法，X軸方向和Y軸方向銑削力與理論值存在較大誤差，銑削深度與理論值存在較大誤差。另外，在拐角處，跟蹤誤差變化幅度更大。增量式PID控制系統(tǒng)對(duì)外界變化適應(yīng)性較差，特別是在拐角處，很難做出快速的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。

分析圖7～圖9可知：采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制方法，X軸方向和Y軸方向銑削力與理論值存在較小誤差，銑削深度與理論值存在較小誤差。另外，在拐角處，跟蹤誤差變化幅度也較小。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)對(duì)外界變化適應(yīng)性較好，特別是在拐角處，能夠做出快速的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。

分析圖11、圖12可知：采用增量式PID控制方法，模具鋼表面產(chǎn)生的粗糙度最大值為100 μm；而采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制方法，模具鋼表面產(chǎn)生的粗糙度最大值為10 μm。因此，采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制方法，主動(dòng)夾具銑削過(guò)程中，銑削力和銑削深度都能較好地實(shí)現(xiàn)理論要求，模具鋼表面產(chǎn)生的粗糙度較小，銑床顫振幅度較小，銑削精度較高，效果較好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種時(shí)域仿真模型，專門用于驗(yàn)證主動(dòng)夾具銑削力和銑削深度的變化效果。通過(guò)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)，對(duì)控制效果進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)論如下：

(1)采用增量式PID控制方法，主動(dòng)夾具銑削力和銑削深度與理論值存在較大誤差，導(dǎo)致銑床銑削過(guò)程中顫振幅度較大，銑削精度較低。

(2)采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制方法，主動(dòng)夾具銑削力和銑削深度與理論值存在較小誤差，銑床銑削過(guò)程中顫振幅度變化較小，銑削精度較高，銑削效果明顯改善。

(3)設(shè)計(jì)了主動(dòng)夾具時(shí)域數(shù)值仿真模擬方法，可以檢驗(yàn)銑削力和銑削深度變化效果，避免設(shè)計(jì)不合理而造成產(chǎn)品加工精度下降。