具有弱耦合無奇異特征的空間移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析*

季 曄

(洛陽理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、無累計(jì)誤差、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但其輸入、輸出關(guān)系非線性、強(qiáng)耦合、存在奇異性等諸多不利因素也給機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)建模和計(jì)算帶來困難。因此，解耦或弱耦合且無奇異的并聯(lián)機(jī)構(gòu)是有利于實(shí)時(shí)控制的，更易于實(shí)際應(yīng)用。

通過理論推導(dǎo)，得出強(qiáng)耦合非線性方程組解析解往往非常困難，因此一些學(xué)者嘗試?yán)脵C(jī)構(gòu)綜合方法，設(shè)計(jì)輸入、輸出解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[1]提出了一種零耦合度且運(yùn)動(dòng)解耦的非對(duì)稱三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并分析了其運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。文獻(xiàn)[2]以螺旋理論為基礎(chǔ)，綜合出解耦的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各支鏈，選取其中三個(gè)分支組合得到一種具有全局各向同性的新移動(dòng)解耦機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[3]基于方位特征方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論與方法，提出一種低耦合三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)。上述文獻(xiàn)中的并聯(lián)機(jī)構(gòu)易于得到輸入、輸出關(guān)系解析表達(dá)式，除了三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)外，具有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的解耦或弱耦合的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)也有報(bào)道，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種可實(shí)現(xiàn)兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)輸出運(yùn)動(dòng)的半對(duì)稱弱耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[5]提出的一種新型低耦合度3T1R非全對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了剛度性能分析。文獻(xiàn)[6]提出一種無耦合二自由度轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合的系統(tǒng)方法。

輸入、輸出弱耦合或解耦為并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高精度位置控制奠定了基礎(chǔ)，然而，奇異位形的存在同樣會(huì)影響機(jī)構(gòu)控制效率。本文利用螺旋理論分析一種CRR拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)支鏈，與其他無約束螺旋的支鏈結(jié)合，設(shè)計(jì)一種新型弱耦合、無奇異空間移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。建立機(jī)構(gòu)輸入、輸出位置關(guān)系方程，通過理論推導(dǎo)得出正、逆位置關(guān)系的解析表達(dá)式。分析機(jī)構(gòu)的工作空間和奇異性，并采用五次多項(xiàng)式對(duì)動(dòng)平臺(tái)中心進(jìn)行軌跡規(guī)劃，得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和規(guī)律。

1 機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)

查閱文獻(xiàn)[7]發(fā)現(xiàn)，CRR支鏈可以具有兩個(gè)約束力偶，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 CRR支鏈結(jié)構(gòu)

圖中C表示圓柱副，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，在C副處建立笛卡爾坐標(biāo)系，C副的運(yùn)動(dòng)軸線位于x軸，支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系為:

(1)

其中，N1、N2、N3和N4為非零實(shí)數(shù)，數(shù)值由支鏈尺度參數(shù)決定。

支鏈的約束螺旋系為：

(2)

(3)

因此，選用兩條CRR支鏈可以約束運(yùn)動(dòng)平臺(tái)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)無約束支鏈種類較多，根據(jù)運(yùn)動(dòng)螺旋滿秩的要求，典型的支鏈結(jié)構(gòu)包括SPS、UPS和CPS等。考慮運(yùn)動(dòng)靈活性，目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)常采用SPS和UPS支鏈[8-9]。SPS支鏈存在一個(gè)局部自由度，選取UPS支鏈作為機(jī)構(gòu)的無約束螺旋驅(qū)動(dòng)支鏈。

根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式，采用兩條拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的CRR支鏈和一條UPS支鏈作為驅(qū)動(dòng)支鏈，機(jī)構(gòu)的自由度為:

(4)

式中，F(xiàn)為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；λ為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；n為構(gòu)件數(shù)目；g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；ν為去除公共約束后的冗余約束數(shù)目；ζ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

可實(shí)現(xiàn)空間三移動(dòng)自由度，機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 2CRR/UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2 機(jī)構(gòu)輸入的選取

機(jī)構(gòu)的奇異性和運(yùn)動(dòng)學(xué)跟輸入的選取密切相關(guān)，因此需要先確定機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)[10]。選取C1副、C2副和P3副為驅(qū)動(dòng)副。根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取原理[11]，鎖住驅(qū)動(dòng)副，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)自由度為零，說明輸入選取合理。

在固定平臺(tái)(地面)上建立固定坐標(biāo)系O-xyz，C1副和C2副運(yùn)動(dòng)軸線平行于{O}坐標(biāo)系y軸和x軸；U3副運(yùn)動(dòng)軸線與x軸和y軸平行。在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′，鎖住三個(gè)驅(qū)動(dòng)需要三個(gè)約束力，在{O}坐標(biāo)系下，約束力螺旋系為:

(5)

rank(＄r)=6

(6)

此時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不再具有任何移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，說明機(jī)構(gòu)輸入選取合理。

3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與模型建立

(1)位置正、逆解關(guān)系方程

C1副和C2副的運(yùn)動(dòng)引起運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)變化，存在：

h1=y

(7)

h2=x

(8)

h1為C1副在{O}坐標(biāo)系下的位置；h2為C2副在{O}坐標(biāo)系下的位置。

U3副在{O}坐標(biāo)系下的矢量是(A3x;A3y;0)T，S3副在{O′}坐標(biāo)系下的矢量是(a3x;a3y;0)T：

(9)

P為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)，{O′}坐標(biāo)系在{O}坐標(biāo)系下的位置矢量，表示為(x;y;z)T；

a3為S3副在{O}坐標(biāo)系下的位置矢量。

l3在{O}坐標(biāo)系下的的矢量表示為：

l3=a3-A3

(10)

UPS支鏈長度滿足：

(11)

式(7)、式(8)和式(11)為機(jī)構(gòu)位置逆解，根據(jù)這三個(gè)方程可以推導(dǎo)出：

y=h1

(12)

x=h2

(13)

(14)

式(12)～式(14)為機(jī)構(gòu)位置正解。

(2)機(jī)構(gòu)輸入、輸出速度關(guān)系方程

式(7)、式(8)和式(11)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到：

(15)

Jinv為機(jī)構(gòu)速度逆Jacobian矩陣，其為單位陣，即Jinv=I3×3；

Jdir為機(jī)構(gòu)速度正Jacobian矩陣，即：

其中，

(3)機(jī)構(gòu)輸入、輸出加速度關(guān)系方程

式(15)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：

(16)

式(17)為輸入、輸出加速度關(guān)系方程，λ表達(dá)式為：

(17)

4 機(jī)構(gòu)奇異性分析

機(jī)構(gòu)的奇異位形可以根據(jù)正、逆速度Jacobian是否滿秩判定。顯然，無論機(jī)構(gòu)處于什么位姿，Jinv滿秩。只需要分析Jdir不滿秩的情況：

(18)

當(dāng)z=0時(shí)，機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異。機(jī)構(gòu)在正常運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，此類奇異不會(huì)出現(xiàn)，因此可以認(rèn)為機(jī)構(gòu)不存在奇異。

5 機(jī)構(gòu)工作空間分析

在固定坐標(biāo)系{O}下，C1副和C2副運(yùn)動(dòng)范圍均為[-0.5,0.5]；l3支鏈的長度變化范圍為[1,1.2]。在動(dòng)坐標(biāo)系{O′}下，各鉸點(diǎn)位置坐標(biāo)為R1(-0.3;0;0)T，R2(0;-0.3;0)T，S3(0.3;0;0)T。在固定坐標(biāo)系{O}下，各鉸點(diǎn)初始位置坐標(biāo)為C1(-0.5;0;0)T，C2(0;-0.4;0)T，U3(0.5;0;0)T，單位為m。機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)的工作空間如圖3所示。

圖3 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)工作空間

機(jī)構(gòu)工作空間呈球面狀，做x-z截面和y-z截面工作區(qū)域，如圖4所示。

(a) x-z截面(b) y-z截面圖4 工作空間截面圖

通過工作空間計(jì)算發(fā)現(xiàn)，區(qū)域沿y軸對(duì)稱分布，連續(xù)且無空洞。

6 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值計(jì)算

在工作空間內(nèi)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)從位置F(0.3;-0.1;0.9)T移動(dòng)到位置H(0.4;0.1;0.95)T。要求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5 s，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)初始和終止時(shí)刻的速度和加速度均為零，采用5次多項(xiàng)式軌跡，中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為：

P=s0+s1t+s2t2+s3t3+s4t4+s5t5

(19)

從初始時(shí)刻t0的到終止時(shí)刻tf坐標(biāo)值P(1)、P(2)和P(3)滿足：

(20)

把F到H點(diǎn)的位置、速度和加速度條件代入式(20)，求得運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)值軌跡方程為:

(21)

將式(21)帶入式(11)、式(15)和式(16)分別得到驅(qū)動(dòng)支鏈l3的長度、速度和加速度變化曲線如圖5所示。

(a) 長度變化曲線 (b) 支鏈速度變化曲線

(c) 支鏈加速度變化曲線圖5 支鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)變化曲線

將式(21)帶入式(7)、式(8)、式(15)和式(16)分別得到C1副和C2副位置、速度和加速度變化，如圖6所示。

(a) 位置變化曲線(b) 速度變化曲線

(c) 加速度變化曲線

通過圖5和圖6發(fā)現(xiàn)，中心點(diǎn)以5次多項(xiàng)式曲線運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)構(gòu)支鏈l3逐漸伸長，速度和加速度曲線連續(xù)、平滑，符合起始、終止速度和加速度為0，運(yùn)動(dòng)過程平穩(wěn)。C1副和C2副運(yùn)動(dòng)軌跡與中心點(diǎn)y坐標(biāo)和x坐標(biāo)規(guī)劃軌跡相同。

7 結(jié)論

(1)利用螺旋理論通過對(duì)CRR支鏈分析，結(jié)合UPS結(jié)構(gòu)支鏈，設(shè)計(jì)了一種新型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)。選取各支鏈輸入，證明機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)的合理性。

(2)分析了機(jī)構(gòu)輸入、輸出運(yùn)動(dòng)關(guān)系，推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)正、逆位置解析關(guān)系；對(duì)機(jī)構(gòu)位置關(guān)系方程求導(dǎo)，得到了機(jī)構(gòu)速度關(guān)系方程和Jacobian矩陣。機(jī)構(gòu)輸入、輸出關(guān)系部分解耦，通過分析速度Jacobian矩陣，發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)不存在奇異位形。機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)工作空間連續(xù)規(guī)則，軌跡規(guī)劃時(shí)無需考慮奇異點(diǎn)和空洞的影響。

(3)根據(jù)中心點(diǎn)變化條件，采用五次多項(xiàng)式進(jìn)行軌跡規(guī)劃，得到了機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)變化規(guī)律。該機(jī)構(gòu)輸入、輸出運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系簡單，易于實(shí)現(xiàn)精確實(shí)時(shí)控制。