基于全階滑?？刂频碾p輪移動機器人跟蹤誤差研究*

萬 軍，賈宇明

(1.重慶城市職業(yè)學(xué)院信息工程系，重慶 402160；2.電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，成都 610036)

0 引言

隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，機器人的應(yīng)用領(lǐng)域也逐漸擴大。消防機器人 、醫(yī)療機器人、航天機器人、服務(wù)機器人及教育機器人等已經(jīng)得到了快速發(fā)展[1-2]。在機器人發(fā)展過程中，兩輪差速機器人因結(jié)構(gòu)簡單，在社會發(fā)展中得到了普遍應(yīng)用。對兩輪差速機器人的研究，主要問題還是控制的精確性和穩(wěn)定性。當(dāng)設(shè)置參考運動軌跡時，機器人能夠平穩(wěn)、精確、快速地按照指定運動軌跡進行追蹤。

當(dāng)前，對機器人控制的研究方法有多種。例如：文獻(xiàn)[3-4]研究了清洗機器人控制系統(tǒng)，主控制器硬件采用單片機控制，通過圖像識別技術(shù)，設(shè)計出清洗機器人人機交互界面，該控制系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、操作靈活等優(yōu)點；文獻(xiàn)[5-6]研究了機器人分?jǐn)?shù)階PID控制方法，采用粒子群算法對PID控制器參數(shù)進行優(yōu)化，將優(yōu)化后的參數(shù)通過MATLAB軟件進行仿真，從而提高了機器人控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度；文獻(xiàn)[7-8]研究了鋼結(jié)構(gòu)壁面機器人模糊控制系統(tǒng)，設(shè)計了模糊推理測試模型，通過MATLAB軟件對模塊控制系統(tǒng)進行測試，較好地實現(xiàn)人機作業(yè)的控制要求。例如：文獻(xiàn)[9]研究了兩輪移動機器人狀態(tài)反饋控制器，建立了兩輪機器人空間坐標(biāo)系，推導(dǎo)其移動速度和角速度方程式，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器仿真模型，能夠使機器人速度和角速度保持在零線附近。但是，對兩輪移動機器人的運動速度和角速度跟蹤控制方法研究較少。

對此，本文主要介紹經(jīng)典PI控制器和全階滑?？刂破?，全階滑?？刂破饕元毩⑤喗撬俣瓤刂破鞯男问接糜趦奢啿顒域?qū)動移動機器人。為了獲得相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)，除了一般的動力學(xué)特性外，構(gòu)成的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)仿真模型還包括驅(qū)動器的動態(tài)特性和粘滯摩擦。驗證和比較內(nèi)部速度控制回路在使用經(jīng)典PI控制和全階滑?？刂破髦械男阅?。

1 移動機器人模型

1.1 機器人運動學(xué)模型

本文研究的是雙輪移動機器人，其模型及參數(shù)如圖1所示。

圖1 雙輪移動機器人簡圖

移動機器人位置和速度向量定義如下：

(1)

式中，x、y、φ分別為移動機器人橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和方向角度；v、ω分別為移動機器人線速度和角速度。

移動機器人動力學(xué)模型[10]定義為：

(2)

式中，d為重心到車輪轉(zhuǎn)動中心的距離。

移動機器人左輪、右輪角速度定義為：

(3)

式中，ωR、ωL分別為移動機器人左輪和右輪角速度。因此，可以得到移動機器人的線速度和角速度分別如下所示：

(4)

式中，r、b分別為車輪半徑、車輪到車輪轉(zhuǎn)動中心的距離。

由式(3)、式(4)經(jīng)過逆變換可得移動機器人的線速度v和角速度η之間的關(guān)系如下：

(5)

1.2 機器人動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二運動定律，在全局坐標(biāo)中的加速度v′、速度v和左、右輪輸入的扭矩τR、τL之間的微分關(guān)系為：

(6)

(7)

式中，M為移動機器人的質(zhì)量；Ic為移動機器人的轉(zhuǎn)動慣量。

移動機器人在運動過程中，實際產(chǎn)生的扭矩為：

τi=τmi-(τfi-τzi)

(8)

式中，τmi為驅(qū)動器產(chǎn)生的扭矩；τfi為車輪旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的摩擦扭矩；τzi為外部干擾產(chǎn)生的扭矩；i=R，L。

式(6)、式(7)采用矩陣表示為：

M(q)v′+V(q′,q)v+Fv=B(q)τm-B(q)τz

(9)

式中，M(q)為慣性矩陣；V(q′,q)為向心力矩陣；F為摩擦力矩陣；B(q)為變換矩陣。

1.3 直流電動機模型

帶有減速器和負(fù)載的直流電動機機電部分結(jié)構(gòu)如圖2所示,本文使用的直流電動機驅(qū)動機器人通過理想變速器實現(xiàn),該變速器的輸入與輸出比為1：N。

圖2 電機驅(qū)動簡圖

兩臺電動機在負(fù)載旋轉(zhuǎn)軸上產(chǎn)生的電動機轉(zhuǎn)矩可用矢量表示如下：

(10)

式中，Kτ為電機轉(zhuǎn)矩常數(shù)；iL、iR分別為左右兩個轉(zhuǎn)子線圈電流。

當(dāng)電機轉(zhuǎn)速改變時，由于變速箱速比的關(guān)系，其等效轉(zhuǎn)動慣量Je可表示為：

Je=N2Jr+Jl

(11)

式中，Jr、Jl分別為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量和變速器負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量。

對于摩擦力矩和外部干擾力矩有同樣的效果,當(dāng)轉(zhuǎn)子在定子中旋轉(zhuǎn)時,粘滯摩擦力可以通過已知的系數(shù)Br來計算,但是對于負(fù)載軸上的粘滯摩擦力，系數(shù)Bl是未知的，因為它與減速器和軸承有關(guān)。等效粘性摩擦系數(shù)Be的值可以通過實驗獲得。單個驅(qū)動器上的負(fù)載可近似于半徑為r的半個機器人的質(zhì)量。根據(jù)第二牛頓運動定律可以得到如下：

(12)

電機輸入電壓ui和轉(zhuǎn)子線圈電流ii之間的關(guān)系可用微分方程[11]表示為：

(13)

式中，La為轉(zhuǎn)子線圈電感；Ra為終端電阻；Ke為反電動勢常數(shù)；ωi為負(fù)載角速度。

2 全階滑?？刂破?/h2>

機器人內(nèi)部控制回路的目標(biāo)是跟蹤參考輪速度，并將動態(tài)控制轉(zhuǎn)換為更簡單的運動控制問題，內(nèi)部控制回路如圖3所示。

圖3 機器人內(nèi)部速度控制回路

控制誤差可用車輪的角速度來定義，如下所示：

(14)

式中，ωLref、ωRref分別為車輪左右參考角速度。

使用經(jīng)典PI控制器對第一種內(nèi)部速度控制回路進行設(shè)計，使用全階滑?？刂破鲗Φ诙N內(nèi)部速度控制回路進行設(shè)計。

2.1 PI控制器

從控制學(xué)的角度來看，移動機器人可以看作是一對帶有負(fù)載的電動機。通過拉普拉斯變換，帶減速器的單直流電機、粘滯摩擦和等效載荷均可用線性傳遞函數(shù)表示：

(15)

相對于控制問題，最好用下列形式表示：

(16)

式中，Z為系統(tǒng)增益；T1、T2為時間常數(shù)。

基于公式(16)的傳遞函數(shù)，PI控制器的參數(shù)可以采用下列方法獲得：

(17)

式中，r0、r1為PI控制器參數(shù)；ei(t)為控制誤差。

對PI控制器進行離散化處理，以便在移動機器人中實現(xiàn)，離散化處理的控制器形式[12-13]為：

ui(k)=ui(k-1)+q0ei(k)+q1ei(k-1)

(18)

式中，q0、q1為等效的離散控制器參數(shù)。

2.2 全階滑?？刂破髟O(shè)計

移動機器人線速度和角速度跟蹤誤差可以定義為：

(19)

為了提高機器人軌跡跟蹤精度，抑制外界干擾信號對機器人的影響，設(shè)計全階滑模面表達(dá)式為：

(20)

式中，λ1、λ2為滑模面正實數(shù)。

根據(jù)狀態(tài)觀測器，可以得到全階滑模控制器為：

(21)

式中，τl、τr分別為左、右輪驅(qū)動力矩；T1、T2>0；k1和k2為增益系數(shù)。

將公式(21)代入公式(20)，可以得到：

(22)

其中，

通過觀測器得到的誤差可以收斂在一個很小的范圍內(nèi)，即觀測誤差是有界的，滿足下列條件：∣ed1∣≤l1，∣ed2∣≤l2。

2.3 穩(wěn)定性證明

根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)[14]可以得到：

(23)

由公式(23)可知：sj≠0時，V>0。根據(jù)滑動模態(tài)穩(wěn)定條件，需要對公式(23)進行求導(dǎo)可以得到：

(24)

V′=V1+V2≤0

(25)

根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的穩(wěn)定性理論可知，全階滑模控制器是穩(wěn)定的。

3 仿真及分析

為了進一步驗證全階滑模控制的優(yōu)越性，下面采用MATLAB軟件分別對PI控制器和全階滑模控制器輸出誤差進行仿真。假設(shè)機器人初始位姿為[0,0]，機器人運動軌跡為x2+y2=4，滑模面控制器參數(shù)λ1=λ2=12、T1=T2=0.2，仿真時間為4 s，在第2 s時，對雙輪移動機器人施加y=sin(2πt)信號波干擾。采用PI控制器，移動機器人車輪運動線速度和角速度輸出誤差分別如圖4、圖5所示。采用全階滑模控制器，移動機器人車輪運動線速度和角速度輸出誤差分別如圖6、圖7所示。

圖4 線速度輸出誤差(PI控制) 圖5 角速度輸出誤差(PI控制)

分析圖4、圖5可得：采用傳統(tǒng)PI控制器，雙輪機器人線速度和角速度超調(diào)量較大，在0～0.5 s時間范圍內(nèi)，線速度和角速度產(chǎn)生的最大值分別為0.52 m/s和1.18 rad/s，大約在0.5 s后，根據(jù)輸出誤差變化，控制系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，但是線速度和角速度輸出誤差分別為0.05 m/s和0.48 rad/s。另外，在第2 s時刻處，受到外界信號波干擾時，其跟蹤誤差再次變大，調(diào)整時間為0.5 s。面對外界波形的干擾，PI控制器作出自適應(yīng)調(diào)節(jié)時間較長，導(dǎo)致機器人運動線速度和角速度較大，跟蹤精度較低。

圖6 線速度輸出誤差(全階滑模控制) 圖7 角速度輸出誤差(全階滑?？刂?

分析圖6、圖7可知：采用全階滑模控制器，雙輪機器人線速度和角速度超調(diào)量較小，在0～0.5 s時間范圍內(nèi)，線速度和角速度產(chǎn)生的最大值分別為0.31 m/s和0.54 rad/s，大約在0.15 s后，根據(jù)輸出誤差變化，控制系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，線速度和角速度輸出誤差分別為0.03 m/s和0.12 rad/s。另外，在第2 s時刻處，受到外界信號波干擾時，其跟蹤誤差沒有受到外界信號干擾，仍然保持較高的跟蹤精度。對比兩種控制方法可知，PI控制器調(diào)節(jié)時間為0.5 s，而全階滑?？刂破髡{(diào)節(jié)時間為0.15 s，調(diào)節(jié)時間縮短了70 %。因此，采用全階滑模控制器，移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較小，自適應(yīng)調(diào)節(jié)時間較短，能夠更好地抑制外界環(huán)境的干擾因素。

4 結(jié)束語

本文采用傳統(tǒng)的PI控制器和全階滑?？刂破鲗奢啿顒右苿訖C器人線速度和角速度進行控制，通過MATLAB軟件對其輸出誤差進行仿真，仿真結(jié)果表明：

(1)采用傳統(tǒng)PI控制器，雙輪移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較大，而采用全階滑?？刂破?，移動機器人運動線速度和角速度跟蹤誤差較小。全階滑?？刂破髂軌颢@得更穩(wěn)定的控制效果，使機器人運動更加平穩(wěn)。

(2)與PI控制器相比，全階滑?？刂破鞣磻?yīng)更加迅速，能夠在較短的時間內(nèi)，使控制系統(tǒng)輸出誤差達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。特別是在移動機器人運動遇到危險狀態(tài)下，能夠迅速地躲避障礙物，避免機器人發(fā)生碰撞事故。

(3)在有外界波形因素的環(huán)境中，傳統(tǒng)PI控制器容易受到外界波形信號干擾，導(dǎo)致機器人輸出誤差較大，而全階滑模控制器能夠抑制外界的干擾，對控制系統(tǒng)幾乎無影響，使機器人繼續(xù)保持穩(wěn)定的運動狀態(tài)。