多元回歸方法在芹山水庫流域年降雨量系列插補(bǔ)的應(yīng)用

陳信花，呂澤浩，潘志浩

(1.華電寧德電力開發(fā)有限公司，福建 寧德 352100；2.太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024；3.武漢大學(xué)水利水電學(xué)院，武漢 430072)

0 引 言

穆陽溪流域?qū)俳幌担歉＝ㄊ∥宕蠛恿髦唤幌囊患壷Я鳎挥诟＝ㄊ|北部，穆陽溪流域面積1 389 km2，主河道長132 km，河道平均坡降7.49‰，天然落差為820 m，芹山水庫位于福建省周寧縣，于1999年底建成并蓄水，至今已安全運(yùn)行21年，為保證今后安全運(yùn)行, 有必要對水庫的流量指標(biāo)進(jìn)行復(fù)核。但是流域內(nèi)雨量站資料不夠完整，無法進(jìn)行產(chǎn)匯流計(jì)算，得到流量等一系列水文要素。針對這一問題，目前插補(bǔ)缺失的降雨數(shù)據(jù)的方法有相似性插補(bǔ)法，空間插補(bǔ)法，氣象要素混合插補(bǔ)法,地形影響因子插補(bǔ)法等[1]，這些方法對其他相關(guān)資料的要求更高，而一些區(qū)域由于氣象站運(yùn)行方式為無人值守?cái)?shù)據(jù)采集以及傳輸受到電力通信條件的限制，相關(guān)資料更加難以獲取[2]。而在水文問題中數(shù)值相關(guān)通常按照數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸相關(guān)進(jìn)行特別是當(dāng)相關(guān)點(diǎn)群相當(dāng)散漫時，利用回歸分析模型，只需將建庫前的完整降雨資料加入已知的降雨資料系列中, 計(jì)算建立回歸方程，便可獲得其缺測漏測年份的降雨資料，進(jìn)一步用于水庫流量校核[3]。其中求解回歸模型的參數(shù)仍比較難求解，本文采用最小二乘法，通過不同站點(diǎn)的均方誤差比較，采用最優(yōu)的回歸模型進(jìn)行水文資料的插補(bǔ)和，從而使插補(bǔ)結(jié)果更精確。因此，此方法對穆陽溪流域各站水文資料進(jìn)行插補(bǔ)，為流域內(nèi)水利規(guī)劃、水資源調(diào)查評價(jià)、水資源合理配置等工作提供基礎(chǔ)依據(jù)，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義[4]。

1 流域及水庫概況

芹山、周寧水電站位于福建省穆陽溪流域，位于福建省東北部，發(fā)源于福建省鷲峰山脈北端東南側(cè)政和縣的鎮(zhèn)前和澄源之間的南山崗。流經(jīng)周寧縣泗橋、純池、浦源，吸納周寧城關(guān)和七步等地來水后在文潭村流入福安市穆陽和康厝諸地，在賽歧鎮(zhèn)上游約2 km處匯入交溪。芹山、周寧水電站的徑流資料包括芹山壩址及附近流域內(nèi)所有雨量站60 a年降雨量資料(1958-2017年)和七步站60 a(1959-2017年)逐月降雨徑流資料。芹山壩址上游流域內(nèi)共有純池、澄源、鎮(zhèn)前、前溪和泗橋等5個雨量站，其中純池雨量站資料完整，澄源、鎮(zhèn)前和泗橋3個雨量站資料在1958-1991年、2007-2017年間資料完整，1992-2006年間降雨量資料有不同程度的缺失，其中七步、際頭雨量站資料完整，由于雨量站降雨量資料不齊全，需對雨量站的降雨系列進(jìn)行插補(bǔ)。

2 年降雨量插補(bǔ)方法

2.1 回歸分析

雨量站在地區(qū)中的時空分布不連續(xù)，需要將相鄰、相似流域或地區(qū)的站點(diǎn)，且具有相同系列的參證站資料通過回歸分析后，將具有長系列的參證站點(diǎn)資料插補(bǔ)至缺測雨量站中。所以當(dāng)流域中缺少長期測站時，可利用自然地理?xiàng)l件相似的鄰近流域的雨量站作為參證站，通過對已有完整的水文數(shù)據(jù)與缺測站點(diǎn)的部分水文數(shù)據(jù)建立進(jìn)行回歸分析，便可以達(dá)到展延水文資料的目的。

降雨資料插補(bǔ)時，參證變量和設(shè)計(jì)變量應(yīng)遵循如下原則：①有密切的成因關(guān)系;②具有同步系列的參證站資料[5];③參證站需有足夠長的時間系列資料。

具體數(shù)學(xué)方法如下：多元線性回歸方程的形式為:

y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

(1)

如果我們獲得n組觀測數(shù)據(jù),其中每一組觀測

yi=β0+β1x1i+β2x2i+…+βkxki+εi

(2)

式中:i=1，2，…,n;則上式可寫為矩陣形式Y(jié)=XB+ε，即:

(3)

由最小二乘法求得回歸系數(shù)β0,β1,…,βk，使得：

Qe=Q(β0,β1,…,βk)=

(4)

(5)

從而使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來求得回歸系數(shù)，求解各回歸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程如下,分別求Qe關(guān)于β0,β1,…,βk的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0。

(6)

利用SPSS或Excel分別對已知長系列降雨資料分別與需要插補(bǔ)降雨資料的雨量站進(jìn)行一元、二元、三元回歸分析求出相應(yīng)回歸方程，但是要注意在某些實(shí)際問題中，模型回歸系數(shù)不能任意取值，可能有一定的約束，應(yīng)用到具體情況中應(yīng)注意[6]。

2.2 顯著性檢驗(yàn)

顯著性檢驗(yàn)就是事先對總體(隨機(jī)變量)的參數(shù)做出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷這個假設(shè)是否合理。R檢驗(yàn)是對每一個回歸方程相關(guān)程度的好壞進(jìn)行檢驗(yàn)，R表示所有自變量與因變量的相關(guān)程度，其值越接近于1，表示相關(guān)程度越高，回歸關(guān)系越顯著。

(7)

F檢驗(yàn)中要檢驗(yàn)自變量是否與因變量呈線性相關(guān)，即檢驗(yàn)原假設(shè)是H0否成立。其中備擇假設(shè)為H:β1=β2=…,βk=0。當(dāng)H0成立時，線性相關(guān)，否則相關(guān)性不顯著。統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量F檢驗(yàn)H0。

(8)

式中：F服從自由度(m，n-m-1)為的F分布，即F～F(m，n-m-1)。給定置信度α，若P[F≤Fα(m,n-m-1)]=1-α成立，則假設(shè)H0成立，否則，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)即線性認(rèn)為相關(guān)。

均方誤差是反映估計(jì)量與被估計(jì)量之間差異程度的一種度量。常常作為一種衡量回歸程度好壞的指標(biāo)。其公式為：

(9)

3 實(shí)例應(yīng)用

為了保證插補(bǔ)準(zhǔn)確度，選取合理的降水資料插補(bǔ)處理尤為重要[7]。在所有降雨資料中，純池站、七步站與際頭站為資料完整的雨量參證站。以澄源、泗橋、鎮(zhèn)前雨量站為待插補(bǔ)雨量站，分別與純池、七步、際頭雨量站建立一元回歸方程，與純池和七步，七步和際頭，際頭和純池雨量站建立二元回歸方程，與純池站、七步站、際頭站建立三元回歸方程。經(jīng)過R檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)，上述所有回歸方程均通過置信度α=0.05的顯著性檢驗(yàn)，自變量與因變量有一定的相關(guān)關(guān)系。為了選擇最優(yōu)的回歸模型，計(jì)算所有回歸方程的均方誤差，取回歸方程中均方誤最小的擬合方程作為其實(shí)際的回歸方程。選取最近五年作為檢驗(yàn)期，其余年份作為率定期(如表1所示)以純池、七步、際頭雨量站為參證站，澄源、泗橋、鎮(zhèn)前雨量站為待插補(bǔ)雨量站，分別應(yīng)用以上方法推求一元、二元及三元回歸關(guān)系，并以均方誤差最小作為評判回歸關(guān)系優(yōu)劣的依據(jù)，且以相對誤差小于等于20%作為合格標(biāo)準(zhǔn)、計(jì)算其率定期合格率，如表2所示。將各待插補(bǔ)站的最優(yōu)回歸方程應(yīng)用于檢驗(yàn)期各年份降雨量計(jì)算，其計(jì)算成果如表3所示。

表1 率定期與檢驗(yàn)期Tab.1 Rate of periodic and inspection period

表2 各插補(bǔ)站最優(yōu)回歸方程計(jì)算結(jié)果表Tab.2 Results of optimal regression equation of each interpolation station

表3 檢驗(yàn)期實(shí)測年降雨量與插補(bǔ)降雨量對比表Tab.3 Comparison of measured annual rainfall and interpolation rainfall during the test period

按照表2所示回歸方程對各個站點(diǎn)缺測年份的降雨量進(jìn)行插補(bǔ)，并繪制插補(bǔ)后歷年降雨量如圖2所示，其中實(shí)線為實(shí)測降雨量系列，虛線為插補(bǔ)后的降雨系列。經(jīng)分析可知，流域降雨資料的結(jié)果相關(guān)度較高，均方誤差較小，精度較高，達(dá)到實(shí)際使用要求。對于具有短系列實(shí)測降雨、徑流資料的一些流域，在進(jìn)行水資源分析計(jì)算之前必須要對現(xiàn)有水文資料進(jìn)行必要的插補(bǔ)，所選用的方法最好避免單一化，應(yīng)盡可能實(shí)現(xiàn)多樣化分析計(jì)算，以便達(dá)到對比分析辯證取舍的目的[8]。

4 結(jié) 論

根據(jù)繪制的多年降雨量過程，可知穆陽溪流域內(nèi)各雨量站年降雨量相差不大，降水有周期性及年際變化大的特點(diǎn)。對于其他地區(qū)，在保證地理相關(guān)性的情況下，可使用此方法進(jìn)行插補(bǔ)，以解決部分雨量站缺測漏測的問題。從而為水利規(guī)劃、水資源調(diào)查評價(jià)、水資源合理配置等工作提供基礎(chǔ)依據(jù)。

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