由漸近幾乎負相協(xié)（AANA）隨機變量序列生成的移動平均過程的中心極限定理

徐惠蓮，王穎

（1.長春職業(yè)技術(shù)學(xué)院職業(yè)基礎(chǔ)部，吉林長春130031；2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連116024）

1 引言及主要結(jié)果

定義1 如果對集合(1，2，…，n)的任意2個不相交的非空子集T1與T2，均有

其中，f和g是任意2個使協(xié)方差存在且對每個變元均非降（或同為對每個變元均非升）的函數(shù)，那么稱X=(X1，X2，…，Xn) 為 負 相 協(xié) （negatively associated，NA）隨機向量，稱 {Xn，n≥ 1}為 NA 隨機變量序列。

定義2 如果存在非負序列q(n)→0(n→∞)，對任意的n，k≥ 1，均有

其中，f和g是任意2個使協(xié)方差存在且對每個變元均非降的函數(shù)，那么稱{Xn，n≥1}為漸近幾乎負相協(xié) （asymptotically almost negatively associated，AANA）隨機變量序列，稱{q(n)，n≥1}為該序列的控制系數(shù)。

NA隨機變量序列的定義可參見文獻［1］，NA隨機變量序列在可靠性理論、滲透性理論及多元分析中有廣泛應(yīng)用［2］。

AANA隨機變量最早見于文獻［3-4］。顯然，當(dāng)q(n)=0，n≥1時，AANA隨機變量序列即為NA隨機變量序列。但若令Xn=(1+a2n)-1/2(ηn+anηn+1)，其中，{ηn，n≥ 1}為獨立同分布 N（0，1）隨機變量，an≥0且 an→0，n→ ∞，易知 {Xn，n≥1}是AANA隨機變量序列而非NA隨機變量序列。因此AANA隨機變量序列是更為廣泛的包含獨立隨機變量序列和NA隨機變量序列的相依隨機變量序列。自AANA隨機變量概念提出以來，概率統(tǒng)計學(xué)家對其性質(zhì)進行了廣泛研究，具體可參見文獻［5-14］。文獻［8］研究了AANA隨機變量序列的中心極限定理，但至今尚未見由AANA隨機變量序列生成的移動平均過程的中心極限定理的相關(guān)研究結(jié)果，為此，本文對其進行了研究。主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè){Xn，n≥1}是同分布且控制系數(shù)為{q(n)，n≥1}的AANA隨機變量序列，當(dāng)0＜δ＜1時，滿足

若存在嚴(yán)格上升的自然數(shù)序列{nk，k≥1}，當(dāng)0＜α≤1時，滿足

由定理1，可推出以下關(guān)于嚴(yán)平穩(wěn)AANA隨機變量序列的中心極限定理。

推論1 設(shè){Xn，n≥1}是嚴(yán)平穩(wěn)且控制系數(shù)為{q(n)，n≥1}的 AANA 隨 機 變 量 序 列 ，當(dāng) 0＜δ＜1時，滿足

注 1 令 a0=1，ai=0，i≠ 0，顯然 {ai}絕對可和且Xn=Yn，因此定理1和推論1對AANA隨機變量序列的部分和也成立。本文推廣了文獻［8］的結(jié)果。

注2 由于AANA隨機變量序列包含獨立隨機變量序列和NA隨機變量序列，因此定理1和推論1對獨立隨機變量序列和NA隨機變量序列仍然成立，推論1將文獻［15］的結(jié)論從NA隨機變量序列推廣至AANA隨機變量序列。

2 定理1的證明

下文中，C表示正常數(shù)，不同地方可表示不同的值。首先介紹證明中需要的幾個引理。

引理 1［5］設(shè) {Xn，n ≥ 1}是同分布且控制系數(shù)為{q(n)，n≥1}的AANA隨機變量序列，滿足

由引理3和Slutsky引理，可知定理1成立。

證畢！