具無(wú)界中立系數(shù)的三階非線性微分方程解的振動(dòng)性和漸近性

曾云輝，汪志紅*，汪安寧，羅李平，俞元洪

（1.衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南衡陽(yáng)421008；2.中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京100190）

0 引 言

考慮具無(wú)界中立系數(shù)的三階非線性微分方程

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，f(x)∈C(R，R)，

下文總假設(shè)下列條件成立：

(H1)α和β是 2個(gè)正奇數(shù)之比，

(H2)r(t) ∈C1(I，R+)，r"(t) ≥ 0，q(t) ∈C1(I，R+)，p(t)∈C(I，[1，∞ ))且p(t)不恒等于 1；

(H3) τ(t)，δ(t)∈C(I，(0，∞ ))，τ(t)≤t，δ(t)≤t，τ(t)在 I上 是 嚴(yán) 格 遞 增 的 函 數(shù) ，且

考慮以下2種情況：

和

式（1）的解指函數(shù) x(t)∈ C1[Tx，∞ )，Tx≥t0使得r(t)[z″(t)]α∈C1[Tx，∞ )且在 [Tx，∞ )上滿足 式（1） 。 本 文 僅 考 慮 式 （1） 中 滿 足sup{|x(t)|：t≥T}＞0對(duì)一切T≥Tx成立的解。如果式（1）在[Tx，∞)上有任意大于零的點(diǎn)，則稱其是振動(dòng)的，否則，稱其是非振動(dòng)的。

中立型方程解的振動(dòng)性和漸近性問(wèn)題具有重要的理論和實(shí)踐意義，例如，中立型微分方程可應(yīng)用于核物理中原子核內(nèi)部的電動(dòng)勢(shì)及高速計(jì)算機(jī)無(wú)損傳輸電路的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)等。對(duì)式（1）的振動(dòng)性和漸近性研究越來(lái)越受關(guān)注［3-17］，以下為特例和更一般形式的方程：

其中，λ，α＞ 0，n≥ 3，且n為正奇數(shù)。

近年來(lái)，文獻(xiàn)［3-9，12，14-17］用不同方法研究了三階中立型微分方程的振動(dòng)性，得到了一些很好的結(jié)果，但其中大部分是式（1）的特例或與-1＜p0≤ p(t)≤ 0，0≤ p(t)≤ p0＜ 1 或 0≤ p(t)≤ p0＜∞的情況有關(guān)，而在p(t)＞1時(shí)關(guān)于三階中立型微分方程的振動(dòng)結(jié)果尚不多見(jiàn)。例如，文獻(xiàn)［11-13］分別研究了式（8）、式（9）和式（6）的振動(dòng)性，給出了一些振動(dòng)結(jié)果，而這些結(jié)果是在條件τ?δ=δ?τ或τ?δ=δ?τ和 τ?σ=σ?τ下得到的，限制性較強(qiáng)，條件不易滿足。最近，文獻(xiàn)［14-15］取消了限制條件τ?δ=δ?τ，分別給出了式（4）和式（5）在正則條件下解的振動(dòng)準(zhǔn)則，但均未考慮非正則的情況，因此，研究式（1）在條件τ?δ≠δ?τ和非正則條件下的振動(dòng)性問(wèn)題是有意義的。

注 意 到 當(dāng) r(t)=1，α=β＞0，f(x(δ(t)))=xα(δ(t))時(shí)，式（1）變?yōu)槭剑?）。當(dāng) r(t)=1，α=1，β = λ，f(x(δ(t)))=xλ(δ(t))時(shí)，式（1）變?yōu)槭剑?）。因此，式（1）更具一般性，研究式（1）很有意義。

受文獻(xiàn)［14］的啟發(fā)，在條件τ?δ≠δ?τ和α≠β下，對(duì)式（1）展開(kāi)研究，分別建立在正則條件

和非正則條件

下，式（1）的解x(t)或振動(dòng)或漸近收斂于零的若干新的振動(dòng)準(zhǔn)則，所得結(jié)果推廣、改進(jìn)和統(tǒng)一了最近文獻(xiàn)中若干熟知的結(jié)果。

如果沒(méi)有特別說(shuō)明，均假設(shè)下文中出現(xiàn)的函數(shù)不等式最終成立，即對(duì)一切充分大的t成立。

1 主要結(jié)果

為書(shū)寫方便，引入記號(hào)：

其中，τ-1是 τ的反函數(shù)，m(t)和a(t)是本文設(shè)定的函數(shù)。

引理1 設(shè)(H1)～(H3)成立，x(t)是式（1）的正解，則當(dāng)t≥t1，t1充分大時(shí)，z(t)具有下列3種性質(zhì)：

(I)z(t)＞ 0，z"(t)＞ 0，z″(t)＞ 0，z?(t)≤ 0，{r(t)[z″(t)]α}"≤ 0；

(II)z(t)＞ 0，z"(t)＜ 0，z″(t)＞ 0，z?(t)≤ 0，{r(t)[z″(t)]α}"≤ 0；

(III)z(t)＞ 0，z"(t)＞ 0，z″(t)＜ 0，{r(t)[z″(t)]α}"≤ 0。

特別地，當(dāng)式（10）成立時(shí)，z(t)滿足性質(zhì)（I）和（II）。

證明 引理1的證明類似于文獻(xiàn)［17］中引理1的證明。此證略。

引理2 設(shè)(H1)～(H3)及p*(t)＞0成立，x(t)是方程（1）的正解，且z(t)滿足性質(zhì)（II）。若

證明 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，且z(t)滿足性質(zhì)（II），即存在 t1∈[t0，∞)，當(dāng) t∈[t1，∞)時(shí)，有 x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞0。 由 z(t)的定義，有

由于z(t)為減函數(shù)且τ(t)≤t，所以有

將式（14）代入式（13），有

從而有

由式（1）和式（15），有

與 式（12）矛 盾 ，因 此 L=0。 又 由 于 0＜x(t)≤z(t)，因此

引理2得證。

引理3［2］設(shè)A＞ 0，B＞ 0，X ≥ 0，則

引理 4［1］設(shè) f(t)∈ Cn([t0，∞ )，R+)，若 f(n)(t)對(duì)一切充分大的t最終定號(hào)，且存在t1≥t0，使得f(n-1)(t)f(n)(t)≤0對(duì)一切 t≥t1成立。如果則對(duì)任意 λ∈(0，1)，存在 tλ∈[t1，∞ )，使得在[tλ，∞ )上，有

引 理 5［3］設(shè) 函 數(shù) y(t)滿 足 y(i)(t)＞ 0，i=0，1，…，k，且 y(k+1)(t)≤ 0，則有

引理6 設(shè)(H1)～(H3)和p*(t)＞0成立，x(t)是方程（1）的最終正解，且z(t)滿足性質(zhì)（I），若存在函數(shù) m(t)∈ C1(I，R+)，滿足

則z(t)滿足

證明 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，即存在充 分 大 的 t1，使 得 當(dāng) t≥ t1≥ t0時(shí) ，有 x(t)＞ 0，x(τ(t))＞0，x(δ(t))＞0。 則式（18）和 τ-1(δ(t))＞t1成立（當(dāng)x(t)最終為負(fù)時(shí)，可類似證明）。由引理2的證明，得到式（13）。又因?yàn)閦(t)滿足性質(zhì)（I），由引理5可得

故

由式（1）和式（20），可得式（19）。

引理6得證。

引理6" 設(shè)(H1)～(H3)和Q(t)＞0成立，x(t)是式（1）的最終正解，且z(t)滿足性質(zhì)（III），若存在函數(shù) a(t)∈ C1(I，R+)，滿足

則z(t)滿足

證明 與引理6的證明類似。此證略。

下面介紹本文的主要結(jié)果。

定理1 設(shè)(H1)～(H3)和式（12）成立。若式（10）和

均成立，則式（1）的解x(t)都是振動(dòng)的，或當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→ 0。

證明 設(shè)式（1）存在非振動(dòng)解x(t)。不失一般性，設(shè) x(t)最終為正，由引理 1和式（10），z(t)只可能滿足性質(zhì)（I）和（II）。若z(t)滿足性質(zhì)（I），則由引理6，得式（19）成立，對(duì)式（19）從t1到t積分，有

因 z(t)＞ 0，z"(t)＞ 0，故存在常數(shù) M ＞ 0，使得當(dāng)z(t)≥ M 時(shí)，有

進(jìn)一步考慮，如果式（10）和式（23）其中之一不滿足，將如何彌補(bǔ)？為此，首先考慮式（23）不成立的情況。

定理 2 設(shè)(H1)～(H3)、式（2）和式（12）成立。若式（10）成立且存在函數(shù) m(t)∈C1(I，R+)，則滿足式（18）。對(duì)于充分大的 t，有 p*(t)＞ 0和 p*(t)＞ 0。如果存在函數(shù) η(t)∈C1(I，R+)、常數(shù) λ∈(0，1)和L0＞ 0，滿足

則式（1）的解x(t)都是振動(dòng)的，或者當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→ 0。

證明 設(shè)式（1）存在非振動(dòng)解x(t)。不失一般性，設(shè) x(t)最終為正，即存在t1∈[t0，∞ )，當(dāng) t≥ t1時(shí)，使得 x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0， p*(t)＞ 0，p*(t)＞0，τ-1(δ(t))＞t0及式（18）成立（當(dāng) x(t)最終為負(fù)時(shí)，可類似證明）。因式（10）成立，故z(t)只可能滿足性質(zhì)(I)和(II)。首先，設(shè)z(t)滿足性質(zhì)(I)，由引理 5，可得

m(t)∈C1(I，R+)滿足式（18）。對(duì)于充分大的 t，滿足 p*(t)＞0 和 p*(t)＞0，如 果 存 在 函 數(shù)η(t)∈C1(I，R+)、常 數(shù) λ∈(0，1)、L0＞ 0 和 m0＞ 0，滿足

則式（1）的解x(t)都是振動(dòng)的，或當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→ 0。

證明 設(shè)x(t)是方程（1）的非振動(dòng)解。不失一般性，設(shè) x(t)最終為正，故存在 t1∈[t0，∞ )，當(dāng) t＞ t1時(shí)，使得 x(t)＞0，x(τ(t))＞0，x(δ(t))＞ 0，p*(t)＞0，p*(t)＞ 0，τ-1(δ(t))＞ t0及 式（18）成 立 。 因 式（10）成立，故 z(t)只可能滿足性質(zhì) (I)和(II)。首先，設(shè) z(t)滿足性質(zhì)(I)，注意到式（3）和(H3)，類似于定理6的證明，可得式（67）。

同定理2，定義函數(shù)w(t)，由式（19）、式（27）～式（29）和式（67），可得

后續(xù)證明與定理3的證明類似，此證略。

3 例 子

例1 考慮具有無(wú)界中立系數(shù)的三階非線性微分方程

故式（25）成立。因此，由定理2知，式（71）的解x(t)都是振動(dòng)的或者漸近收斂于零。由于α≠β，因此文獻(xiàn)［3-16］及其引文中的振動(dòng)結(jié)果均不適用于式（71）。