巴拿赫空間中演化過(guò)程非一致指數(shù)二分性的Datko-Pazy型定理

岳田 ，宋曉秋

（1.湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002；2.汽車(chē)動(dòng)力傳動(dòng)與電子控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院)，湖北十堰442002；3.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇徐州221116）

近年來(lái)，關(guān)于微分系統(tǒng)定性理論的研究取得了突破性進(jìn)展，尤其是在指數(shù)漸近性方面，大量公開(kāi)問(wèn)題的解決，推進(jìn)了相關(guān)理論的拓展和完善［1-13］。1930 年，PERRON［1］在有限維空間中利用輸入-輸出方法（又稱(chēng)Perron方法或測(cè)試函數(shù)方法）建立了齊次微分方程x˙(t)=A(t)x(t)解的指數(shù)漸近性（指數(shù)二分性）與對(duì)應(yīng)的非齊次微分方程x˙(t)=A(t)x(t)+f(t)之間的關(guān)系。隨后，MASSERA等［2］在此基礎(chǔ)上，將結(jié)果擴(kuò)展到無(wú)限維空間，并首次研究相應(yīng)微分系統(tǒng)的非一致指數(shù)漸近性。2010年，BARREIRA 等［3］通 過(guò) 定 義 合 適 的 范 數(shù)（又 稱(chēng)Lyapunov范數(shù)），討論了演化過(guò)程非一致指數(shù)穩(wěn)定性與容許性之間的關(guān)系。此后，基于Lyapunov范數(shù)獲取非一致指數(shù)漸近性（指數(shù)穩(wěn)定性、指數(shù)膨脹性、指數(shù)二分性、指數(shù)三分性）成為一種重要的技術(shù)手段，文獻(xiàn)［4］基于具有非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化族（演化過(guò)程），研究了非一致指數(shù)二分性與函數(shù)空間對(duì)(Lp(X)，Lq(X))的容許性之間的關(guān)系，獲得了刻畫(huà)非一致指數(shù)二分性的Perron型結(jié)論；文獻(xiàn)［5］給出了非一致指數(shù)增長(zhǎng)的半流上的強(qiáng)連續(xù)上閉鏈的非一致指數(shù)二分性存在的容許條件。值得一提的是，文獻(xiàn)［6］基于 Lyapunov 范數(shù)將 DATKO［7-8］和 PAZY［9］的相關(guān)經(jīng)典結(jié)論擴(kuò)展到非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，得到了非一致指數(shù)穩(wěn)定性與非一致指數(shù)二分性的Datko-Pazy型定理的連續(xù)形式。

定理1［6］設(shè)Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，且滿(mǎn)足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，則 Φ呈非一致指數(shù)二分性，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K，m＞0，使得

由定理1知，非一致指數(shù)二分性意味著Φ在子空間X1(t0)上呈非一致指數(shù)穩(wěn)定性，在補(bǔ)子空間X2(t0)上呈非一致指數(shù)膨脹性，即條件（i）刻畫(huà)了Φ的非一致指數(shù)穩(wěn)定性；而對(duì)Φ的非一致指數(shù)膨脹性的刻畫(huà)需要同時(shí)滿(mǎn)足條件（ii）和（iii）。

受文獻(xiàn)［6］的啟發(fā)，基于Lyapunov范數(shù)建立了Banach空間中刻畫(huà)演化過(guò)程非一致指數(shù)二分性的其他連續(xù)與離散形式的Datko-Pazy型定理，所得結(jié)果推廣并完善了指數(shù)穩(wěn)定性與指數(shù)二分性理論中部分 已 有 結(jié) 果（如 DATKO［7-8］、PAZY［9］、PREDA等［4，6］等）。需要說(shuō)明的是，本文簡(jiǎn)化了定理 1中關(guān)于刻畫(huà)非一致指數(shù)膨脹性的條件，結(jié)論更為簡(jiǎn)潔。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是Banach空間，Θ是度量空間，將空間X上的范數(shù)及作用其上的有界線(xiàn)性算子的全體B(X)的范數(shù)記作||·||。記I為恒等算子，[a]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，M(R+，X)表示所有從R+到X的Lebesgue可測(cè)函數(shù)構(gòu)成的集合。

定義1［6］如果滿(mǎn)足：

（i）Φ (t，t)=I， ?t≥ 0；

（ii）Φ(t，s)Φ(s，t0)= Φ (t，t0)，?t≥ s≥ t0≥ 0；

（iii）Δ × X ?(t，s，x)? Φ(t，s)x ∈ X連續(xù)；

（iv）?ω∈R 及 M：R+? (0，∞)使 得 對(duì) ?t≥t0≥ 0，x∈ X，有

則 稱(chēng)雙變 量 算 子 函 數(shù) Φ：Δ={(t，t0)∈R：t≥ t0≥0}→ B(X)，(t，t0)? Φ(t，t0)為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程。

注 1［6］則稱(chēng) Φ為一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程。

記

為與文獻(xiàn)［6］保持一致，令

假定X1(t0)是閉的且容許一個(gè)閉補(bǔ)子空間X2(t0)，P(t0)為 X1(t0)上的投影算子，即 Im P(t0)=X1(t0)，同時(shí)令Q(t0)=I-P(t0)。

注 2［6］對(duì) ?t≥ t0≥ 0，有

（i）P(t)Φ (t，t0)P(t0)= Φ (t，t0)P(t0)；

（ii）若 x∈ X2(t0)，x ≠ 0，則 Φ(t，t0)x≠ 0。

設(shè)Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，記

定義2［6］設(shè)Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，若 存 在 常 數(shù) N1，N2，v＞ 0，使 得 對(duì) ?t≥ t0≥ 0，x∈X，有

則Φ呈非一致指數(shù)二分性。

注 4［6］在定義 2中，若Q(t0)=0，則 Φ呈非一致指數(shù)穩(wěn)定性；若P(t0)=0，則Φ呈非一致指數(shù)膨脹性。

引理 1［10］設(shè) f，g：R+→ R+，其中 g為連續(xù)函數(shù)且 g(t)＞ 0(?t＞ 0)。若滿(mǎn)足：

（i）f(t)≥ g(t-t0)f(t0)，?t≥ t0≥ 0；

（ii）存在λ＞ 0滿(mǎn)足g(λ)＞ 1，

則存在常數(shù) N，v＞ 0，使得對(duì) ?t≥ t0≥ 0，有 f(t)≥Nev(t-t0)f(t0)。

2 主要結(jié)論

定理2 設(shè)Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，且滿(mǎn)足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，則 Φ呈非一致指數(shù)二分性當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K＞0，使得

證明 必要性。由定義2立即可得。

充分性。由定理1的證明（詳見(jiàn)文獻(xiàn)［6］第578頁(yè)）可知，條件（i）意味著定義 2（i）成立，因此，僅需借助條件（ii）來(lái)證明定義 2（ii）。

設(shè)t≥t0≥0，x∈X，且Q(t0)x≠0，

由式（3）和式（4），結(jié)合定理2可得結(jié)論成立。

定理3得證。

注5［6］設(shè)Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，定理2與定理3分別給出了刻畫(huà)其非一致指數(shù)二分性存在的連續(xù)與離散形式。在這2個(gè)定理中，若Q(t)=0，則可得到Φ滿(mǎn)足非一致指數(shù)穩(wěn)定性的充要條件，即文獻(xiàn)［6］中的定理 3.1；若P(t)=0，則可得到Φ滿(mǎn)足非一致指數(shù)膨脹性的充要條件。故得到的刻畫(huà)其非一致指數(shù)膨脹性條件較文獻(xiàn)［6］更簡(jiǎn)潔。

文獻(xiàn)［6-7］分別給出了演化過(guò)程Φ的非一致指數(shù)穩(wěn)定性和C0半群的一致指數(shù)穩(wěn)定性與Lyapunov算子方程之間的關(guān)系，本文利用Lyapunov算子方程刻畫(huà)了Φ的非一致指數(shù)膨脹性。

推論1 若Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，則Φ呈非一致指數(shù)膨脹性，當(dāng)且僅當(dāng)存在W：R+×X → R+以及常數(shù)p，K"＞ 0，使得

若演化過(guò)程Φ呈非一致指數(shù)膨脹性，則由定義2可得條件（i）成立。

另一方面，

故條件（ii）亦成立。

充分性。由已知條件知，對(duì) ?t≥t0≥0，x∈ X{0}，有

從而有

由定理2可得，Φ呈非一致指數(shù)膨脹性。

最后，給出定理1的離散形式。

定理4 若Φ為非一致指數(shù)增長(zhǎng)的演化過(guò)程，且滿(mǎn)足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，則 Φ呈非一致指數(shù)二分性當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)p，K"＞0，使得

由式（5）～式（7），取 K=K"e2ω，m=1 K"，可得定理 1中的條件（i）～（iii）成立，故 Φ呈非一致指數(shù)二分性。