Hilbert空間中連續(xù)廣義標(biāo)架的和

張偉，周靜

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南鄭州450046）

20世紀(jì)40年代，GABOR[1]將分解復(fù)雜信號(hào)為簡(jiǎn)單信號(hào)的思想引入信號(hào)處理，借助此奠基性方法，DUFFIN等[2]于1952年提出Hilbert空間標(biāo)架概念，當(dāng)時(shí)并未引起重視。1986年，DAUBECHIES等[3]再次引入標(biāo)架概念并對(duì)其進(jìn)行了發(fā)展，通常標(biāo)架才引起關(guān)注。在隨后的30多年中，標(biāo)架理論發(fā)揮了重要作用［4］，并在眾多領(lǐng)域得到應(yīng)用［5-6］，例如用標(biāo)架進(jìn)行編碼、通信以及測(cè)度量化等。

標(biāo)架是向量生成集，有類似于標(biāo)準(zhǔn)正交基的重構(gòu)公式，但系數(shù)不唯一。設(shè)H是可分的Hilbert空間，對(duì)于向量列 {fi}i∈I?H，如果存在正常數(shù)A，B，對(duì)f∈H，有

則稱{fi}i∈I為H空間中的標(biāo)架，A和B分別為標(biāo)架的下界和上界。

1993年，ALI等[7]將標(biāo)架的概念推廣至帶有Radon測(cè)度的局部緊空間，引入連續(xù)標(biāo)架的概念。2006年，SUN[8]又將標(biāo)架由向量序列推廣至算子列，提出廣義標(biāo)架的概念。2008年，ABDOLLAHPOUR等[9]將積分應(yīng)用于廣義標(biāo)架，引入連續(xù)廣義標(biāo)架的概念。構(gòu)造新標(biāo)架是標(biāo)架應(yīng)用的中心問(wèn)題之一，OBEIDAT等［10］研究了 Hilbert空間中標(biāo)架的和，用已有標(biāo)架構(gòu)造了大量新標(biāo)架，并給出了Hilbert空間中 的 Bessel序列 {fn}和 {gn}以及算 子L1，L2，使得{L1fn+L2gn}構(gòu)成新標(biāo)架的充要條件，但是該文僅考慮了2個(gè)標(biāo)架和的情形。那么，類比于標(biāo)架（或Bessel序列），連續(xù)廣義標(biāo)架是否也有類似結(jié)果？基于此，筆者考慮連續(xù)廣義標(biāo)架的和，借助算子工具，利用已有連續(xù)廣義標(biāo)架構(gòu)造新的連續(xù)廣義標(biāo)架；并給出有限個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架和構(gòu)成新的連續(xù)廣義標(biāo)架的充要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

文中涉及的相關(guān)符號(hào)、概念及基本性質(zhì)詳見文獻(xiàn)［5-6，9］。其中，U，V為復(fù)Hilbert空間，J為可數(shù)的指標(biāo)集，(Ω，μ)為所含測(cè)度μ是正的測(cè)度空間，{Vω}ω∈Ω為 V 的閉子空間列，L(U，Vω)為所有 U 到Vω的線性有界算子的集合，若 Vω=U，記L(U，Vω)=L(U)，IU為U上的恒等算子。

定義1[7]設(shè)U為復(fù)Hilbert空間，(Ω，μ)為含有正測(cè)度μ的測(cè)度空間，如果滿足：

（i）F 是 弱 可 測(cè) 的 ，即 對(duì) 所 有 的 f∈U，ω→ f，F(xiàn)(ω)是Ω上的可測(cè)函數(shù)；

（ii）存在正常數(shù)A和B，對(duì)任意f∈U，均有

其中，A和B分別為連續(xù)標(biāo)架的下界和上界，則稱映射F：Ω→U為關(guān)于(Ω μ)的連續(xù)標(biāo)架。

定義 2[8]給定算子 {Λj∈L(U，Vj)}j∈J，如果存在常數(shù)0＜A≤B＜∞，使得對(duì)任意f∈U，有

則稱 {Λj}j∈J為 U 關(guān)于 {Vj}j∈J的廣義標(biāo)架，其中，A和B分別為廣義標(biāo)架的下界和上界。

定義3[9]如果滿足：

（i）對(duì)固定的f∈U，ω→Vωf是強(qiáng)可測(cè)的；

其中，A和B分別為此標(biāo)架的下界和上界，則稱算子序列{Λω∈L(U，Vω)}ω∈Ω為U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架；如果式（2）僅右半不等式成立，則稱{Λω}ω∈Ω為 U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義 Bessel序列；如果 A=B(=1)，則稱 {Λω}ω∈Ω為 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的緊（Parseval）連續(xù)廣義標(biāo)架。

定義空間

對(duì)于連續(xù)廣義 Bessel序列 {Λω}ω∈Ω，稱線性有界算子

為{Λω}ω∈Ω的連續(xù)廣義合成算子，稱共軛算子

為{Λω}ω∈Ω的連續(xù)廣義分析算子，稱線性算子

為連續(xù)廣義標(biāo)架算子。其中，S為線性有界、自伴、正的可逆算子。

引理1[3]設(shè)T：U→K為有界滿射算子，存在有界算子T?：K→U，使得TT?：K→K，TT?f=f，則稱T?為T的偽逆。

2 主要結(jié)果及證明

在一定條件下，利用已有連續(xù)廣義標(biāo)架構(gòu)造新連續(xù)廣義標(biāo)架，特別地，給出有限個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架和構(gòu)成新的連續(xù)廣義標(biāo)架的充要條件。

定理 1 設(shè) {Λω}ω∈Ω為 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架算子為S，標(biāo)架界分別為A和B。若 P ∈L(U)，則 {ΛωP}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù)α使得對(duì)任意在此情況下，連續(xù)廣義標(biāo)架 {ΛωP}ω∈Ω的標(biāo)架算子為 P*SP，標(biāo)架界分別為

證明 假設(shè) {ΛωP}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架，且標(biāo)架界分別為C和D。對(duì)任意f∈U，有

故TPΛ=P*TΛ，易知=P，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，可知{ΛωP}ω∈Ω的標(biāo)架算子為P*SP。

所以，{ΛωP}ω∈Ω是U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架下界和上界分別為Aα和B‖P ‖2。

證畢。

由定理1，可直接推得

推論 1 設(shè) {Λω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的緊連續(xù)廣義標(biāo)架，標(biāo)架界為 A。若 P∈L(U)，則{ΛωP}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的緊連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架界為 α當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意f∈U，有

推論 2 設(shè) {Λω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架算子為S，標(biāo)架界分別為A和B。若 P ∈L(U)，則 {ΛωP}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架當(dāng)且僅當(dāng)P是有界滿射算子。在此情況下，連續(xù)廣義標(biāo)架{ΛωP}ω∈Ω的標(biāo)架算子為 P*SP，標(biāo)架界分別為

證明 若P是有界滿射算子，由引理1，存在偽逆 算 子 P?使 得 PP?=IU，故 對(duì) 任 意 f∈U，有，由定理1知，結(jié)論成立。

證畢。

推論 3 設(shè) {Λω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架算子為S，標(biāo)架界分別為A和B。若 P ∈ L(U)，則 {Λω+ ΛωP}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架當(dāng)且僅當(dāng)IU+P是有界滿射算子。在此情況下，連續(xù)廣義標(biāo)架{Λω+ΛωP}ω∈Ω的標(biāo)架算子為(IU+P)*S(P+IU)，標(biāo)架界分別為特別地，若P是正算 子（或 僅 對(duì) 某 些 ε＞0，IU+P＞ε），則 {Λω+ΛωP}ω∈Ω是U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架且標(biāo)架算子為S+P*S+SP+P*SP。

定 理 2 設(shè) {Λω}ω∈Ω和 {Γω}ω∈Ω為 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的2個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架且合成算子分別為TΛ和TΓ。設(shè)L1，L2∈L(U)，若TΛT*Γ=0且L1或L2是滿射算子，則 {ΛωL1+ ΓωL2}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

證 明 因 為 {Λω}ω∈Ω和 {Γω}ω∈Ω為 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的2個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架，所以存在常數(shù)0＜A2≤B2＜∞ 和 0＜A3≤B3＜∞，使得對(duì)任意f∈U，有

又因?yàn)門ΛT*Γ=0，所以對(duì)任意f∈U，有

因此，對(duì)任意f∈U，有

不失一般性，假設(shè)L1是滿射算子，由推論2的證明過(guò)程知，存在常數(shù)C使得對(duì)任意f∈U，有

所以，{ΛωL1+ ΓωL2}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

證畢。

在定理2中，取L1=0，L2為滿射算子，可得

推 論 4 設(shè) {Λω}ω∈Ω和 {Γω}ω∈Ω為 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的2個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架且合成算子分別為TΛ和TΓ。設(shè)L2∈L(U)，若TΛT*Γ=0且L2為滿射算子，則{Λω+ ΓωL2}ω∈Ω是 U關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。對(duì)任意自然數(shù) a，{Λω+ ΓωLa2}ω∈Ω也是 U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

由定理2，可直接推得

推 論 5 若 {Λω}ω∈Ω和 {Γω}ω∈Ω為 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的2個(gè)緊連續(xù)廣義標(biāo)架且TΛT*Γ=0，則{Λω+Γω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的標(biāo)架界為 2 的Parseval連續(xù)廣義標(biāo)架。

定理 3 設(shè) {Λω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架，且標(biāo)架界分別為A和B，{Γω}ω∈Ω是U關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義 Bessel序列，且合成算子為TΓ，對(duì)于 2個(gè)給定的正序列 {aω}ω∈Ω和 {bω}ω∈Ω，如果則 {aΛ+bΓ}是 U 關(guān) 于ωωωωω∈Ω{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

證明 一方面，對(duì)任意f∈U，有

證畢。

在定理3中，取aω=bω=1，可得以下推論。

推論 6 設(shè) {Λω}ω∈Ω是 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架，且標(biāo)架界分別為A和B。{Γω}ω∈Ω為U關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義 Bessel序列，且合成算子為則 {Λω+Γω}ω∈Ω是 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

推論 7 設(shè) {Λω}ω∈Ω為 U 關(guān)于 {Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架，且標(biāo)架界分別為A和B，標(biāo)架算子為SΛ，{Γω}ω∈Ω為 U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義Bessel序列，且Bessel界為M。對(duì)任意常數(shù)a和b，如果|b|2＜1，則 {aΛω+bΓω}ω∈Ω是 U 關(guān) 于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架。

最后，給出有限個(gè)連續(xù)廣義標(biāo)架和構(gòu)成新連續(xù)廣義標(biāo)架的充要條件。

定 理 4 設(shè) {Λ1，ω}ω∈Ω，{Λ2，ω}ω∈Ω，···，{Λk，ω}ω∈Ω均為 U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)架，{ai}(i=1，2，···，k)為任意標(biāo)量，則是U的連續(xù)廣義標(biāo)架當(dāng)且僅當(dāng)存在β＞0及p∈{1，2，…，k}使得對(duì)任意f∈U，有

由此可得

充分性。設(shè)對(duì)于每個(gè) p∈ {1，2，···，k}，Ap和 Bp分別為連續(xù)廣義標(biāo)架 {Λp，ω}ω∈Ω的下界和上界，一方面，常數(shù)β＞0對(duì)任意f∈U，滿足