密立根油滴實(shí)驗(yàn)再認(rèn)識(shí)

董 鍵

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165)

密立根油滴實(shí)驗(yàn)已經(jīng)做過(guò)100多年了[1-3]，由于其獨(dú)特的科學(xué)價(jià)值和教學(xué)價(jià)值，一直以來(lái)被各個(gè)大學(xué)選為學(xué)生實(shí)驗(yàn)，一代一代的大學(xué)生都在重復(fù)做著該實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們喜歡做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樗苤庇^地證明電荷的不連續(xù)性，即電荷量是量子化的，這個(gè)科學(xué)事實(shí)太重要了.然而，對(duì)這樣一個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，當(dāng)下存在著不同做法，有的做法不甚合理，甚至不甚科學(xué)，沒(méi)有發(fā)揮好該實(shí)驗(yàn)的科學(xué)認(rèn)知和實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練的價(jià)值.眾所周知，油滴實(shí)驗(yàn)的科學(xué)內(nèi)容分為兩個(gè)方面，定性的方面是電荷量量子化，定量的方面是測(cè)量基本電荷.作為定性特征，要證明電荷是不連續(xù)的，自然不能拿一個(gè)電荷量的值做為證據(jù)，但也不能只靠少數(shù)幾個(gè)油滴的電荷量就做出結(jié)論，它需要足夠多的油滴數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行證明，重要的是讓數(shù)據(jù)說(shuō)話，而不能“替數(shù)據(jù)說(shuō)話”，即不能事先假定電荷量是量子化的，用“倒過(guò)來(lái)”的方法來(lái)證明量子化.這個(gè)道理，很多人都是認(rèn)同的，但具體到對(duì)學(xué)生的要求上，就是另一回事了，原因是學(xué)生實(shí)驗(yàn)時(shí)間有限，測(cè)不了很多油滴，于是，有的作者開(kāi)始“替學(xué)生著想”，用各種“后期算法”來(lái)“證明”，幾個(gè)油滴的數(shù)據(jù)(10個(gè)以內(nèi))也能證明電荷量量子化，仿佛有“捷徑”可走.另有一些作者，將不同年級(jí)學(xué)生實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)收集起來(lái)，數(shù)量上千個(gè)，著實(shí)足夠，但卻忘了來(lái)自不同儀器和不同學(xué)生的數(shù)據(jù)精度參差不齊，不能混用.更有的作者，自己不做實(shí)驗(yàn)，從網(wǎng)上搜集他人數(shù)據(jù)，用繁瑣的算法，計(jì)算基本電荷的值，這樣做的意義值得懷疑.在各種油滴實(shí)驗(yàn)的做法中，往往對(duì)于考察電荷量定性性質(zhì)方面不突出，而把精力集中在計(jì)算基本電荷的數(shù)值上，對(duì)于后者，又不是著重把數(shù)據(jù)測(cè)得更準(zhǔn)，而是試圖用算法將基本電荷“算的更準(zhǔn)”[4-8].如果不加以澄清，將會(huì)降低油滴實(shí)驗(yàn)的科學(xué)意義，弱化該實(shí)驗(yàn)在學(xué)生心目中的形象，使學(xué)生漫不經(jīng)心地對(duì)待該實(shí)驗(yàn)，以湊合著交差過(guò)關(guān)為目標(biāo)，那就可悲了.

基于以上認(rèn)識(shí)，本文用“平衡法”重做油滴實(shí)驗(yàn)，希望提供不同的參考視角.文中嚴(yán)格求解實(shí)驗(yàn)方程組，認(rèn)真對(duì)待布朗運(yùn)動(dòng)，把平衡態(tài)掌握得更準(zhǔn)，分析對(duì)下落時(shí)間求平均的必要性，使電荷量測(cè)量誤差顯著減?。徊捎眯碌碾姾闪孔鲌D法，簡(jiǎn)潔地顯示電荷量的分組性即量子化，由此衍生出元電荷新的計(jì)算方法；導(dǎo)出電荷量測(cè)量誤差的分布規(guī)律，并用測(cè)量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的限制進(jìn)行了解釋，為選取合適的油滴奠定了理論基礎(chǔ).實(shí)驗(yàn)采用南京培中科技開(kāi)發(fā)所MOD5型油滴儀.

1 油滴實(shí)驗(yàn)的“平衡法”

密立根油滴實(shí)驗(yàn)的“平衡法”主要分兩步，第一步是將帶電油滴控制在均勻電場(chǎng)中靜止，電場(chǎng)由兩個(gè)平行電極板提供，見(jiàn)圖1.第二步是將板極電壓調(diào)整到零，讓油滴自然下落，進(jìn)入勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài).先不計(jì)空氣浮力，這兩步對(duì)應(yīng)的方程組是

(1)

mg=6πηrv

(2)

其中m是油滴的質(zhì)量，g是重力加速度，d是極板間距，U是板極電壓，r是油滴半徑，η是空氣黏滯系數(shù)，q是油滴所帶的電荷量(實(shí)驗(yàn)測(cè)量的目標(biāo))，v是油滴勻速下落的速度，它可以通過(guò)測(cè)量油滴經(jīng)過(guò)豎直高度l所用的時(shí)間t來(lái)計(jì)算.

圖1 油滴實(shí)驗(yàn)原理圖

(3)

方程(1)和(2)有3個(gè)未知量：r、m和q，不能求解，需要補(bǔ)充一個(gè)關(guān)系式：

(4)

其中ρ是油的密度.考慮到油滴的尺度是微米量級(jí)，空氣的黏度需要用下式修正，

(5)

η0是用宏觀方法測(cè)量的黏度，它是溫度的函數(shù)，需要事先測(cè)量出來(lái)；p是實(shí)驗(yàn)時(shí)的氣壓，氣壓和溫度都需要測(cè)量；b是修正常數(shù)，取為8.23×10-3m·Pa.

現(xiàn)在可以求解方程組(1)、(2)和(4)了，得到油滴半徑和電荷量，教科書上給出的都是近似公式，現(xiàn)在，計(jì)算軟件很發(fā)達(dá)，例如Mathematica，嚴(yán)格求解，結(jié)果如式(6)、式(7)所示.

(6)

27bglp2ρ0η0t-2b3g2ρ2t2]

(7)

實(shí)驗(yàn)是在寒假里進(jìn)行的，實(shí)驗(yàn)室停暖，室內(nèi)氣溫0 ℃(有助于降低油的揮發(fā))，氣壓1.01×105Pa，采用701鐘表油，密度991 kg/m3，黏度1.91×10-5kg/m/s，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁?.797 m/s2，l=2.00 mm，d=5.00 mm.

2 布朗運(yùn)動(dòng)的影響

“平衡法”的兩步都明顯受到油滴布朗運(yùn)動(dòng)的影響，是實(shí)驗(yàn)中最大的影響因素，需要認(rèn)真對(duì)待.首先，由于布朗運(yùn)動(dòng)，油滴無(wú)法靜止，給判斷何時(shí)才是重力與電場(chǎng)力的平衡狀態(tài)帶來(lái)了莫大的難度.模擬計(jì)算顯示，即使重力與電場(chǎng)力平衡了，布朗運(yùn)動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致油滴持續(xù)向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)[9]，比如往上運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)者就會(huì)認(rèn)為板極電壓大了，減小之，如此反復(fù)，最后沒(méi)有了衡量標(biāo)準(zhǔn)，隨便取一個(gè)“差不多”的電壓作為平衡電壓.正確的判斷方法是：將油滴移動(dòng)到屏幕某條水平格線附近，如果能保持幾秒不離開(kāi)格線，以后即使離開(kāi)了格線，向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，不要馬上調(diào)整電壓，觀察其運(yùn)動(dòng)，若油滴還能反方向運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明板極電壓離平衡電壓不遠(yuǎn)了，再將油滴移動(dòng)到格線上，觀察還能否保持不動(dòng)，微調(diào)板極電壓，使之保持幾秒不離開(kāi)，這個(gè)電壓就可以作為平衡電壓.這個(gè)過(guò)程可能反復(fù)幾次，需要若干分鐘，沒(méi)有耐心不行.若只看油滴短時(shí)間不離開(kāi)格線就決定其平衡態(tài)，有時(shí)候會(huì)導(dǎo)致10～20 V的誤差.

(8)

豎直線段表示某個(gè)油滴下落時(shí)間的殘差分布范圍.

圖2 油滴下落時(shí)間的殘差分布

表1是從所測(cè)油滴選出來(lái)的代表，它們的下落時(shí)間分布更具體的展示出來(lái)，隨著下落時(shí)間的增長(zhǎng)，時(shí)間的起伏增大，好像比線性增大的更快，最短時(shí)間與最長(zhǎng)時(shí)間差別可達(dá)8 s，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人按按鈕的反應(yīng)時(shí)間0.2s，這種起伏就是布朗運(yùn)動(dòng)影響的證明.經(jīng)驗(yàn)表明：對(duì)于一個(gè)計(jì)時(shí)熟練的人來(lái)講，下落時(shí)間小于15s，測(cè)量一次就夠了；時(shí)間大于15s之后，就需要反復(fù)測(cè)量，用平均值作為計(jì)算用的下落時(shí)間，因?yàn)槠鸱鄬?duì)于平均值是對(duì)稱分布的.這是一個(gè)利用誤差分布特點(diǎn)來(lái)減小誤差的很好的例子，取平均方法的合理性也被關(guān)舒月等人的模擬計(jì)算所證明[10-11].

表1 反復(fù)測(cè)量的油滴下落時(shí)間分布 (n：油滴編號(hào)，i：測(cè)量次數(shù))

3 “電荷量-編號(hào)作圖法”證明電荷量子化

油滴實(shí)驗(yàn)的作用就是證明電荷的量子化，這不能通過(guò)一個(gè)油滴的電荷量來(lái)證明，必須通過(guò)大量油滴的測(cè)量，用統(tǒng)計(jì)比較的方法來(lái)證明，如果電荷量有分組性，就證明是量子化的.為此，筆者要求學(xué)生至少測(cè)量20個(gè)油滴，才能用電腦進(jìn)行計(jì)算，用下面的作圖方法來(lái)顯示電荷的量子性：用油滴的編號(hào)n做橫軸，用電荷量q做縱軸，簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地將電荷量“曬”在平面上.表2是筆者測(cè)量的120個(gè)油滴的平衡電壓和下落時(shí)間數(shù)據(jù)，圖3展示了根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出的油滴電荷量分布，具有明顯的分組性，即：同一組的電荷量近似相等，不同組之間是寬大的無(wú)電荷區(qū)，電荷量子化的特性得到直觀的統(tǒng)計(jì)證明，這樣給學(xué)生的印象更深刻.

表2 平衡法測(cè)量120個(gè)油滴的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(U：平衡電壓，下落時(shí)間平均值)

4 求基本電荷

圖3 油滴電荷量子化的圖示

表3 各組電荷量的平均值(k：組別)

作電荷量平均值隨組別k變化的圖，見(jiàn)圖4.該圖顯示，不同組的電荷量呈良好的線性增大，若做線性擬合，數(shù)據(jù)點(diǎn)都靠近擬合線，這就是前述電荷量分布特點(diǎn)的定量表示，其中擬合線的斜率自然就是基本電荷e了，其值為(1.585±0.005)×10-19C,這就是圖3縱軸分度值的由來(lái).順便指出，若計(jì)及空氣浮力項(xiàng)(0 ℃，空氣密度1.293 kg/m3)，則用同樣的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的基本電荷是1.587×10-19C，僅對(duì)e值小數(shù)點(diǎn)后第三位帶來(lái)小的修正.如果擬合時(shí)取的電荷組數(shù)再小一些，e的值會(huì)有所不同.

圖4 各組電量平均值的分布與擬合線

圖5 各組電量標(biāo)準(zhǔn)差的分布

5 電量測(cè)量誤差的分布規(guī)律

在計(jì)算每組電荷量平均值的時(shí)候，同時(shí)也算出了該組電荷量的標(biāo)準(zhǔn)差δk，其分布曲線見(jiàn)圖5，k是組序號(hào)(圖中缺少第8和第12組的數(shù)據(jù)，因?yàn)閺膱D3畫三角形的兩個(gè)地方看，那些組只有一個(gè)數(shù)據(jù)，不能計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差).曲線顯示，標(biāo)準(zhǔn)差的分布趨勢(shì)是隨著組別k的增大而增大的，由此推論：當(dāng)電荷量誤差超過(guò)半個(gè)基本電荷時(shí)，就無(wú)法判斷該電荷量屬于哪個(gè)分組，量子化就無(wú)法證明了.圖3中用紅線圈起來(lái)的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)就屬于這種情況.因此，相對(duì)誤差的概念在本實(shí)驗(yàn)是失效的，降低絕對(duì)誤差是本實(shí)驗(yàn)所要求的.

圖5顯示的規(guī)律是客觀的，為什么會(huì)這樣呢？筆者發(fā)現(xiàn)，這個(gè)規(guī)律的來(lái)源有一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋，它來(lái)自測(cè)量?jī)x表有效數(shù)字的限制[12]，具體來(lái)說(shuō)，油滴儀電壓表和計(jì)時(shí)器都是三位的，所顯示數(shù)據(jù)的最后一位是不準(zhǔn)確的，導(dǎo)致電荷量計(jì)算值有效數(shù)字也是三位(計(jì)算中間值多保留一位)，最后一位也是不準(zhǔn)確的.

設(shè)電荷量計(jì)算值的三位分別用a、b和c表示，a不能為0，計(jì)算結(jié)果有3種可能，即a.bc、ab.c和abc(略去10-19C，余同).由于c是不準(zhǔn)確的，它的波動(dòng)范圍是0～9，該范圍對(duì)于不同的電荷量含義不同，對(duì)于a.bc，意味著電荷量的最大波動(dòng)為0.1；對(duì)于ab.c，意味著1；對(duì)于abc，意味著10.因此，電荷量誤差隨著電量的增大一定是增大的.由此推論：因?yàn)楫?dāng)電荷量波動(dòng)超過(guò)半個(gè)基本電荷(0.8)時(shí)，就無(wú)法證明量子化了，換言之，從ab.c開(kāi)始，誤差就可能導(dǎo)致量子化證明的失效，必須選擇電量小的油滴，例如電荷量不超過(guò)10.0×10-19C，也就是在7個(gè)最低的分組之內(nèi).雖然有的作者是這么做的[13]，但是依據(jù)不充分、不定量，以上分析，給選擇油滴提供了定量依據(jù).

6 選擇油滴一定要很苛刻嗎？

上面是從電荷量大小的角度對(duì)選擇油滴做出了限定，由于電荷量是由平衡電壓和下落時(shí)間來(lái)計(jì)算的，自然就提出了對(duì)平衡電壓和下落時(shí)間限定的問(wèn)題.由于電荷量是雙變量函數(shù)，選擇的范圍就多樣化了.不少作者根據(jù)自己的分析和喜好，各自做出了選擇，例如：高鐵軍主編的《近代物理實(shí)驗(yàn)》就約定電壓取200 V附近的值，時(shí)間15 s～30 s[14]；于津江等限定時(shí)間20s～30 s，電壓200 V附近，帶電荷2～4個(gè)[15]；劉芬等主張時(shí)間20s～30 s，電壓100 V～250 V，帶電荷不大于5個(gè)[16]，等等.時(shí)間范圍和電壓范圍普遍較窄，筆者認(rèn)為這過(guò)于苛刻.事實(shí)上，凡是滿足電荷量計(jì)算公式的電壓和時(shí)間，都是可取的，只要能控制測(cè)量誤差到可以接受的程度，例如如上面測(cè)量的120多個(gè)油滴所做的那樣.在這些油滴中，電壓取值62 V～634 V，時(shí)間取值5.5 s～78.3 s.為了顯示在“極端條件”下所測(cè)量的油滴電荷量是否有很大的誤差，筆者從以上油滴中選擇了10個(gè)，其參數(shù)和電荷量見(jiàn)表4，電荷量的分布見(jiàn)圖6，可見(jiàn)，電荷量的誤差并不大，與所在組的電荷量均值靠的很近.既然如此，對(duì)油滴的選擇條件就可以放寬：時(shí)間10s～60 s，電壓大于100 V.這樣，學(xué)生選擇起來(lái)就容易多了，能把精力更多地放在誤差控制上，也有利于測(cè)量更多油滴.

表4 部分“極端”油滴的電荷量(n：油滴編號(hào))

圖6 部分“極端”油滴的電荷量分布

圖7 不計(jì)空氣黏度修正的電荷量分布

7 若不計(jì)黏度修正會(huì)怎樣？

式(5)是黏度的修正公式，是密立根創(chuàng)造的一個(gè)重要理論成果[17]，它是在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)當(dāng)油滴較小時(shí)，電荷量計(jì)算值偏大，而想到了微米尺度上空氣的不連續(xù)性對(duì)油滴下落的影響，依據(jù)氣體運(yùn)動(dòng)論推導(dǎo)出來(lái)的一個(gè)近似公式，后來(lái)證明這個(gè)修正是十分必要的，修正之后，電荷量的計(jì)算值才趨于量子化.在今天的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生很少去想這個(gè)修正項(xiàng)的來(lái)源和必要性，普遍缺乏對(duì)修正項(xiàng)作用的認(rèn)知.其實(shí)，只要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)按照非修正公式(即在式(7)中令b=0)再算一遍，結(jié)果就由圖3變?yōu)閳D7，數(shù)據(jù)點(diǎn)改用圓圈標(biāo)記.該圖顯示，電荷量的起伏性隨油滴電荷量的增大而迅速增大，在第四組之后，就難以辨認(rèn)分組性了，數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎均勻分布在平面上，好像撒了一把沙子.在下部4個(gè)可辨認(rèn)的分組中，若取每組的平均值當(dāng)做該組的電荷量，則相鄰兩組電荷量的間隔也不再相等，且都大于1.77，第一組的電荷量最大，達(dá)到1.913，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于元電荷的值，即使拿第一組的平均值當(dāng)做元電荷也不行.

8 述評(píng)

在密立根油滴實(shí)驗(yàn)中，只要測(cè)量的油滴數(shù)量足夠多，只要將油滴的電荷量按編號(hào)作圖，電荷量量子化就能直觀地顯現(xiàn)，無(wú)需設(shè)計(jì)其他算法去證明，電荷量量子化是統(tǒng)計(jì)結(jié)論.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)限制平衡電壓和下落時(shí)間的范圍，可以將油滴的電荷量控制在10個(gè)基本電荷以內(nèi)，誤差也會(huì)減小，更有利于量子化的結(jié)論.

油滴實(shí)驗(yàn)的主要誤差來(lái)源是油滴的布朗運(yùn)動(dòng)，可以針對(duì)性地采取措施，減弱誤差的影響，但效果有限，由于還涉及更多的因素，用油滴實(shí)驗(yàn)測(cè)量基本電荷，精度不易提高.當(dāng)人們接受了電荷量子化的理念之后，還可以尋求其他途徑測(cè)量電子電荷，例如塞曼效應(yīng)，半導(dǎo)體PN結(jié)的伏安曲線等等，以開(kāi)闊學(xué)生的視野.

油滴實(shí)驗(yàn)給了學(xué)生思考很多物理問(wèn)題的機(jī)會(huì)，例如：油滴是如何帶上電荷的？這將給物質(zhì)帶電機(jī)制以怎樣的啟發(fā)？如何更好地描述油滴的運(yùn)動(dòng)？油滴揮發(fā)速率多大，將給實(shí)驗(yàn)帶來(lái)多大的影響？油滴實(shí)驗(yàn)原理還有其他用途嗎？等等.

油滴實(shí)驗(yàn)還給學(xué)生提供了數(shù)據(jù)分析的很好范例，借助于適當(dāng)?shù)挠?jì)算軟件，克服“數(shù)據(jù)分析恐懼癥”，不再面對(duì)著一堆雜亂的數(shù)字發(fā)呆，只要有想法，軟件就可以助力“拷問(wèn)”數(shù)據(jù)，讓它回答不同的問(wèn)題，以充分發(fā)掘數(shù)據(jù)的潛力.這樣內(nèi)含豐富的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，值得師生認(rèn)真對(duì)待，倍加珍視，使之成為學(xué)生心目中的科學(xué)里程碑.