一類非線性奇異分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性

姜聰穎，侯成敏

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

首先利用Banach不動點定理和Schauder不動點定理得到了此類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和唯一性的相關(guān)結(jié)論和定理，然后利用兩個實例驗證了文中所得的主要結(jié)論.

0 引言

近年來許多學(xué)者研究了非線性奇異分?jǐn)?shù)階微分方程，并得到了許多較好的研究結(jié)果.例如：在文獻(xiàn)[1]中，Agarwal等研究了奇異分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性：

其中: 1<α<2， 實數(shù)μ滿足0<μ≤α-1，Dα為標(biāo)準(zhǔn) Riemman -Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，f滿足[0,1]×(0,∞)×R上的Caratheodory條件，f(t,x,y)在x=0處奇異.

在文獻(xiàn)[2]中, Yan等研究了一類積分邊界條件下分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性：

在文獻(xiàn)[3]中， Guezane -Lakoud等討論了帶有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)條件的邊值問題解的存在性和唯一性：

基于上述文獻(xiàn)研究，本文研究一類非線性奇異分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性：

(1)

1 預(yù)備知識及其原理

定義1[4]令α>0，n=[α]+1.如果g∈ACn([a,b])， 則Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為

在[a,b]上幾乎處處存在([α]表示實數(shù)α的整數(shù)部分).

引理5(Schauder不動點定理) 令(E,d)是一個完備空間，U為一個E的閉凸子集，并且令A(yù)∶U→U是一組使{Au：u∈U}在E中是相對緊的映射，則A至少有一個不動點.

引理6對于y∈C[0,1]，n-12， 0<σ<1， 方程

(2)

因此，u(t)可以寫為

其中G(t,s)為式(2)中所定義的.證畢.

2 主要結(jié)果及其證明

當(dāng)t0∈(0,1)，?t∈(t0,1]時，有

當(dāng)t0∈(0,1)，t∈(0,t0]時， 其證明過程與t0∈(0,1)和?t∈(t0,1]的情況類似，故略.

(3)

另外，由定理1還可得

(4)

|ζ2tn -1|≤LB0+|ζ1|+|ζ2|；

下面證明T(Ω)是等度連續(xù)的.對于所有的t1,t2∈[0,1]，t1

(5)

(6)

綜合定理1、定理2和定理3，再由Arzela -Ascoli理論可得T是完全連續(xù)的.

定理4假設(shè)(H1)和(H2)成立，那么邊值問題(1)有唯一解.

(H2)θ=max{nlB0,nlB1,…,nlBi,…,nlBn -1}<1，i=1,2,…,n-1.

證明首先證明T是一個壓縮算子.令u,v∈E， 則由(H1)以及式(3)和式(4)可得

(7)

(8)

3 例子

例1考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問題：

(9)

例2考慮如下分?jǐn)?shù)階邊值問題:

(10)