Navier - Stokes系統(tǒng)降維模型中線性反饋控制的分析與逼近

趙錦瑋，樸光日

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

本文考慮如下Navier -Stokes系統(tǒng)的初邊值問題:

(1)

其中： Ω是有界開集;ν=Re-1， Re為Reynolds數(shù);u表示流體速度向量;p為壓力;f為體積力.

Navier -Stokes方程能夠反映黏性流體流動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律，因此該方程常被用于解決工程技術(shù)中的流體力學(xué)問題.近年來，許多學(xué)者研究了Navier - Stokes方程最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)逼近理論，并且給出了求解非定常流動(dòng)控制問題的數(shù)值方法[1-4].在對(duì)Navier - Stokes方程求解時(shí)，若采用有限元方法，則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常大的非線性代數(shù)方程組，計(jì)算難度較大，尤其是對(duì)于反饋控制或最優(yōu)化控制的問題.研究表明，利用降維法不僅可以保證計(jì)算的精度，節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存，而且還可以大幅度提高計(jì)算效率.特征正交分解法[5]作為降維方法的一種，其實(shí)質(zhì)是在最小二乘的意義下找到能夠代表已知數(shù)據(jù)的正交基.在對(duì)Navier - Stokes方程降維模型的相關(guān)研究中，目前大多只是對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值分析，而對(duì)其進(jìn)行理論分析的較少；因此，本文運(yùn)用POD方法討論Navier - Stokes系統(tǒng)降維模型的線性反饋控制問題，估計(jì)了線性反饋控制問題的降維模型解與有限元解之間的誤差，并給出了計(jì)算降維模型解和跟蹤速度問題的算法.

1 主要符號(hào)和Navier -Stokes方程的全離散格式

其中Di j(u)=(?ui/?xj+?uj/?xi)/2.

為了使給出的三線性形式具有反對(duì)稱性[6]，本文給出如下的三線性形式：

上述三線性形式具有如下性質(zhì)[6]：

a3(w;u,v)=-a3(w;v,u)，a3(w;u,u)=0，

(2)

(3)

F(x,t)=Ut(x,t)-νΔU(x,t)+U·U(x,t).

(4)

Xh={vh∈C0(Ω)∩X;vh|K∈P2(K),?K∈h}，

(5)

2 POD基的構(gòu)造

(6)

構(gòu)造POD方法的目的是通過求標(biāo)準(zhǔn)正交基φj(j=1,2,…,L)使元素ui(1≤i≤L)與式(6)的d項(xiàng)和之間的均方誤差最小，即通過求標(biāo)準(zhǔn)正交基φj(j=1,2,…,L)使

(7)

滿足

(φi,φj)X=δi j, 1≤i≤d, 1≤j≤i,

(8)

令Xd=span{φ1,φ2,…,φd}， 且定義Ritz投影πh∶X→Xh(如果πh被限制為是從Xh到Xd的Ritz投影,則將其記為πd， 即πh|Xh=πd∶Xh→Xd和πh∶XXh→XhXd)，

(9)

引理1[10]對(duì)于d(1≤d≤l)投影算子πd有如下不等式成立：

3 線性反饋控制問題的降維模型及其誤差估計(jì)

(10)

(11)

(12)

證明用式(5)減去式(11)，并令vh=vd∈Xd?Xh可得

有

令vd=ψ(n)， 則由式(9)和a3(w;u,u)=0可得

(ψ(n),ψ(n))+Δtνa1(ψ(n),ψ(n))=-(η(n),ψ(n))+(η(n -1),ψ(n))+(ψ(n -1),ψ(n))-

(13)

(14)

同理可得：

(15)

(16)

再由式(3)和Young不等式可得

(17)

同理可得

(18)

對(duì)于三線性形式，本文給出如下加強(qiáng)條件：

(19)

(20)

(21)

4 計(jì)算算法

(22)

(23)

則系統(tǒng)(22)可以轉(zhuǎn)化成

(24)

為了求問題(22)的近似解，需將系統(tǒng)(22)線性化.系統(tǒng)(22)經(jīng)線性化得

(25)

(26)

由文獻(xiàn)[11]可知，將式(22)—(26)中的ud、wd、vd、pd、Xd、Sd分別用uh、wh、vh、ph、Xh、Sh代替，則其所得的離散格式與式(22)—(26)相同[11].